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+
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 \begin{document}
 
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+
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+
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+
 \maketitle
 \begin{abstract}
-Dies ist der Abstract.
+Sortiernetzwerke werden eingeführt und einige bekannte Konstruktionen werden
+vorgestellt (Off-Even-Transposition, Bitonic-Merge, Odd-Even-Merge, Pairwise).
+Transformationsmöglichkeiten für Sortiernetzwerke werden besprochen.
+Evolutionäre Algorithmen werden beschrieben und ein evolutionärer
+Algorithmus für die Optimierung von Sortiernetzwerken wird angegeben.
+Die mindestens von diesem Algorithmus erreichte Güte wird angegeben und die
+Transformation zu einer Markov-Kette wird gezeigt. {\em Natürlich: So fern ich
+das hinbekomme bzw. Recht behalte.}
 \end{abstract}
 \newpage
 
 \tableofcontents
-\newpage
 
+\newpage
 \section{Motivation und Einleitung}
 
-\subsection{Motivation}
+\subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
+
+\begin{itemize}
+\item Sortiernetzwerke sind toll, weil $\ldots$
+\item Sortiernetzwerke sind einfach erklärt, aber trotzdem kompliziert.
+\item Bisher noch kein evolutionärer Algorithmus zur automatischen
+  Optimierung von Sortiernetzwerken bekannt. \textit{(Glaube ich zumindest.)}
+\end{itemize}
+
+\subsection{Einleitung}\label{sect:einleitung}
+
+\subsubsection{Sortiernetzwerke}\label{sect:einleitung_sortiernetzwerke}
+
+{\em Komparatoren} sind die Bausteine, die {\em Sortiernetzwerken} zugrunde
+liegen. Sie haben zwei Eingänge über die sie zwei Zahlen erhalten können.
+Ausserdem besitzt ein {\em Komparator} zwei Ausgänge, die im Gegensatz zu den
+Eingängen unterscheidbar sind: Die grö"sere der beiden Zahlen wird immer auf
+dem einen, die kleinere der beiden Zahlen immer auf dem anderen Ausgang
+ausgegeben.
+
+Wenn man nun mehrere {\em Komparatoren} miteinander kombiniert, also die
+Ausgänge von Komparatoren mit dem Eingängen anderer Komparatoren verbindet,
+erhält man ein {\em Komparatornetzwerk}.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/einfaches_komparatornetzwerk.tex}
+\end{center}
+\caption{Einfaches Komparatornetzwerk mit vier Ein- bzw. Ausgängen, bestehend
+aus 5~Komparatoren.}
+\label{fig:einfaches_komparatornetzwerk}
+\end{figure}
+
+Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} zeigt ein einfaches
+Komparatornetzwerk aus fünf Komparatoren in der üblichen Darstellungsweise:
+Die horizontalen Linien stellen Leitungen von den Eingängen auf der linken
+Seite zu den Ausgängen auf er rechten Seite dar. Die vertikalen Pfeile
+symbolisieren die Komparatoren, die die Werte "`auf den Leitungen"'
+vergleichen und ggf. vertauschen. Nach einem Komparator befindet sich die
+kleinere Zahl immer auf der Leitung, auf die der Pfeil zeigt, die größere Zahl
+befindet sich auf der Leitung auf der der Pfeil seinen Ursprung hat.
+
+Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
+gleichzeitig angewandt werden. Das Beispiel in
+Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} verwendet diesen Umstand und
+vergleicht in einem ersten Schritt die zwei oberen und die zwei unteren
+Leitungen gleichzeitig. Eine Gruppe von Komparatoren, die gleichzeitig
+angewendet werden können, nennt man eine \emph{Schicht} des
+Komparatornetwerks. Die \emph{Verzögerung} eines Komparatornetzwerks ist
+gleichbedeutend mit der Anzahl der Schichten, in die sich die Komparatoren
+mindestens gruppieren lassen, da sie die Anzahl der benötigten parallelen
+Schritte darstellt.
+
+Komparatornetzwerke, die für jede beliebige Eingabepermutation eine
+Ausgabe erzeugen, die der Sortierung der Eingabe entspricht, heißen 
+{\em Sortiernetzwerke}. Das in
+Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} gezeigte Komparatornetzwerk
+ist kein Sotiernetzwerk: Die Eingabefolge ${(1, 2, 3, 4)}$ würde zur Ausgabe
+${(2, 1, 3, 4)}$ führen -- die bestehenden Sortierung wird also sogar
+zerstört.
+
+Zu beweisen, dass ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft
+{\em nicht} hat, ist mit einem gegebenen Gegenbeispiel einfach möglich.
+Dieses Gegenbeispiel zu finden ist allerdings aufwendig.
+
+\todo{Wie findet man die Gegenbeispiele? Die {\em Entscheidung}, ob ein
+Netzwerk sortiert, ist doch NP-vollständig, also müsste doch das Finden eines
+Gegenbeispiels im Allgemeinen auch exponentialle Laufzeit haben..?}
+\todo{Wenn die {\em Entscheidung}, ob ein Netzwerk sortiert, NP-vollständig
+ist, müsse man dann nicht einen Zeugen für die Sortiereigenschaft angeben
+können?}
+
+\todo{$0-1$-Prinzip}
+
+Um zu überprüfen, ob ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft
+besetzt, müssen nicht alle $n!$ Permutationen von $n$~unterschiedlichen Zahlen
+ausprobieren. Stattdessen reicht es zu überprüfen, dass das Netzwerk alle
+$2^n$~0-1-Folgen sortiert.
+
+Sortiernetzwerke:
+\begin{itemize}
+\item Ein Komparator-Netzwerk ist $\ldots$
+\item Ein Komparator-Netzwerk ist ein Sortiernetzwerk, wenn $\ldots$
+\item Die Frage nach der Sortiereigenschaft ist NP-vollständig.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Evolutionäre Algorithmen}
+
+Viele {\em kombinatorische Optimierungsprobleme} sind schwer zu lösen -- die
+entsprechenden Entscheidungsprobleme liegen oft in der Komplexitätsklasse
+$NP$, sind also mit bekannten Verfahren nicht effizient exakt lösbar. Sollte
+sich herausstellen, dass diese Probleme nicht in der Komplexitätsklasse $P$
+liegen, wäre eine Konsequenz, dass es effiziente exakte Algorithmen für diese
+Probleme nicht geben kann. Falls sich hingegen herausstellt, dass diese
+Probleme in der Komplexitätsklasse~$P$ liegen, wird es mit großer
+Wahrscheinlichkeit noch einige Zeit dauern bis auch Algorithmen mit
+praktikablen Zeitkonstanten gefunden werden.
+
+Aus diesem Grund besteht die Notwendigkeit einen Kompromiss einzugehen: Statt
+die bzw. eine der {\em optimalen} Lösungen als einzige Ausgabe des Algorithmus
+zuzulassen, wird eine "`möglichst gute"' Lösung ausgegeben. Viele dieser
+Optimierungsalgorithmen orientieren sich an Vorgängen in der Natur,
+beispielsweise immitieren die "`Ameisenalgorithmen"' das Verhalten von Ameisen
+auf der Futtersuche um kurze Rundreisen auf Graphen zu berechnen.
+
+Bei {\em Evolutionären Algorithmen} stand die Evolution pate. Die Grundidee
+ist es, bestehende Lösungen zu neuen, unter Umständen besseren Lösungen zu
+kombinieren. Dabei bedient man sich der in der Evolutionstheorie etablierten
+Nomenklatur, beispielsweise werden konkrete Lösungen für ein Problem häufig
+als {\em Individuum} bezeichnet.
