X-Git-Url: https://git.octo.it/?a=blobdiff_plain;f=diplomarbeit.tex;h=c5d64e5ce8dd919c2e8db37988605c8e20bf1dea;hb=461b195a7aec442b519e401b07c0faa8ff99f6a9;hp=7273cbe0aebe0dab4f6e86c633da5673a5e84c7b;hpb=67e659fd0afe0b842ec8dec9d47844659c88e167;p=diplomarbeit.git diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex index 7273cbe..c5d64e5 100644 --- a/diplomarbeit.tex +++ b/diplomarbeit.tex @@ -98,6 +98,7 @@ das hinbekomme bzw. Recht behalte.} \subsection{Motivation}\label{sect:motivation} +\todo{Schreibe noch etwas zu …} \begin{itemize} \item Sortiernetzwerke sind toll, weil $\ldots$ \item Sortiernetzwerke sind einfach erklärt, aber trotzdem kompliziert. @@ -327,12 +328,55 @@ Sortiereigenschaft erhält. Transformationen von Sortiernetzwerken werden in Abschnitt~\ref{sect:tranformation} beschrieben, ein Algorithmus, der Mutation einsetzt, wird in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut} vorgestellt. + +\begin{figure} + \begin{center} + \input{images/16-hillis.tex} + \end{center} + \caption{Das 16-Sortiernetzwerk, das \textit{Hillis} in~\cite{H1992} angibt. + Es besteht aus 61~Komparatoren in 11~Schichten.} + \label{fig:16-hillis} +\end{figure} +Evolutionäre Algorithmen wurden bereits mehrfach eingesetzt, um +Sortiernetzwerke zu untersuchen. \textit{W.~Daniel Hillis} verwendete +\emph{Co-Evolution} um neben Komparatornetzwerken auch „schwierige Eingaben“ +zu optimieren~\cite{H1992}. Diese \emph{Parasiten} genannten Eingaben wurden +daran gemessen, bei wievielen Komparatornetzwerken sie beweisen konnten, dass +sie keine Sortiernetzwerke sind. So mussten bei neuen Individuen~/ +Komparatornetzwerken nicht alle 0-1-Folgen, sondern nur erfolgreiche +Parasiten~/ schwierige Eingaben überprüft werden. Auf diese Art und Weise +gelang es \textit{Hillis} ein 16-Sortiernetzwerk mit 61~Komparatoren +anzugeben, das in Abbildung~\ref{fig:16-hillis} zu sehen ist. + +\begin{figure} + \centering + \subfigure{\input{images/13-juille-0.tex}} + \subfigure{\input{images/13-juille-1.tex}} + \caption{13-Sortiernetzwerke, die von \textit{Hugues Juillé} mithilfe des + END-Algorithmus gefunden wurden. Sie bestehen jeweils aus 45~Komparatoren in + 10~Schichten.} + \label{fig:13-juille} +\end{figure} +\textit{Hugues Juillé} entwickelte ein Verfahren, das er \emph{Evolving +Non-Determinism} (END) nannte. Dabei handelt es sich nicht um einen +\emph{Evolutionären Algorithmus}, wie sie hier vorgestellt wurden, sondern um +eine verteilte, probabilistische Breitensuche, die an die \emph{Strahlsuche} +(englisch: \textit{beam search}), ein Verfahren der Künstlichen Intelligenz, +angelehnt ist. Die aufwendigste Operation bei diesem Ansatz ist die +Bewertungsfunktion, die abschätzt, wieviele Komparatoren zu einem +Komparatornetzwerk hinzugefügt werden müssen, um ein Sortiernetzwerk zu +erhalten. Mit diesem Ansatz gelang es \textit{Juillé} zwei 13-Sortiernetzwerke +anzugeben, die mit 45~Komparatoren effizienter sind als alle bis dahin +Bekannten (Abbildung~\ref{fig:13-juille}). + \newpage \section{Bekannte konstruktive Sortiernetzwerke} \label{sect:konstruktive_netzwerke} Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke. +\todo{Einleitungssatz} + \subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} \label{sect:odd_even_transpositionsort} @@ -523,15 +567,6 @@ $\frac{1}{4} n \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}\left(n (log (n))^2\right)$ Komparatoren, die in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$ Schichten angeordnet sind. -%\begin{figure} -%\begin{center} -%\includegraphics[viewport=115 491 372 782,width=7.5cm]{images/sn-rekursiver-aufbau.pdf} -%\end{center} -%\caption{Rekursiver Aufbau von $S(n)$: Es besteht aus zwei Instanzen von -%$S(n/2)$ und dem Mischer $M(n)$.