X-Git-Url: https://git.octo.it/?a=blobdiff_plain;f=diplomarbeit.tex;h=42b8a502ee1a47fb5c394791c128a7cac04af179;hb=86264935c01035061e6964ee9a49c73067133c9b;hp=5b6ce599cbdf1f002a6754fcc3e7431865bcee6a;hpb=1d077e69b825e23eef0b9aa86a019b25e972bf59;p=diplomarbeit.git

diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex
index 5b6ce59..42b8a50 100644
--- a/diplomarbeit.tex
+++ b/diplomarbeit.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\documentclass[a4paper,11pt]{article}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage{ngerman}
 \usepackage{fancyhdr}
@@ -52,6 +52,21 @@
 \tikzstyle{diredge}  = [draw,thick,->]
 \tikzstyle{prob}     = [font=\tiny]
 
+\tikzstyle{edge minimum} = [edge,color=blue!20]
+\tikzstyle{edge maximum} = [edge,color=red!20]
+\tikzstyle{vertex active minimum} = [vertex,color=blue!50, fill=blue!50]
+\tikzstyle{vertex active maximum} = [vertex,color=red!50, fill=red!50]
+\tikzstyle{vertex active minimum maximum} = [vertex,color=violet!50, fill=violet!50]
+\tikzstyle{vertex inactive minimum} = [vertex,color=blue!20, fill=blue!20]
+\tikzstyle{vertex inactive maximum} = [vertex,color=red!20, fill=red!20]
+\tikzstyle{vertex inactive minimum maximum} = [vertex,color=black!20, fill=black!20]
+\tikzstyle{comp active minimum} = [comp]
+\tikzstyle{comp active maximum} = [comp]
+\tikzstyle{comp active minimum maximum} = [comp,color=black!20]
+\tikzstyle{comp inactive minimum} = [comp,color=blue!20]
+\tikzstyle{comp inactive maximum} = [comp,color=red!20]
+\tikzstyle{comp inactive minimum maximum} = [comp,color=black!20]
+
 \tikzstyle{red box}   = [draw,-,color=red, top color=red!2,bottom color=red!10]
 \tikzstyle{blue box}  = [draw,-,color=blue,top color=blue!2,bottom color=blue!10]
 \tikzstyle{green box} = [draw,-,color=teal,top color=teal!2,bottom color=teal!10]
@@ -71,8 +86,8 @@ das hinbekomme bzw. Recht behalte.}
 \newpage
 
 \tableofcontents
-\newpage
 
+\newpage
 \section{Motivation und Einleitung}
 
 \subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
@@ -209,6 +224,7 @@ wenn {\em Nebenbedingungen} eingehalten werden müssen.
 Mutation \textit{(vermutlich)} nicht (effizient) möglich.
 \end{itemize}
 
+\newpage
 \section{Bekannte konstruktive Sortiernetzwerke}
 
 Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
@@ -261,10 +277,11 @@ Algorithmen.
 \subsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
 
 Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk ($\operatorname{BS}(n)$) ist ein
-Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{K.~E.~Batcher} veröffentlicht wurde. Es
-ist deutlich effizienter als das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk -- sowohl
-in Bezug auf die Anzahl der Komparatoren als auch bezüglich der benötigten
-Zeit, also der Anzahl der Schichten.
+Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{Kenneth~E. Batcher} in~\cite{B1968}
+veröffentlicht wurde. Es ist deutlich effizienter als das
+Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk -- sowohl in Bezug auf die Anzahl der
+Komparatoren als auch bezüglich der benötigten Zeit, also der Anzahl der
+Schichten.
 
 Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
 sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
@@ -275,11 +292,6 @@ Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
 Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl eine Zweierpotenz ist,
 $\operatorname{BS}(n = 2^t)$.
 