+
+Die Vorgehensweise lässt sich abstrakt wie folgt beschreiben. Aus einer
+bestehenden Lösungsmenge, der {\em Population} werden zufällig Lösungen
+ausgesucht {\em (Selektion)} und zu einer neuen Lösung kombiniert ({\em
+Rekombination}). Unter Umständen wird die neue Lösung noch zufällig
+verändert {\em (Mutation)}, bevor sie in die bestehende Lösungsmenge
+integriert wird. Die Wahrscheinlichkeiten, beispielsweise bei der {\em
+Selektion}, sind dabei nicht zwangsläufig gleichverteilt -- üblicherweise
+werden bessere Lösungen bevorzugt. Zur Bewertung die die sogenannte {\em
+Gütefunktion}.
+
+Nicht alle Probleme eignen sich für diese Strategie: Zum einen muss es möglich
+sein, eine initiale Population zur Verfügung zu stellen, da diese als Basis
+aller weiteren Operationen dient. Das ist häufig keine große Einschränkung, da
+es oft einfach ist {\em irgendeine} Lösung anzugeben. Zum anderen muss eine
+Methode für die Rekombination existieren. Das insbesondere dann problematisch
+wenn {\em Nebenbedingungen} eingehalten werden müssen.
+
+\begin{itemize}
+\item Unter einem "`Evolutionären Algorithmus"' versteht man $\ldots$
+\item Da die Sortiereigenschaft zu überprüfen NP-schwer ist, ist die
+Mutation \textit{(vermutlich)} nicht (effizient) möglich.
+\end{itemize}
+
+\newpage
+\section{Bekannte konstruktive Sortiernetzwerke}
+
+Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
+
+\subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
+\label{sect:odd_even_transpositionsort}
+
+Das Sortiernetzwerk {\em Odd-Even-Transpositionsort} (OET) ist eines der
+einfachsten Sortiernetzwerke. Es besteht aus $n$~{\em Schichten}, die jede
+"`Leitung"' abwechselnd mit den benachbarten Leitungen verbindet.
+Abbildung~\ref{fig:odd-even-transposition-08} zeigt das OET-Netzwerk für
+${n = 8}$ Leitungen.
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/oe-transposition-8.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit acht Eingängen.}
+  \label{fig:odd-even-transposition-08}
+\end{figure}
+
+Dass das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk tatsächlich jede beliegibe
+Eingabe sortiert ist nicht offensichtlich. Leicht zu sehen ist jedoch, dass
+sowohl das Minimum als auch das Maximum durch das im Netzwerk enthaltene
+Treppenmuster auf die unterste beziehungsweise oberste Leitung gelangt. Beim
+Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk mit drei Eingängen,
+$\operatorname{OET}(3)$, ist die Ausgabe folglich sortiert.
+
+Die Sortiereigenschaft größerer OET-Netzwerke lässt sich rekursiv beweisen,
+indem man $\operatorname{OET}(n)$ auf $\operatorname{OET}(n-1)$ durch
+Herausschneiden einer Leitung reduziert. In
+Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} wird das Vorgehen im Detail
+beschrieben, Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut} zeigt das
+Herausschneiden einer Leitung aus $\operatorname{OET}(8)$.
+
+Das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk ist weder in Bezug auf die Anzahl der
+Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen sich die
+Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt
+${\frac12 n (n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten
+angeordnet sind. Andere Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger
+Komparatoren, beispielsweise $\mathcal{O}(n (\log n)^2)$, die in weniger
+Schichten, zum Beispiel $\mathcal{O}(\log n)$, angeordnet sind.
+
+Das Interessante am OET-Netzwerk ist seine einfache Konstruktion. Einige der
+folgenden Algorithmen benötigen ein (einfaches) Sortiernetzwerk als
+Starteingabe, auf dessen Basis sie versuchen optimierte Sortiernetzwerke zu
+finden. Häufig dient $\operatorname{OET}(n)$ als Eingabe für diese
+Algorithmen.
+
+\subsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
+
+Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk ($\operatorname{BS}(n)$) ist ein
+Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{Kenneth~E. Batcher} in~\cite{B1968}
+veröffentlicht wurde. Es ist deutlich effizienter als das
+Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk -- sowohl in Bezug auf die Anzahl der
+Komparatoren als auch bezüglich der benötigten Zeit, also der Anzahl der
+Schichten.
+
+Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
+sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
+\emph{„bitoner Mischer“} (englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein
+verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
+
+Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
+Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl eine Zweierpotenz ist,
+$\operatorname{BS}(n = 2^t)$.
+
+\subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
+
+Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
+Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine beliebige
+\emph{bitone Folge} in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine \emph{bitone
+Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton absteigenden
+Folge, oder ein zyklischer Shift davon. Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton}
+zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten die durch zyklische Shifts
+entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das \emph{bitone
+Mergesort-Netzwerk} zeigen die Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0}
+und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie erhält man, wenn man eine aufsteigend und
+eine absteigend sortierte Liste aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen
+ist wichtig zu beachten, dass das letzte Element nicht größer
+(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. kleiner
+(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge sein
+darf.
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \subfigure[aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-0.tex}\label{fig:beispiel-biton-0}}
+  \subfigure[absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-1.tex}\label{fig:beispiel-biton-1}}
+  \subfigure[aufsteigend, absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-2.tex}\label{fig:beispiel-biton-2}}
+  \subfigure[absteigend, aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-3.tex}\label{fig:beispiel-biton-3}}
+  \caption{Beispiele bitoner Folgen.}
+  \label{fig:beispiel-biton}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \subfigure[normal]{\input{images/bitonic-merge.tex}\label{fig:bitonic-merge-normal}}
+  \qquad
+  \subfigure[trichter]{\input{images/bitonic-merge-trichter.tex}\label{fig:bitonic-merge-tricheter}}
+  \caption{Schematischer Aufbau des bitonen Mischers: Jedes Element der
+  aufsteigenden Folge $u_0, u_1, \ldots$ wird mit dem entsprechenden Element
+  der absteigend sortierten Folge $v_0, v_1, \ldots$ verglichen. Die beiden
+  resultierenden Teilfolgen sind wiederum biton.}
+  \label{fig:bitonic-merge-schema}
+\end{figure}
+
+Der Mischer funktioniert folgendermaßen: Gegeben sind zwei Folgen mit je
+${m = \frac{n}{2}}$ Elementen, $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}\right)$ und
+$V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die Folge $U$ sei aufsteigend
+sortiert, die Folge $V$ sei absteigend sortiert:
+\begin{eqnarray}
+ u_0 \leqq u_1 \leqq &\ldots& \leqq u_{m-1} \\
+ v_0 \geqq v_1 \geqq &\ldots& \geqq v_{m-1}
+\end{eqnarray}
+Im ersten Schritt werden nun jeweils die Elemente an den gleichen relativen
+Positionen verglichen und ggf. vertauscht:
+\begin{equation}
+u_i \longleftrightarrow v_i, \quad 0 \leqq i < m
+\end{equation}
+Sei $j \in \{0 \ldots m\}$ der Index der ersten Elemente $u_j$ und $v_j$, die
+durch den gemeinsamen Komparator vertauscht werden. Unter der Annahme, dass
+Elemente nur vertauscht werden wenn, sie ungleich sind, muss ${u_j > v_j}$
+gelten. Mit $u_j \leqq u_{j+1}$ und $v_j \geqq v_{j+1}$ folgt daraus $u_{j+1}
+> v_{j+1}$. Es werden also alle Elemente $u_k$ und $v_k$ mit $k \geqq j$
+vertauscht. $j = m$ bezeichnet den Fall, in dem das größte Element der
+"`linken"' Folge, $u_{m-1}$, kleiner ist als das kleinste Element der
+"`rechten"' Folge, $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass das Resultat in zwei bitone
+Folgen aufteilen lässt: Eine aufsteigende~/ absteigende Folge und eine
+absteigende~/ aufsteigende Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}
+zeigt die Situationen vor und nach diesem Schritt des Mischers.