} -%\label{fig:bms_rekursiver_aufbau} -%\end{figure} - \subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} @@ -859,18 +894,6 @@ Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber 6~Komparatoren weniger. -% 9 9 -% 9 18 -% 9 27 -% 9 36 -% 9 45 -% 8 53 -% 8 61 -% 7 68 -% 7 75 -% 6 81 -% 5 86 - Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits sortiert ist, ist das zweite Sortiernetzwerk überflüssig. Eine @@ -880,12 +903,6 @@ die Sortiereigenschaft. Die Sortiereigenschaft des resultierenden Komparatornetzwerks müsste überprüft werden, was nach heutigem Wissensstand nur mit exponentiellem Aufwand möglich ist. -%\begin{itemize} -%\item Mit dem Bitonic-Merge -%\item Mit dem Odd-Even-Merge -%\item Nach dem Pairwise sorting-network Schema. -%\end{itemize} - \subsection{Leitungen entfernen} \label{sect:leitungen_entfernen} @@ -1139,6 +1156,7 @@ die Anzahl der \emph{möglichen} Schnittmuster. \newpage \section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus} +\label{sect:sn-evolution} Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus ist ein \emph{evolutionärer Algorithmus}, der die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Mischer @@ -1216,7 +1234,7 @@ Auswahl := (leer) für jedes Individuum in Population { reziproke Güte := 1.0 / Guete(Individuum) - Wahrscheinlichkeit P := reziproke Güte / (reziproke Güte + Gütesumme) + Wahrscheinlichkeit P := reziproke Güte / (Gütesumme + reziproke Güte) Gütesumme := Gütesumme + reziproke Güte mit Wahrscheinlichkeit P @@ -1326,12 +1344,7 @@ Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen. Ein Netzwerk, das $\operatorname{OES}(n)$ in mindestens einem Merkmal übertrifft, konnte jedoch nicht beobachtet werden. -\begin{itemize} -\item Güte von Sortiernetzwerken (Anzahl der Komparatoren, Anzahl der Schichten, kombiniert) -\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \emph{Mischer} ab. -\item Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen. -\item Möglicherweise: Verwende den rekursiven Aufbau des \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks um Sortiernetzwerke zu mergen. -\end{itemize} +\todo{Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.} %\begin{figure} %\begin{center} @@ -1586,7 +1599,7 @@ wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} gestartet mit $\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell ein gutes 16-Schnittmuster findet. Eines der eher zufälligen Schnittmuster ist $\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14, -17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7, 8, 13, 18, 21, 27, 31)$. Das +17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7, 8,$ $13, 18, 21, 27, 31)$. Das Schnittmuster ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht, das resultierende Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen. @@ -1638,7 +1651,7 @@ selbst erzeugen kann. Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der -Nachfolger zwar noch unter 20000, bei den untersuchten 32-Sortiernetzwerken +Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten 32-Sortiernetzwerken wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$ unterschiedliche Schnittmuster geschätzt. @@ -1661,6 +1674,13 @@ für n Iterationen gib Netzwerk zurück \end{verbatim} +Die Abbildungen~\ref{fig:markov-comparators-12}, +\ref{fig:markov-comparators-14}, \ref{fig:markov-comparators-12}, +\ref{fig:markov-comparators-16} und~\ref{fig:markov-comparators-18} zeigen die +Anzahl der Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf +seinem zufälligen Pfad durchläuft. Ausserdem eingezeichnet ist eine +\emph{Gamma-Verteilung}. + \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf} @@ -1673,7 +1693,7 @@ gib Netzwerk zurück \label{fig:markov-cycles-16} \end{figure} - +\todo{Schreibe noch etwas zu …} \begin{itemize} \item