-Ein Netzwerk von K.~E.~Batcher. Siehe:
-K.E. Batcher: Sorting Networks and their Applications. Proc. AFIPS Spring
-Joint Comput. Conf., Vol. 32, 307-314 (1968)
-\todo{Bibtex!}
-
 \subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
 
 Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
@@ -387,15 +399,16 @@ alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen.
   \begin{center}
   \input{images/batcher-8.tex}
   \end{center}
-  \caption{$S(8)$, Batcher's {\em bitone Mergesort-Netzwerk} für acht
-  Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von $S(4)$ (rot), die beiden
-  bitonen Mischer~$M(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven
-  Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
-  \label{fig:batcher_08}
+  \caption{$\operatorname{BS}(8)$, Batchers {\em bitones Mergesort-Netzwerk}
+  für acht Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von
+  $\operatorname{BS}(4)$ (rot), die beiden bitonen
+  Mischer~$\operatorname{BM}(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten
+  rekursiven Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
+  \label{fig:bitonic-08}
 \end{figure}
 
 Das konkrete Netzwerk~$\operatorname{BS}(8)$ ist in
-Abbildung~\ref{fig:batcher_08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
 beiden Instanzen des Netzwerks~$\operatorname{BS}(4)$ (rot) sowie der bitone
 Mischer~$\operatorname{BM}(8)$ (blau). Die trichterförmige Komparator-Kaskade,
 die die bitone Eingabefolge in zwei bitone Ausgabefolgen transformiert, ist
@@ -422,8 +435,9 @@ Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
 Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Vielmehr ist
 OES dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}, das im vorherigen Abschnitt
 vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
-\textit{K.~Batcher} gefunden worden und wird rekursiv durch einen Mischer
-definiert.
+\textit{Kenneth~E. Batcher} gefunden worden und ist ebenfalls in~\cite{B1968}
+beschrieben und initial analysiert worden. Eine weitere Gemeinsamkeit besteht
+darin, dass es ebenfalls rekursiv durch einen Mischer definiert ist.
 
 \subsubsection{Der Odd-Even-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}
 
@@ -644,6 +658,7 @@ gilt.
 %\item Pairwise sorting-network
 %\end{itemize}
 
+\newpage
 \section{Transformation von Sortiernetzwerken}
 
 \subsection{Komprimieren}
@@ -828,13 +843,19 @@ Darstellung ergibt. Ausserdem ist das
 zusätzliche Komparator vor dem $\textrm{OET}(7)$ hat keinen Einfluss auf die
 Ausgabe und kann entfernt werden.
 
+\subsubsection{Anzahl möglicher und unterschiedlicher Schnittmuster}
+\label{sect:anzahl_schnittmuster}
+
 Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem
 Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
 $n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können wir auf diese Art und
 Weise einen Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen wieder auf ein Sortiernetzwerk
-mit $n$~Eingängen reduzieren.
+mit $n$~Eingängen reduzieren. Das Anwenden mehrerer Minimum- und
+Maximum-Schnitte bezeichnen wir als \emph{Schnittmuster}.
 
-\subsubsection{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
+Zwei Schnittmuster heißen \emph{äquivalent} bezüglich~$S$, wenn ihre Anwendung
+auf das Sortiernetzwerk~$S$ das selbe Ergebnis liefert. Ansonsten heißen die
+Schnittmuster \emph{unterschiedlich} bezüglich~$S$. 
 
 Bei einem Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen gibt es $2n$~Möglichkeiten eine
 Leitung zu entfernen: Auf jeder der $n$~Leitungen kann sowohl das Minimum als
@@ -845,19 +866,19 @@ sich insgesamt
   \prod_{i=n}^{m+1} 2i = 2^{n-m} \frac{n!}{m!}
   \quad (n > m)
 \end{displaymath}
-Möglichkeiten. Diese Möglichkeiten sind nicht alle unterschiedlich. Legt man
-beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung und das Maximum auf die
-oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks, führen beide Reihenfolgen zum
-selben Ergebnis.
+\emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
+unterschiedlich. Legt man beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung
+und das Maximum auf die oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks,
+führen beide Reihenfolgen zum selben Ergebnis.
 
 \textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit (\todo{Referenz}), dass
 es möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise
-Maximum vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnitte
-reduziert, die Menge der erreichbaren Sortiernetzwerke bleibt aber
-unverändert. Die Anzahl der möglichen „Schnittmuster“ setzt sich zusammen aus
+Maximum vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster
+reduziert, die Menge der so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber
+unverändert. Die Anzahl der möglichen Schnittmuster setzt sich zusammen aus
 der Anzahl von Möglichkeiten, $n-m$~Leitungen aus $n$ Leitungen auszuwählen,
 und die möglichen Minimum-~/ Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende
-Formel:
+Formel für die Anzahl der Schnittmuster:
 \begin{displaymath}
   2^{n-m} \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ n-m \end{array} \right)
   = 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{(n-m)! m!}
@@ -865,80 +886,35 @@ Formel:
   \quad (n > m)
 \end{displaymath}
 