+
+Um die Folge vollständig zu sortieren, müssen anschließend die beiden
+resultierenden bitonen Folgen sortiert werden. Die geschieht ebenfalls
+mithilfe des bitonen Mischers, mit zwei Instanzen von
+$\operatorname{BM}(\frac{n}{2})$. Diese rekursive Definition endet mit dem
+bitonen Mischer mit zwei Leitungen, $\operatorname{BM}(2)$, der als
+Komparator-Netzwerk mit einem Komparator zwischen den beiden Leitungen
+definiert ist.
+
+Der bitonen Mischer kann auch zwei aufsteigende Folgen sortieren. Dazu ist
+lediglich eine etwas modifizierte Vergleichs-Kaskade im ersten Schritt
+notwendig. Die folgenden, kleineren Mischer erhalten als Eingabe wieder eine
+„echte“ bitone Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das
+Schema des bitonen Mischers für zwei aufsteigend sortierte Foglen. Durch das
+Umdrehen einer Folge verändert sich das Muster der Komparatoren ein wenig:
+Statt an eine Treppe erinnert das Muster nun an einen Trichter.
+
+Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet
+die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden
+$\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus
+$\frac{1}{2} n \log(n) = \mathcal{O}\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
+besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können.
+
+\subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
+
+Ebenso wie der bitone Mischer $\operatorname{BM}(n)$ ist auch das \emph{bitone
+Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(n)$ rekursiv definiert. Es setzt sich
+zusammen aus zwei Instanzen des bitonen Mergesort-Netzwerks halber Größe,
+$\operatorname{BS}(\frac{n}{2})$, für je die Hälfte der Eingänge, sowie dem
+bitonen Mischer für $n$~Leitungen, $\operatorname{BM}(n)$. Das Rekursionsende
+ist das bitone Mergesort-Netzwerk mit nur einer Leitung,
+$\operatorname{BS}(1)$, welches als leeres Komparatornetzwerk definiert ist. 
+Entsprechend sind die Komparatornetzwerke $\operatorname{BM}(2)$ und
+$\operatorname{BS}(2)$ identisch.
+
+Bei der Konstruktion kommt die trichterförmige Anordnung der Komparatoren
+(Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter}) gelegen, weil so die beiden
+rekursiven Sortiernetzwerke in die gleiche Richtung sortieren können und so
+alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen.
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+  \input{images/batcher-8.tex}
+  \end{center}
+  \caption{$\operatorname{BS}(8)$, Batchers {\em bitones Mergesort-Netzwerk}
+  für acht Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von
+  $\operatorname{BS}(4)$ (rot), die beiden bitonen
+  Mischer~$\operatorname{BM}(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten
+  rekursiven Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
+  \label{fig:bitonic-08}
+\end{figure}
+
+Das konkrete Netzwerk~$\operatorname{BS}(8)$ ist in
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
+beiden Instanzen des Netzwerks~$\operatorname{BS}(4)$ (rot) sowie der bitone
+Mischer~$\operatorname{BM}(8)$ (blau). Die trichterförmige Komparator-Kaskade,
+die die bitone Eingabefolge in zwei bitone Ausgabefolgen transformiert, ist
+grün hinterlegt.
+
+Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(8)$ besteht aus
+$\frac{1}{4} n \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}\left(n (log (n))^2\right)$
+Komparatoren, die in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$
+Schichten angeordnet sind.
+
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\includegraphics[viewport=115 491 372 782,width=7.5cm]{images/sn-rekursiver-aufbau.pdf}
+%\end{center}
+%\caption{Rekursiver Aufbau von $S(n)$: Es besteht aus zwei Instanzen von
+%$S(n/2)$ und dem Mischer $M(n)$.}
+%\label{fig:bms_rekursiver_aufbau}
+%\end{figure}
+
+\subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+
+Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+(OES) und das \emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} (siehe
+Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Vielmehr ist
+OES dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}, das im vorherigen Abschnitt
+vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
+\textit{Kenneth~E. Batcher} gefunden worden und ist ebenfalls in~\cite{B1968}
+beschrieben und initial analysiert worden. Eine weitere Gemeinsamkeit besteht
+darin, dass es ebenfalls rekursiv durch einen Mischer definiert ist.
+
+\subsubsection{Der Odd-Even-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}
+
+Der \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(n,m)$ ist ein
+Komperatornetzwerk, dass zwei sortierte Folgen mit $n$ beziehungsweise $m$
+Elementen zu einer sortierten Ausgabefolge mit $N = n+m$~Elementen
+zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
+\emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}
+vorgestellt wurde. Allerdings benötigt der \emph{Odd-Even-Mischer} unter
+Umständen mehr Schichten als der \emph{bitone Mischer}.\footnote{Knuth,
+“Bitonic Sorting”, Seite~230}
+
+Der \emph{Odd-Even-Mischer} selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
+Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
+sortierten Folgen $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}\right)$ und
+$V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die gesamte Eingabe sei
+$W = \left(w_0, w_1, \ldots, w_{N-1}\right)$ mit:
+\begin{equation}
+w_i = \left\{ \begin{array}{ll}
+        u_i,     & i < n \\
+        v_{i-n}, & i \geqq n
+      \end{array} \right.,
+      \quad 0 \leqq i < N
+\end{equation}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+  \input{images/oe-merge.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Schematischer Aufbau des {\em Odd-Even} Mischers. Im Vergleich zum
+  bitonen Mischer für Acht kommt dieses Schema mit einem Komparator weniger
+  aus. Der Effekt wird duch den rekursiven Aufbau noch verstärkt.}
+  \label{fig:oe-merge}
+\end{figure}
+
+Diese werden in insgesamt vier sortierte Folgen aufgeteilt, je eine Liste der
+geraden Indizes und je eine Liste der ungeraden Indizes.
+\begin{eqnarray}
+  U_{\textrm{gerade}}   &=& \left(u_0, u_2, u_4, \ldots\right) \\
+  U_{\textrm{ungerade}} &=& \left(u_1, u_3, u_5, \ldots\right) \\
+  V_{\textrm{gerade}}   &=& \left(v_0, v_2, u_4, \ldots\right) \\
+  V_{\textrm{ungerade}} &=& \left(v_1, v_3, u_5, \ldots\right)
+\end{eqnarray}
+
+Die geraden Folgen $U_{\textrm{gerade}}$ und $V_{\textrm{gerade}}$ bzw. die
+ungeraden Folgen $U_{\textrm{ungerade}}$ und $V_{\textrm{ungerade}}$ werden
+rekursiv von kleineren {\em Odd-Even-Mischern} zusammengefügt, so dass sich am
+Ausgang der Mischer die Folgen
+\begin{eqnarray}
+  W_{\textrm{gerade}}   &=& \left(w_0, w_2, w_4, \ldots\right) \\
+  W_{\textrm{ungerade}} &=& \left(w_1, w_3, w_5, \ldots\right)
+\end{eqnarray}
+ergeben.