Beste erreichte Netzwerke (gleich zu \emph{OE-Mergesort}). \item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke. @@ -1722,20 +1742,61 @@ gib Netzwerk zurück \end{figure} \newpage -\section{Empirische Beobachtungen} - -\begin{itemize} -\item So schnell konvergiert der Algorithmus. -\item $\ldots$ -\end{itemize} - -\newpage \section{Ausblick} -Das würde mir noch einfallen$\ldots$ - -- SN-Evolution mit Pairwise als „Mischer“. -- Co-Evolution von Netzwerken und Schnittmustern. +Die Möglichkeiten, die Evolutionäre Algorithmen bei der Optimierung von +Sortiernetzwerken bieten, sind durch die in dieser Arbeit vorgestellten +Herangehensweisen bei weitem nicht erschöpft. + +Im Folgenden werden Ansätze umrissen, mit denen an die Untersuchungen in +dieser Arbeit nahtlos angeknöpft werden könnte. + +\subsection{Verwendung des Pairwise-Sorting-Netzwerk in \textsc{SN-Evolution}} + +Die aktuelle Implementierung von \textsc{SN-Evolution} +(Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution}) kann sowohl den \emph{bitonen Mischer} als +auch den \emph{Odd-Even-Mischer} verwenden, um zwei Individuen zu +rekombinieren. Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk verwendet zwar keinen +Mischer, es ist aber ebenfalls rekursiv über kleinere Versionen von sich +selbst definiert. Das heißt, dass \ps{n} aus zwei Instanzen von +$\ps{\frac{n}{2}}$ und zusätzlichen Komparatoren besteht, die die Eingabe für +die kleineren Sortiernetzwerke vorbereiten und anschließend für eine sortierte +Ausgaben sorgen. Anstelle von $\ps{\frac{n}{2}}$ kann man natürlich beliebige +Sortiernetzwerke mit $\frac{n}{2}$~Leitungen verwenden. + +Dies ließe sich für \textsc{SN-Evolution} nutzen, um zwei Individuen zu +rekombinieren. Da es für das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk sehr viele +\emph{unterscheidliche} Schnittmuster gibt +(Abbschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster}), ist es möglich, dass die +Verwendung dieser Rekombinationsmethode neue Ergebnisse ermöglicht. Leider +wird die Aussicht auf Erfolg durch die Tatsache geschmälert, dass keine +$n$-Schnittmuster für \ps{2n} gefunden werden konnten, die zu besseren +$n$-Sortiernetzwerken als \ps{n} führen. + +\subsection{Kooperation von \textsc{SN-Evolution} und +\textsc{SN-Evolution-Cut}} + +Ähnlich zu der parasitären \emph{Co-Evolution}, die \textit{W.~Daniel Hillis} +in~\cite{H1992} beschreibt, könnte man die Algorithmen \textsc{SN-Evolution} +und \textsc{SN-Evolution-Cut} versuchen zu kombinieren. Nach dem Zusammenfügen +von zwei $n$-Sortiernetzwerken könnte der Algorithmus +\textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise einen möglichst guten Schnitt für +\emph{dieses} Netzwerk ermitteln. Da sich die Lösungen, die Evolutionäre +Algorithmen in ihre Population aufnehmen, in den ersten Schritten rasch +verbessern, könnten selbst weniger Iterationen von \textsc{SN-Evolution-Cut} +die Zwischenlösungen von \textsc{SN-Evolution} deutlich verbessern. + +Alternativ könnte man -- analog zur Herangehensweise von \textit{Hillis} -- +eine zweite Population von Schnittmustern evolvieren, die für die +Sortiernetzwerke in der Population von \textsc{SN-Evolution} besonders gut +funktionieren. In jeder Iteration wendet man alle oder eine zufällige Menge +Schnittmuster auf das zusammengeführte Netzwerk an und gibt dem besten +Ergebnis den Zuschlag. Anschließend erfährt das entsprechende Schnittmuster +eine Aufwertung, so dass es wahrscheinlicher wird, dass \emph{dieses} +Schnittmuster zur nächten Generation beiträgt. Im Gegensatz zum Ansatz der +parasitären Eingaben entsteht eine \emph{Synergie} zweier Populationen, die +das Gesamtergebnis oder zumindest die Konvergenzgeschwindigkeit verbessern +könnte. \newpage \section{Implementierung}