-Die Anzahl der möglichen Schnitte wird mit der Anzahl der zu entfernenden
+Die Anzahl der möglichen Schnittmuster wird mit der Anzahl der zu entfernenden
 Leitungen sehr schnell sehr groß. Um ein Sortiernetzwerk mit 32~Eingängen auf
-ein Sortiernetzwerk mit 16~Ein\-gängen zu reduzieren sind 16~Schnitte notwendig,
-für die es bereits etwa ${3,939 \cdot 10^{13}}$ Möglichkeiten gibt. Ein
-Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für große Netzwerke nicht oder nur unter
-erheblichem Ressourcenaufwand möglich.
-
-Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
-Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
-Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
-möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
-von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem
-Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
-gute Schnittmuster gesucht.
-
-Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die
-\emph{Schnitt-Sequenzen} als Individuen. Eine \emph{Schnitt-Sequenz} ist eine
-Liste mit $c$~Schnitten, die jeweils durch die Start-Leitung und die Richtung
-\textit{Min} beziehungsweise \textit{Max} gegeben ist. Der Algorithmus wendet
-jeden Schnitt einzeln an, so dass eine Leitungsnummer mehrfach in einer
-Schnittsequenz vorkommen kann. Die höchste zulässige Leitungsnummer ist
-abhängig von der Position des Schnitts in der Sequenz. Der Schnitt an
-Position~$i$ darf höchstens die Leitungsnummer~${n-i-1}$
-enthalten.\footnote{Die niedrigste Leitungsnummer ist $0$, die höchste
-Leitungsnummer eines $n$-Sortiernetzwerks ist $n-1$.}
-
-Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte der einen
-Schnitt-Sequenz verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte der zweiten
-Sequenz. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$.
-
-Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
-auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
-Schnitt-Richtung.
-
-In ihrer Arbeit \textit{“Improving Bitonic Sorting by Wire Elimination”}
-zeigen \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka}, wie man einen
-bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde, durch
-systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen Mischer mit
-der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer sparen im
-Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert werden,
-Komparatoren ein.
-
-Beispeilsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
-Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
-konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk benötigt 68~Komparatoren, 12~weniger
-als das bitone Mergesort-Netzwerk nach Batchers Methode. Gegenüber Batchers
-Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$
-Komparatoren ein.
-
-\begin{figure}
-  \begin{center}
-    \input{images/16-ec-1277186619.tex}
-  \end{center}
-  \caption{{\tt images/16-ec-1277186619.tex}: Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen
-    und 68~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem
-    Algorithmus \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
-    $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
-  \label{fig:16-ec-1277186619}
-\end{figure}
-
-Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk
-$\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
-Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
-16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in
-Abbildung~\ref{fig:16-ec-1277186619} zu sehen.
-
-\begin{itemize}
-  \item Beispiel: Moritz und Rolfs Optimierung für Bitonic-Sort.
-  \item Wie gut kann man durch wegschneiden werden?
-  \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk?
-  \item Abschnitt „Optimierung der Schnitte“ hier einbauen.
-\end{itemize}
+ein Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen zu reduzieren, ist ein Schmittmuster mit
+16~Schnitten notwendig, für das es bereits etwa ${3,939 \cdot 10^{13}}$
+Möglichkeiten gibt. Ein Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für große
+Netzwerke nicht oder nur unter erheblichem Ressourcenaufwand möglich.
+
+Die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster ist allerdings kleiner
+als die Anzahl der möglichen Schnittmuster. Für jeden Komparator auf der
+ersten Stufe gibt es neun verschiedene Eingangskonfigurationen: Für beide
+Eingänge gibt es drei mögliche Eingangswerte, Minimum, Maximum und
+unspezifiziert. Es gibt drei Konfigurationen, bei denen an beiden Eingängen
+der gleiche Wert angelegt wird, und sechs Konfigurationen, bei denen sich die
+Werte unterscheiden.
+
+Bei diesen letzten sechs Konfigurationen werden je zwei auf das selbe
+Ausgangmuster abgebildet, weil die Position des Minimums beziehungsweise des
+Maximums durch den Komparator vorgegeben wird. Das heißt, dass die neun
+unterschiedlichen Eingangsmuster nur sechs unterschiedliche Ausgangsmuster
+erzeugen. In der zweiten und allen folgenden Schichten kann man diesen
+Unterschied nicht mehr erkennen. In allen sechs Fällen, in denen sich die
+Eingänge unterscheiden, wird anschließend der Komparator entfernt, so dass
+sich die Resultate auch in der ersten Schicht nicht unterscheiden.
+
+\todo{Mit \textit{Approximate Counting} könnte man die Anzahl der
+\emph{unterschiedlichen} Schnittmuster genauer abschätzen.}
 