+
+Anschließend werden die Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen
+hinzugefügt,
+\begin{equation}
+  w_{2i-1} \longleftrightarrow w_{2i}, \quad 1 \leqq i < \frac{N}{2}
+\end{equation}
+die die Folge~$W$ sortieren. Den schematischen Aufbau des {\em
+Odd-Even-Mischers} zeigt Abbildung~\ref{fig:oe-merge}.
+
+Leider bricht die Rekursion nicht so schön ab, wie das beim {\em bitonen
+Mischer} der Fall gewesen ist. Insbesondere für ${n = m = 1}$ würde --
+entsprechend der Konstruktionsvorschrift -- ein leeres Netzwerk entstehen, was
+offensichtlich nicht korrekt wäre. Die Abbruchbedingungen für den rekursiven
+Aufbau lauten:
+\begin{itemize}
+  \item Falls ${n = 0}$ oder ${m = 0}$: Das Netzwerk ist leer.
+  \item Falls ${n = 1}$ und ${m = 1}$: Das Netzwerk besteht aus einem
+  einzelnen Komparator.
+\end{itemize}
+
+Dass die resultierende Folge sortiert ist, lässt sich mit dem
+{\em 0-1-Prinzip} zeigen:
+Da $U$ und $V$ sortiert sind, ist die Anzahl der Nullen in den geraden
+Teilfolgen, $U_{\textrm{gerade}}$ bzw. $V_{\textrm{gerade}}$, größer oder
+gleich der Anzahl der Nullen in den ungeraden Teilfolgen
+$U_{\textrm{ungerade}}$ bzw. $V_{\textrm{ungerade}}$ --~die Einsen verhalten
+sich entsprechend umgekehrt. Das trifft demnach auch auf die Folgen
+$W_{\textrm{gerade}}$ und $W_{\textrm{ungerade}}$ entsprechend zu:
+\begin{eqnarray}
+  \left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0
+  &=& \left|U_{\textrm{gerade}}\right|_0
+    + \left|V_{\textrm{gerade}}\right|_0
+   =  \left\lceil \frac{1}{2} \left|U\right|_0 \right\rceil
+   +  \left\lceil \frac{1}{2} \left|V\right|_0 \right\rceil \\
+  \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0
+  &=& \left|U_{\textrm{ungerade}}\right|_0
+    + \left|V_{\textrm{ungerade}}\right|_0
+   =  \left\lfloor \frac{1}{2} \left|U\right|_0 \right\rfloor
+   +  \left\lfloor \frac{1}{2} \left|V\right|_0 \right\rfloor
+\end{eqnarray}
+Daraus folgt, dass $W_{\textrm{gerade}}$ $0$, $1$ oder $2$ Nullen mehr enthält
+als $W_{\textrm{ungerade}}$. In den ersten beiden Fällen ist die "`verzahnte"'
+Ausgabe der beiden kleineren Mischer bereits sortiert. Nur im letzten Fall,
+wenn $W_{\textrm{gerade}}$ zwei Nullen mehr enthählt als
+$W_{\textrm{ungerade}}$, muss genau eine Vertauschung stattfinden, um die
+Ausgabe zu sortieren. Diese wird von den Komparatoren, die benachbarte
+Leitungen miteinander vergleichen, ausgeführt. Die jeweiligen Situationen sind
+in Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 0$]{\input{images/oe-post-recursive-diff0.tex}}
+  \qquad
+  \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 1$]{\input{images/oe-post-recursive-diff1.tex}}
+  \qquad
+  \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 2$]{\input{images/oe-post-recursive-diff2.tex}}
+  \caption{Die drei Situationen, die nach dem Verzahnen der Ausgaben der
+  kleineren {\em Odd-Even-Mischer} entstehen können. Ist die Differenz der
+  Anzahl der Nullen gleich $0$ oder $1$, ist die Folge bereits sortiert. Im
+  letzten Fall stellt einer der Komparatoren sicher, dass das Ergebnis
+  sortiert ist.}
+  \label{fig:oe-post-recursive}
+\end{figure}
+
+Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden,
+bricht die Rekursion nach $\mathcal{O}\left(\log (n) + \log (m)\right)$
+Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit
+Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der Längeren der beiden
+Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$.
+
+Die Anzahl der Komparatoren $K(n,m)$, die $\operatorname{OEM}(n,m)$ im
+allgemeinen Fall verwendet, ist Gemäß der rekursiven Definition in
+Abhängigkeit der Länge der Eingabefolgen, $n$ und $m$:
+\begin{displaymath}
+  K(n,m) = \left\{ \begin{array}{ll}
+    nm, & \mathrm{falls} \quad nm \leqq 1 \\
+    K\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil, \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil\right)
+    + K\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor\right)
+    + \left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor & \mathrm{falls} \quad nm > 1
+  \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form
+anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
+dass $K(n,m)$ in $\mathcal{O}(N \log (N))$ enthalten ist.
+
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$, lässt sich die Anzahl
+der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der erste
+Rekursionsschritt der OEM-Konstruktion fügt
+$\left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor = \frac{N}{2} - 1$
+Komparatoren ein -- einen Komparator weniger als der \emph{bitone Mischer} in
+diesem Schritt. Das selbe gilt für die rekursiv verwendeten kleineren Mischer,
+$\operatorname{OEM}(\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$ und so weiter bis
+einschließlich $\operatorname{OEM}(2, 2)$, von denen es $2, 4, \dots,
+\frac{N}{4} = 2^{\log(N)-2}$ Instanzen gibt. Insgesamt werden
+\begin{displaymath}
+  \sum_{i=0}^{\log(N)-2} 2^i = 2^{\log(N) - 1} - 1 = \frac{N}{2} - 1 = n - 1
+\end{displaymath}
+Komparatoren eingespart. Damit ergibt sich
+\begin{displaymath}
+  K\left(n = 2^{t-1}, n = 2^{t-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1
+\end{displaymath}
+für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^t)$
+benötigt werden.
+
+\subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+
+Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht, --~wie
+das \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
+sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even-Mischer}. Die
+effizientesten Sortiernetzwerke in Bezuf auf Komparator- und Schichtzahl
+entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
+$\operatorname{OES}(n)$ aus
+$\operatorname{OES}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)$,
+$\operatorname{OES}\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$
+und $\operatorname{OEM}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil,
+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$. Die Rekursion endet mit
+$\operatorname{OES}(1)$ und $\operatorname{OES}(0)$, die als leere
+Komparatornetzwerke definiert sind.
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+  \input{images/oe-mergesort-8.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge. Markiert
+  sind die Instanzen von $\operatorname{OES}(4)$ (rot), die beiden
+  \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(4)$ für gerade und ungerade
+  Leitungen (blau) und die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügten
+  Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen (grün).}
+  \label{fig:odd-even-mergesort-08}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{fig:odd-even-mergesort-08} ist das konkrete Sortiernetzwerk
+$\operatorname{OES}(8)$ zu sehen. Rot markiert sind die beiden rekursiven
+Instanzen $\operatorname{OES}(4)$. Die blauen und der grüne Block stellen den
+\emph{Odd-Even-Mischer} für acht Leitungen dar: Die beiden blauen Blöcke sind
+die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
+die Komparatoren, die in ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
+
+Im Allgemeinen ist die Anzahl der Komparatoren, die vom
+\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} verwendet wird, $k(n)$, direkt aus der
+Definition beziehungsweise der Konstruktionsanleitung abzulesen:
+\begin{displaymath}
+  k(n) = k\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)
+       + k\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
+       + K\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil, \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
+\end{displaymath}
+Eine geschlossene Form dieser Formel ist schon alleine deshalb schwierig, weil
+sie für $K(n,m)$ schwierig anzugeben ist. Es ist allerdings bekannt, dass
+$k(n)$ in $\mathcal{O}\left(n \left(\log (n)\right)^2\right)$ enthalten ist.