-\section{Der evolutionäre Ansatz}
+\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus}
 
 Um einen evolutionären Algorithmus für Sortiernetzwerke zu entwickeln, werden
 die vorgestellten Methoden kombiniert.
@@ -961,7 +937,7 @@ in 10~Schichten. Das schnellste Netzwerk besteht aus 61~Komparatoren in nur
 Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`klein"' und "`schnell"'
 berücksichtigen kann, hat die folgende allgemeine Form:
 \begin{equation}
-  \mathit{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}}
+  \operatorname{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}}
                     + w_{\mathrm{Komparatoren}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Komparatoren}
                     + w_{\mathrm{Schichten}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Schichten}
 \end{equation}
@@ -1070,15 +1046,220 @@ acht Eingängen. Es besteht aus 19~Komparatoren in 6~Schichten.}
 \begin{itemize}
 \item So gut kann man mindestens werden {\em ($\rightarrow$ Bitonic-Mergesort, vermute ich)}.
 \item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \em{Mischer} ab.
+\item Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.
+\end{itemize}
+
+%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
+
+\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
+\label{sect:sn-evolution-cut}
+
+Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
+Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
+Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
+möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
+von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem
+Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
+gute Schnittmuster gesucht.
+
+Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster}
+als Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten
+$r$~Schnitte des einen Schnittmusters verwendet und die letzten
+${c-r}$~Schnitte des zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit
+$0 \leqq r \leqq c$.
+
+Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
+auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
+Schnitt-Richtung.
+
+\subsection{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
+
+In \cite{MW2010} zeigen \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka},
+wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
+durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen
+Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer
+sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
+werden, Komparatoren ein.
+
+Beispeilsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
+Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
+konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk benötigt 68~Komparatoren, 12~weniger
+als das bitone Mergesort-Netzwerk nach Batchers Methode. Gegenüber Batchers
+Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$
+Komparatoren ein.
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/16-ec-from-bs32.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+    10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+    \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}
+    $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+  \label{fig:16-ec-from-bs32}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/16-ec-from-bs32-normalized.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+    10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+    \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+    $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+  \label{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
+\end{figure}
+
+Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+$\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
+Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
+16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in den
+Abbildungen~\ref{fig:16-ec-from-bs32} und~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
+zu sehen. Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} zeigt $\operatorname{BS}(32)$
+und das
+${\operatorname{MIN}(0,5,9,11,15,17,20,22,26,29,30)}$-${\operatorname{MAX}(2,4,13,19,24)}$-Schnittmuster,
+das durch \textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
+nachdem das Schnittmuster angewandt und das Netzwerk normalisiert wurde. Eine
+Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist in
+diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des
+Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
+
+\begin{figure}
+  % 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
+  % 23:MIN 24:MAX 25:MAX 30:MIN 31:MIN 32:MAX 34:MAX 36:MIN 37:MAX 40:MAX
+  % 43:MAX 46:MIN 47:MAX 48:MAX 49:MAX 54:MIN 55:MAX 56:MAX 58:MIN 60:MAX
+  % 63:MAX
+  \begin{center}
+    \input{images/32-ec-from-bs64.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen und 206~Komparatoren in
+    15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+    \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+    $\operatorname{BS}(64)$ durch 32~Schnitte erzeugt. Das zugehörige
+    Schnittmuster ist
+    $\operatorname{MIN}(4, 14, 23, 30, 31, 36, 46, 54, 58)$,
+    $\operatorname{MAX}(0, 1, 6, 9, 11, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 32, 34, 37,
+    40, 43, 47, 48, 49, 55, 56, 60, 63)$.}
+  \label{fig:32-ec-from-bs64}
+\end{figure}
+
+Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} von \textit{Wanka}, die den bitonen
+Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
+konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
+$\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen
+Größen, beispielsweise wenn man $\operatorname{BS}(64)$ auf ein
+32-Sortiernetzwerk reduziert, kann das Ergebnis sogar noch übertroffen werden,
+wie in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} zu sehen: Ein nach Batchers Methode
+konstruiertes Sortiernetzwerk benötigt 240~Komparatoren, ein aus den
+optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk verbessert die Kosten auf
+208~Komparatoren. Das in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} dargestellte
+Sortiernetzwerk benötigt lediglich 206~Komparatoren. Die Komparatoren aller
+dieser Netzwerke können in 15~Schichten angeordnet werden, so dass die
+Verzögerung dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
+
+Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
+unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
+gute Schnittmuster anzugeben.
+
+Entscheidend für das Ergebnis eines Schnittmusters scheint beim bitonen
+Mergesort-Netzwerk die Aufteilung der Minimum- und Maximumschnitte zu sein.
+Von Hundert 16-Schnittmustern für $\operatorname{BS}(32)$, die in
+Sortiernetzwerken mit 68~Komparatoren in 10~Schichten resultieren, hatten 73
+ein Verhältnis von $5/11$, 13 hatten ein Verhältnis von $4/12$ und 14 hatten
+ein Verhältnis von $3/13$ Minimum- beziehungsweise Maximumschnitten. Da sich
+die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des bitonen Mergesort-Netzwerks
+leicht invertieren lassen, werden der Fall, dass es mehr Minimumschnitte, und
+der Fall, dass es mehr Maximumschnitte gibt, nicht unterschieden.
+
+Dass die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution-Cut} keine erkennbare Struktur
+haben, ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere
+von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} $\operatorname{OET}(n)$ und
+$m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
+$\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk. 
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
+    10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+    \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+    $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+  \label{fig:16-ec-from-ps32}
+\end{figure}
+
+\subsection{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+
+Anders verhält sich das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+$\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
+Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert. Startet man
+\textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
+16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, dass die gleiche
+Anzahl an Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
+$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
+
+Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even-Mischer} nicht
+einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist der
+$\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
+den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzerke, die
+strukturell identisch zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
+Schichten~1 und~2 sowie 4~und~5 sind vertauscht.
+
+\begin{displaymath}
+\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
+  -\infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{0, 6\} \\
+   \infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{2, 4\} \\
+        ? & \quad \mathrm{sonst}
+  \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
+  \end{center}
+  \caption{PS(32) mit 16 Schnitten zu PS(16).}
+  \label{fig:ps16-from-ps32}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/16-pairwise.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
+  ($\operatorname{MIN}(0,2,4,6), \operatorname{MAX}(9,11,13,15)$). Das
+  resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
+  \label{fig:16-pairwise}
+\end{figure}
+
+Wendet man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf $\operatorname{PS}(16)$ an, so kann
+man $\operatorname{OES}(8)$ erhalten.
+
+\subsection{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+
+\todo{Schreibe noch etwas zum Odd-Even-Mergesort-Netzwerk.}
+
+\begin{itemize}
+  \item Beispiel: Moritz und Rolfs Optimierung für Bitonic-Sort.
+  \item Wie gut kann man durch wegschneiden werden?
+  \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk? Oder andersrum: Wieviele
+  unterschiedliche Netzwerke kann ich erhalten? Wieviele Nachfolger hat ein
+  Netzwerk / Knoten in der Markov-Kette?
+  \item Abschnitt „Optimierung der Schnitte“ hier einbauen.
 \end{itemize}
 
-\section{Markov-Kette}
+\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
 
-Der evolutionäre Algorithmus aus dem vorherigen Abschnitt verwendete immer
-zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus einer Population. Da die
-beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt werden, kann es
-vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal verwendet und mit sich
-selbst kombiniert wird.
+Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
+Abschnitt verwendete immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
+einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
+ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
+verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
 
 Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, indem man \emph{immer} das
 aktuelle Netzwerk mit sich selbst kombiniert und anschließend die Hälfte aller
@@ -1094,6 +1275,15 @@ Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von $
 ist, das heißt dass man $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
 selbst erzeugen kann.
 
+Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben ist die Anzahl
+(unterschiedlichen) Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger sehr
+groß. Wenn $S_0$ ein Sortiernetzwerk mit $n$~Leitungen ist, so hat $S_0$ bis
+zu
+\begin{displaymath}
+  2^n \cdot \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)
+\end{displaymath}
+Nachfolger.
+
 Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Graph einen zufälligen Weg
 (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem gegebenen
 Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu gelangen
@@ -1117,108 +1307,35 @@ einen zufälligen Nachfolger.
 
 \begin{figure}
   \begin{center}
-  \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-16.pdf}
+  \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}
   \end{center}
-  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen), die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden.}
-  \label{fig:markov-comparators-16}
+  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 12~Leitungen),
+  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 40)$ mit $k = 8,267$ und $\theta = 0,962$.}
+  \label{fig:markov-comparators-12}
 \end{figure}
 
-%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
-
-\section{Optimierung der Schnitte}
-
-\todo{In den Abschnitt "`Leitungen entfernen"' einbauen.}
-
 \begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/32-ec-1277190372.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/32-ec-1277190372.tex}: Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen
-  und 206~Komparatoren in 15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
-  \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk $BS(64)$ durch
-  32~Schnitte erzeugt.}
-\label{fig:32-ec-1277190372}
+  \begin{center}
+  \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
+  \end{center}
+  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
+  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
+  \label{fig:markov-comparators-14}
 \end{figure}
 
-Abbildung~\ref{fig:32-ec-1277190372} zeigt ein 32-Sortiernetzwerk, dass vom
-\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus aus dem $BS(64)$-Netzwerk erzeugt wurde.
-Es besteht aus 206~Komparatoren in 15~Schichten -- 34~Komparatoren weniger als
-$BS(32)$ und zwei Komparatoren weniger als das Netzwerk, das nach Mühlenthaler
-und Wankas Methode konstruiert wird. Die Anzahl der Schichten ist bei allen
-Netzwerken gleich.
-
-\textbf{TODO:} $BS(128) \rightarrow n=64$: 584~Komparatoren in 21~Schichten
-möglich (nach ca. 600k Iterationen). Moritz und Rolf: $672-80=592$
-Komparatoren; $BS(64)$: 672~Komparatoren.
-
-Schnitt-Sequenz:
-MIN( 92)
-MAX( 80)
-MIN(100)
-MAX( 54)
-MAX(102)
-MAX( 53)
-MAX(105)
-MAX(  6)
-MAX( 99)
-MAX( 79)
-MAX( 26)
-MIN(111)
-MAX( 12)
-MIN( 22)
-MAX( 61)
-MAX( 72)
-MAX( 68)
-MIN( 80)
-MAX( 80)
-MAX( 99)
-MAX(105)
-MAX(  0)
-MIN(  8)
-MAX( 40)
-MAX( 74)
-MAX( 40)
-MAX( 40)
-MIN( 56)
-MAX( 27)
-MAX( 13)
-MAX(  1)
-MAX( 81)
-MAX( 17)
-MAX(  4)
-MIN( 36)
-MIN( 22)
-MAX( 13)
-MIN( 72)
-MAX( 24)
-MAX(  5)
-MIN( 10)
-MAX( 59)
-MIN( 37)
-MAX( 65)
-MAX( 46)
-MAX( 73)
-MAX( 58)
-MAX( 29)
-MAX( 65)
-MIN( 23)
-MAX( 56)
-MAX( 11)
-MIN( 75)
-MIN( 51)
-MIN( 46)
-MIN( 34)
-MAX( 32)
-MAX(  6)
-MAX( 37)
-MIN(  4)
-MIN( 28)
-MIN( 20)
-MAX( 33)
-MAX( 34)
-
-% images/32-ec-1277190372.tex
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+  \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
+  \end{center}
+  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
+  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
+  \label{fig:markov-comparators-16}
+\end{figure}
 
+\newpage
 \section{Empirische Beobachtungen}
 
 \begin{itemize}
@@ -1226,12 +1343,14 @@ MAX( 34)
 \item $\ldots$
 \end{itemize}
 
+\newpage
 \section{Ausblick}
 
 Das würde mir noch einfallen$\ldots$
 
-%\bibliography{references}
-%\bibliographystyle{plain}
+\newpage
+\bibliography{references}
+\bibliographystyle{plain}
 
 %\listoffigures