+
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist, kann die
+Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{Kenneth
+Batcher} zeigt in~\cite{B1968}, dass in diesem Fall
+\begin{displaymath}
+  k(n = 2^t) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1
+\end{displaymath}
+gilt.
+
+% gnuplot:
+% oem(n,m) = ((n*m) <= 1) ? (n*m) : oem(ceil(.5*n), ceil(.5*m)) + oem(floor(.5*n), floor(.5*m)) + floor(.5*(n+m-1.0))
+% oem1(n) = oem(ceil(.5*n),floor(.5*n))
+% oes(n) = (n <= 1.0) ? 0 : oes(ceil(0.5*n)) + oes(floor(0.5*n)) + oem1(n)
+
+%\begin{itemize}
+%\item Pairwise sorting-network
+%\end{itemize}
+
+\newpage
+\section{Transformation von Sortiernetzwerken}
+
+\subsection{Komprimieren}
+
+\todo{Aus theoretischer Sicht eigentlich eine Trivialität. Rausschmeißen?}
+
+Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
+gleichzeitig ausgewertet werden, wie bereits in
+Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} beschrieben. Unter
+\emph{Komprimieren} wird eine (Neu-)Gruppierung in die kleinstmögliche Anzahl
+von \emph{Schichten} verstanden.
+
+Diese Anzahl ist insbesondere beim automatisierten Bewerten von
+Komparatornetzwerken interessant. \dots
+
+\subsection{Normalisieren}
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \subfigure[$S(8)$ (nach Konstruktion)]{\input{images/batcher-8-nonstd.tex}\label{fig:bitonic-nonstd}}
+  \subfigure[$S(8)$ (normalisiert)]{\input{images/batcher-8-std.tex}\label{fig:bitonic-std}}
+  \caption{Jedes Sortiernetzwerk kann in ein Standard-Sortiernetzwerk
+  transformiert werden. Gezeigt ist das bitone Sortiernetzwerk nach der
+  intuitiven Konstruktion und die normalisierte Variante.}
+  \label{fig:beispiel_normalisieren}
+\end{figure}
+
+Ein \emph{Standard-Sortiernetzwerk} oder \emph{normalisiertes Sortiernetzwerk}
+ist ein Sortiernetzwerk, dessen Komparatoren alle in die selbe Richtung
+zeigen. Jedes Sortiernetzwerk kann in eine normaliesierte Variante
+transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise \emph{Knuth} (\todo{Verweis})
+einen Algorithmus an.
+
+Abbildung~\ref{fig:beispiel_normalisieren} zeigt das das
+bitone Sortiernetzwerk in zwei Varianten. Abbildung~\ref{fig:bitonic-nonstd}
+zeigt das Netzwerk nach der Konstruktionsvorschrift, siehe auch
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}: In den ersten drei Schichten werden
+die unter und die obere Hälfte gegenläufig sortiert. Das heißt dass nach drei
+Schritten die eine Hälfte auf- und die andere Hälfte absteigend sortiert ist. 
+In den Schichten~4 bis~6 folgt der bitone Mischer entsprechend der rekursiven
+Definition.
+
+In Abbildung~\ref{fig:bitonic-std} ist die normalisierte Version des bitonen
+Mergesort-Netzwerks zu sehen. Alle Komparatoren zeigen hier in die gleiche
+Richtung. Statt dem typischen "`Treppenmuster"' sind abwechselnd das Treppen-
+und das Trichtermuster zu sehen.
+
+\subsection{Zwei Netzwerke kombinieren}
 
-Das habe ich gemacht, bzw. darum habe ich das gemacht.
+Um Sortiernetzwerke als \emph{Individuen} evolutionärer Algorithmen verwenden
+zu können, muss es möglich sein, zwei Sortiernetzwerke zu einem neuen
+Sortiernetzwerk zusammenzufassen.
 
-\subsection{Einleitung}\label{sect:introduction}
+Wir haben diese Technik in den vorangegangen Abschnitten bereits verwendet,
+beispielsweise um zwei \emph{bitone Mergesort-Netzwerke} mit jeweils der
+halben Leitungszahl, $\operatorname{BS}\left(\frac{n}{2}\right)$, zu einem
+einzigen Sortiernetzwerk $\operatorname{BS}(n)$ zu kombinieren. Auch das
+\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ wurde auf diese Art
+und Weise rekursiv aufgebaut.
 
-Das sind Sortiernetzwerke und so.
+Die vorgestellten \emph{Mischer} erwarten als Eingabe zwei bereits sortierte
+Folgen. \emph{Wie} diese Folgen sortiert wurden, ist unerheblich. Entsprechend
+können wir beliebige Sortiernetzwerke einsetzen, um die beiden Eingabefolgen
+zu sortieren, und die Ausgaben mit einem der beschriebenen Mischer
+zusammenfügen.
 
-\section{Die Algorithmen}
+Beispielsweise kann man die Ausgabe von zwei \emph{bitonen
+Mergesort-Netzwerken} $\operatorname{BS}(8)$ mit je acht Leitungen mit dem
+\emph{Odd-Even-Merge} $\operatorname{OEM(8,8)}$ zu einer sortierten
+Gesamtfolge zusammenfügen. Das resultierende Sortiernetzwerk besitzt
+73~Komparatoren (zum Vergleich: $\operatorname{BS}(16)$ benötigt
+80~Komparatoren, $\operatorname{OES}(16)$ nur 63).
+
+Verbesserungen in der Anzahl der benötigten Komparatoren beziehungsweise der
+Schichten eines „kleinen“ Sortiernetzwerks übertragen sich direkt auf das
+resultierende Gesamtnetzwerk. Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+$\operatorname{OES}(9)$ benötigt beispielsweise 26~Komparatoren, die in in
+neun Schichten angeordnet sind. Es sind allerdings Sortiernetzwerke mit neun
+Eingängen bekannt, die lediglich 25~Komparatoren in sieben Schichten
+benötigen. Kombiniert man zwei dieser Netzwerke mit dem
+\emph{Odd-Even-Mischer} erhält man ein Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das
+80~Komparatoren in 11~Schichten benötigt -- $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
+82~Komparatoren in 13~Schichten. Damit ist das resultierende Netzwerk so
+schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das \textit{Sherenaz~W.
+Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step
+Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber
+6~Komparatoren weniger.
+
+% 9   9
+% 9  18
+% 9  27
+% 9  36
+% 9  45
+% 8  53
+% 8  61
+% 7  68
+% 7  75
+% 6  81
+% 5  86
+
+Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
+ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
+sortiert ist, ist das zweite Sortiernetzwerk überflüssig. Eine
+Aneinanderreihung der Art „die ersten $x$~Schichten des einen, dann die
+letzten $y$~Schichten des anderen Sortiernetzwerks“ zerstören im Allgemeinen
+die Sortiereigenschaft. Die Sortiereigenschaft des resultierenden
+Komparatornetzwerks müsste überprüft werden, was nach heutigem Wissensstand
+nur mit exponentiellem Aufwand möglich ist.
+
+%\begin{itemize}
+%\item Mit dem Bitonic-Merge
+%\item Mit dem Odd-Even-Merge
+%\item Nach dem Pairwise sorting-network Schema.
+%\end{itemize}
+
+\subsection{Leitungen entfernen}\label{sect:leitungen_entfernen}
+
+Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass es mithilfe von
+\emph{Mischern} möglich ist, aus zwei Sortiernetzwerken mit je $n$~Eingängen
+ein neues Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen zu erzeugen. Für einen
+beabsichtigen \emph{evolutionären Algorithmus} ist es jedoch notwendig, dass
+sich die Anzahl der Eingänge nicht verändert. Das heißt, dass wir wieder ein
+Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen erhalten müssen.
+
+Man kann ein gegebenes Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen auf ein
+Sortiernetzwerk mit ${n-1}$~Leitungen verkleinern, indem man eine Leitung
+„eliminiert“. Dazu nehmen wir an, dass das Minimum oder das Maximum an einem
+bestimmten Eingang anliegt. Der Weg, den das Minimum beziehungsweise das Maxim
+durch das Sortiernetzwerk nimmt, ist eindeutig bestimmt und endet an einem der
+„Ränder“, also auf der Leitung mit dem höchsten oder dem niedrigsten Index.
+Insbesondere ist bekannt, welche Komparatoren „berührt“ werden und welche
+dafür sorgen, dass der Wert die Leitung gewechselt, da das Minimum jeden
+Vergleich „verliert“ und das Maximum jeden Vergleich „gewinnt“. Die
+Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} zeigt den Weg eines Maximums durch
+das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}.
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \subfigure[foo]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}}
+  \subfigure[bar]{\input{images/oe-transposition-cut1.tex}\label{fig:oe-transposition-cut1}}
+  \subfigure[baz]{\input{images/oe-transposition-cut2.tex}\label{fig:oe-transposition-cut2}}
+  \subfigure[qux]{\input{images/oe-transposition-cut3.tex}\label{fig:oe-transposition-cut3}}
+  \caption{Eine Leitung wird aus dem
+  \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(8)$ entfernt:
+  Auf der rot markierten Leitung wird $\infty$ angelegt. Da der Wert bei jedem
+  Komparator am unteren Ende herauskommt, ist der Pfad fest vorgegeben. Da die
+  restlichen Werte trotzdem noch richtig sortiert werden müssen, kann dieser
+  Pfad herausgetrennt werden. In der letzten Abbildung ist
+  $\operatorname{OET}(7)$ markiert.}
+  \label{fig:oe-transposition-cut}
+\end{figure}
+
+Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht bzw.
+ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der Leitung geführt
+haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in
+Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} grün markiert. Die Komparatoren, die
+zum Wechsel der Leitung geführt haben, werden durch sich kreuzende Leitungen
+ersetzt. Das Resultat ist eine Leitung, auf der das Minimum beziehungsweise
+das Maximum angenommen wird, die an unterster oder oberster Stelle endet und
+auf die keine Komparatoren mehr berührt
+(Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut1}).
+
+Die Werte auf den verbleibenden $(n-1)$~Leitungen müssen vom restlichen
+Komparatornetzwerk immernoch sortiert werden: Wir haben lediglich die Position
+des Minimums oder des Maximums angenommen. Ein Sortiernetzwerk muss die
+Eingabe sortieren, egal auf welcher Leitung das Minimum~/ das Maximum liegt.
+Wir haben lediglich angefangen, das Sortiernetzwerk unter diese Annahme
+auszuwerten -- über die verbleibenden Eingänge haben wir keine Aussage
+getroffen. Entsprechend müssen die verbleibenden Ausgänge eine sortierte Liste
+mit $(n-1)$~Elementen darstellen.
+
+Wenn wir die Minimum- beziehungsweise Maximum-Leitung entfernen
+(Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2}), bleibt das Sortiernetzwerk für
+$(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung ein Minimum oder ein
+Maximum angenommen wird, bezeichnen wir das eliminieren einer Leitung als
+\emph{Minimum-Schnitt} beziehungsweise \emph{Maximum-Schnitt}.
+
+Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das
+Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot
+markierten Komparatoren wurden verschoben, so dass sich eine kompaktere
+Darstellung ergibt. Ausserdem ist das
+{\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} für sieben Werte markiert. Der
+zusätzliche Komparator vor dem $\textrm{OET}(7)$ hat keinen Einfluss auf die
+Ausgabe und kann entfernt werden.
+
+\subsubsection{Anzahl möglicher und unterschiedlicher Schnittmuster}
+\label{sect:anzahl_schnittmuster}
+
+Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem
+Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
+$n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können wir auf diese Art und
+Weise einen Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen wieder auf ein Sortiernetzwerk
+mit $n$~Eingängen reduzieren. Das Anwenden mehrerer Minimum- und
+Maximum-Schnitte bezeichnen wir als \emph{Schnittmuster}.
+
+Zwei Schnittmuster heißen \emph{äquivalent} bezüglich~$S$, wenn ihre Anwendung
+auf das Sortiernetzwerk~$S$ das selbe Ergebnis liefert. Ansonsten heißen die
+Schnittmuster \emph{unterschiedlich} bezüglich~$S$. 
+
+Bei einem Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen gibt es $2n$~Möglichkeiten eine
+Leitung zu entfernen: Auf jeder der $n$~Leitungen kann sowohl das Minimum als
+auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um
+ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein $m$-Sortiernetzwerk zu reduzieren, ergeben
+sich insgesamt
+\begin{displaymath}
+  \prod_{i=n}^{m+1} 2i = 2^{n-m} \frac{n!}{m!}
+  \quad (n > m)
+\end{displaymath}
+\emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
+unterschiedlich. Legt man beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung
+und das Maximum auf die oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks,
+führen beide Reihenfolgen zum selben Ergebnis.
+
+\textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit (\todo{Referenz}), dass
+es möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise
+Maximum vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster
+reduziert, die Menge der so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber
+unverändert. Die Anzahl der möglichen Schnittmuster setzt sich zusammen aus
+der Anzahl von Möglichkeiten, $n-m$~Leitungen aus $n$ Leitungen auszuwählen,
+und die möglichen Minimum-~/ Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende
+Formel für die Anzahl der Schnittmuster:
+\begin{displaymath}
+  2^{n-m} \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ n-m \end{array} \right)
+  = 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{(n-m)! m!}
+  = 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{m!} \cdot \frac{1}{(n-m)!}
+  \quad (n > m)
+\end{displaymath}
+
+Die Anzahl der möglichen Schnittmuster wird mit der Anzahl der zu entfernenden
+Leitungen sehr schnell sehr groß. Um ein Sortiernetzwerk mit 32~Eingängen auf
+ein Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen zu reduzieren, ist ein Schmittmuster mit
+16~Schnitten notwendig, für das es bereits etwa ${3,939 \cdot 10^{13}}$
+Möglichkeiten gibt. Ein Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für große
+Netzwerke nicht oder nur unter erheblichem Ressourcenaufwand möglich.
+
+Die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster ist allerdings kleiner
+als die Anzahl der möglichen Schnittmuster. Für jeden Komparator auf der
+ersten Stufe gibt es neun verschiedene Eingangskonfigurationen: Für beide
+Eingänge gibt es drei mögliche Eingangswerte, Minimum, Maximum und
+unspezifiziert. Es gibt drei Konfigurationen, bei denen an beiden Eingängen
+der gleiche Wert angelegt wird, und sechs Konfigurationen, bei denen sich die
+Werte unterscheiden.
+
+Bei diesen letzten sechs Konfigurationen werden je zwei auf das selbe
+Ausgangmuster abgebildet, weil die Position des Minimums beziehungsweise des
+Maximums durch den Komparator vorgegeben wird. Das heißt, dass die neun
+unterschiedlichen Eingangsmuster nur sechs unterschiedliche Ausgangsmuster
+erzeugen. In der zweiten und allen folgenden Schichten kann man diesen
+Unterschied nicht mehr erkennen. In allen sechs Fällen, in denen sich die
+Eingänge unterscheiden, wird anschließend der Komparator entfernt, so dass
+sich die Resultate auch in der ersten Schicht nicht unterscheiden.
+
+\todo{Mit \textit{Approximate Counting} könnte man die Anzahl der
+\emph{unterschiedlichen} Schnittmuster genauer abschätzen.}
+
+\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus}
+
+Um einen evolutionären Algorithmus für Sortiernetzwerke zu entwickeln, werden
+die vorgestellten Methoden kombiniert.
+
+\subsection{Bewertungsfunktion}\label{sect:bewertung}
+
+Um Sortiernetzwerke überhaupt optimieren zu können, muss zunächst die
+{\em Güte} eines Netzwerkes definiert werden. Prinzipiell gibt es zwei Ziele,
+die interessant sind:
+\begin{itemize}
+  \item Möglichst wenige Komparatoren ("`klein"')
+  \item Möglichst wenige Schichten ("`schnell"')
+\end{itemize}
+
+Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken. Das
+kleinste bekannte Sortiernetzwerk für 16~Eingänge besteht aus 60~Komparatoren
+in 10~Schichten. Das schnellste Netzwerk besteht aus 61~Komparatoren in nur
+9~Schichten.
+
+Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`klein"' und "`schnell"'
+berücksichtigen kann, hat die folgende allgemeine Form:
+\begin{equation}
+  \operatorname{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}}
+                    + w_{\mathrm{Komparatoren}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Komparatoren}
+                    + w_{\mathrm{Schichten}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Schichten}
+\end{equation}
+Die Parameter $w_{\mathrm{Komparatoren}}$ und $w_{\mathrm{Schichten}}$ dienen
+dabei der Festlegung des Optimierungsziels. Wenn einer der beiden Parameter
+gleich Null ist, wird nur das jeweils andere Ziel verfolgt. Sind beide
+Parameter gleich Null, werden alle Netzwerke mit der gleich Güte bewertet --
+jegliche Ergebnisse sind dann rein zufälliger Natur.
+
+Mit dem Parameter $w_{\mathrm{Basis}}$ kann auf die Selektion Einfluss
+genommen werden. Ist er groß, wird der relative Unterschied der Güten
+verschiedener Netzwerke kleiner, was die {\em Exploration}, das Absuchen des
+gesamten Lösungsraums, begünstigt. Wählt man $w_{\mathrm{Basis}}$ hingegen
+klein, in Abhängigkeit von den anderen beiden Parametern sind auch negative
+Werte möglich, werden die relativen Unterschiede groß. Dadurch wird die {\em
+Exploitation}, das Finden lokaler Optima, bevorzugt.
+
+\subsection{Selektion}
 
 ...
 
-\subsection{Ausblick}
+\subsection{Rekombination}
+
+Bei der Rekombination werden zwei Individuen --~hier Sortiernetzwerke~-- zu
+einer neuen Lösung kombiniert. Dazu verwenden wir einen Mischer, zum Beispiel
+den {\em bitonen Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}) oder den
+{\em Odd-Even-Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_odd_even_mischer}), um die
+beiden Netzwerke zu einem Netzwerk mit $2n$~Leitungen zusammenzufügen.
+Anschließend entfernen wir zufällig $n$~Leitungen wie in
+Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben.
+
+Dieses Verfahren hat den großen Vorteil, dass es die Sortiereigenschaft
+erhält.
+
+\subsection{Mutation}
+
+Zu einem vollständigen evolutionären Algorithmus gehört außerdem eine Mutation
+--~eine zufällige Veränderung einer Lösung. Leider ist es nicht möglich ein
+Sortiernetzwerk zufällig zu verändern aber trotzdem die Sortiereigenschaft zu
+erhalten. Selbst das \emph{Hinzufügen} eines zufälligen Komparators kann diese
+Eigenschaft zerstören.
+
+Nach einer Mutation müsste man überprüfen, ob das neue Komparatornetzwerk die
+Sortiereigenschaft noch besitzt. Nach heutigem Wissenstand ist diese
+Überprüfung nur mit exponentiellem Aufwand möglich, etwa durch das
+Ausprobieren aller $2^n$~Bitmuster.
 
-So geht's jetzt weiter.
+Um das Potenzial einer Mutation abzuschätzen habe ich in den evolutionären
+Algorithmus eine Überprüfung eingebaut. Unmittelbar vor dem Einfügen in die
+Population überprüft das Programm die Notwendigkeit jedes einzelnen
+Komparators. Dazu wurde nacheinander jeder Komparator entfernt und überprüft,
+ob das verbleibende Netzwerk die Sortiereigenschaft noch besitzt.
 
-%\bibliography{references}
-%\bibliographystyle{plain}
+\begin{itemize}
+\item Güte von Sortiernetzwerken (Anzahl der Komparatoren, Anzahl der
+Schichten, kobiniert)
+\item Rekombination: Merge Anhängen und Leitungen entfernen.
+\end{itemize}
+
+Ein Beispielnetzwerk, das von dem Algorithmus gefunden wird, zeigt
+Abbildung~\ref{fig:evolutionary_08}.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/evolutionary-08.tex}
+\end{center}
+\caption{Ein mit dem evolutionären Algorithmus erzeugtes Sortiernetzwerk mit
+acht Eingängen. Es besteht aus 19~Komparatoren in 6~Schichten.}
+\label{fig:evolutionary_08}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/08-e2-1237993371.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/08-e2-1237993371.tex}: 19~Komparatoren in 6~Schichten}
+\label{fig:08-e2-1237993371}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/09-e2-1237997073.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/09-e2-1237997073.tex}: 25~Komparatoren in 8~Schichten}
+\label{fig:09-e2-1237997073}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/09-e2-1237999719.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/09-e2-1237999719.tex}: 25~Komparatoren in 7~Schichten}
+\label{fig:09-e2-1237999719}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/10-e2-1239014566.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/10-e2-1239014566.tex}: 29~Komparatoren in 8~Schichten}
+\label{fig:10-e2-1239014566}
+\end{figure}
+
+\subsection{Güte}
+
+\begin{itemize}
+\item So gut kann man mindestens werden {\em ($\rightarrow$ Bitonic-Mergesort, vermute ich)}.
+\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \em{Mischer} ab.
+\item Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.
+\end{itemize}
+
+%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
+
+\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
+\label{sect:sn-evolution-cut}
+
+Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
+Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
+Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
+möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
+von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem
+Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
+gute Schnittmuster gesucht.
+
+Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster}
+als Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten
+$r$~Schnitte des einen Schnittmusters verwendet und die letzten
+${c-r}$~Schnitte des zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit
+$0 \leqq r \leqq c$.
+
+Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
+auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
+Schnitt-Richtung.
+
+\subsection{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
+
+In \cite{MW2010} zeigen \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka},
+wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
+durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen
+Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer
+sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
+werden, Komparatoren ein.
+
+Beispeilsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
+Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
+konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk benötigt 68~Komparatoren, 12~weniger
+als das bitone Mergesort-Netzwerk nach Batchers Methode. Gegenüber Batchers
+Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$
+Komparatoren ein.
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/16-ec-from-bs32.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+    10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+    \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}
+    $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+  \label{fig:16-ec-from-bs32}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/16-ec-from-bs32-normalized.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+    10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+    \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+    $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+  \label{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
+\end{figure}
+
+Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+$\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
+Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
+16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in den
+Abbildungen~\ref{fig:16-ec-from-bs32} und~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
+zu sehen. Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} zeigt $\operatorname{BS}(32)$
+und das
+${\operatorname{MIN}(0,5,9,11,15,17,20,22,26,29,30)}$-${\operatorname{MAX}(2,4,13,19,24)}$-Schnittmuster,
+das durch \textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
+nachdem das Schnittmuster angewandt und das Netzwerk normalisiert wurde. Eine
+Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist in
+diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des
+Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
+
+\begin{figure}
+  % 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
+  % 23:MIN 24:MAX 25:MAX 30:MIN 31:MIN 32:MAX 34:MAX 36:MIN 37:MAX 40:MAX
+  % 43:MAX 46:MIN 47:MAX 48:MAX 49:MAX 54:MIN 55:MAX 56:MAX 58:MIN 60:MAX
+  % 63:MAX
+  \begin{center}
+    \input{images/32-ec-from-bs64.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen und 206~Komparatoren in
+    15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+    \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+    $\operatorname{BS}(64)$ durch 32~Schnitte erzeugt. Das zugehörige
+    Schnittmuster ist
+    $\operatorname{MIN}(4, 14, 23, 30, 31, 36, 46, 54, 58)$,
+    $\operatorname{MAX}(0, 1, 6, 9, 11, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 32, 34, 37,
+    40, 43, 47, 48, 49, 55, 56, 60, 63)$.}
+  \label{fig:32-ec-from-bs64}
+\end{figure}
+
+Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} von \textit{Wanka}, die den bitonen
+Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
+konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
+$\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen
+Größen, beispielsweise wenn man $\operatorname{BS}(64)$ auf ein
+32-Sortiernetzwerk reduziert, kann das Ergebnis sogar noch übertroffen werden,
+wie in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} zu sehen: Ein nach Batchers Methode
+konstruiertes Sortiernetzwerk benötigt 240~Komparatoren, ein aus den
+optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk verbessert die Kosten auf
+208~Komparatoren. Das in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} dargestellte
+Sortiernetzwerk benötigt lediglich 206~Komparatoren. Die Komparatoren aller
+dieser Netzwerke können in 15~Schichten angeordnet werden, so dass die
+Verzögerung dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
+
+Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
+unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
+gute Schnittmuster anzugeben.
+
+Entscheidend für das Ergebnis eines Schnittmusters scheint beim bitonen
+Mergesort-Netzwerk die Aufteilung der Minimum- und Maximumschnitte zu sein.
+Von Hundert 16-Schnittmustern für $\operatorname{BS}(32)$, die in
+Sortiernetzwerken mit 68~Komparatoren in 10~Schichten resultieren, hatten 73
+ein Verhältnis von $5/11$, 13 hatten ein Verhältnis von $4/12$ und 14 hatten
+ein Verhältnis von $3/13$ Minimum- beziehungsweise Maximumschnitten. Da sich
+die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des bitonen Mergesort-Netzwerks
+leicht invertieren lassen, werden der Fall, dass es mehr Minimumschnitte, und
+der Fall, dass es mehr Maximumschnitte gibt, nicht unterschieden.
+
+Dass die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution-Cut} keine erkennbare Struktur
+haben, ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere
+von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} $\operatorname{OET}(n)$ und
+$m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
+$\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk. 
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
+    10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+    \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+    $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+  \label{fig:16-ec-from-ps32}
+\end{figure}
+
+\subsection{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+
+Anders verhält sich das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+$\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
+Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert. Startet man
+\textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
+16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, dass die gleiche
+Anzahl an Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
+$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
+
+Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even-Mischer} nicht
+einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist der
+$\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
+den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzerke, die
+strukturell identisch zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
+Schichten~1 und~2 sowie 4~und~5 sind vertauscht.
+
+\begin{displaymath}
+\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
+  -\infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{0, 6\} \\
+   \infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{2, 4\} \\
+        ? & \quad \mathrm{sonst}
+  \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
+  \end{center}
+  \caption{PS(32) mit 16 Schnitten zu PS(16).}
+  \label{fig:ps16-from-ps32}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \input{images/16-pairwise.tex}
+  \end{center}
+  \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
+  ($\operatorname{MIN}(0,2,4,6), \operatorname{MAX}(9,11,13,15)$). Das
+  resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
+  \label{fig:16-pairwise}
+\end{figure}
+
+Wendet man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf $\operatorname{PS}(16)$ an, so kann
+man $\operatorname{OES}(8)$ erhalten.
+
+\subsection{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+
+\todo{Schreibe noch etwas zum Odd-Even-Mergesort-Netzwerk.}
+
+\begin{itemize}
+  \item Beispiel: Moritz und Rolfs Optimierung für Bitonic-Sort.
+  \item Wie gut kann man durch wegschneiden werden?
+  \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk? Oder andersrum: Wieviele
+  unterschiedliche Netzwerke kann ich erhalten? Wieviele Nachfolger hat ein
+  Netzwerk / Knoten in der Markov-Kette?
+  \item Abschnitt „Optimierung der Schnitte“ hier einbauen.
+\end{itemize}
+
+\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
+
+Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
+Abschnitt verwendete immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
+einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
+ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
+verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
+
+Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, indem man \emph{immer} das
+aktuelle Netzwerk mit sich selbst kombiniert und anschließend die Hälfte aller
+Leitungen eliminiert, lassen sich einige interessante Beobachtungen anstellen.
+Netzwerke, die aus einem Netzwerk $S_0$ durch die beschriebene Kombination von
+$S_0$ mit sich selbst und anschließendem Eliminieren der Hälfte der Leitungen
+hervorgehen können, heißen \emph{Nachfolger} von $S_0$.
+
+Beim beschriebenen Vorgehen kann man die Sortiernetzwerke als Knoten in einem
+gerichteten Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
+Sortiernetzwerke $S_0$ und $S_1$ repräsentieren, sind genau dann mit einer
+Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von $S_0$
+ist, das heißt dass man $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
+selbst erzeugen kann.
+
+Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben ist die Anzahl
+(unterschiedlichen) Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger sehr
+groß. Wenn $S_0$ ein Sortiernetzwerk mit $n$~Leitungen ist, so hat $S_0$ bis
+zu
+\begin{displaymath}
+  2^n \cdot \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)
+\end{displaymath}
+Nachfolger.
+
+Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Graph einen zufälligen Weg
+(englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem gegebenen
+Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu gelangen
+rekombiniert er das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich selbst und erhält so
+einen zufälligen Nachfolger.
+
+\begin{itemize}
+  \item $n \leftarrow \mathrm{Input}$
+  \item \texttt{while} \textit{true}
+  \begin{itemize}
+    \item $n \leftarrow \operatorname{recombine} (n, n)$
+  \end{itemize}
+\end{itemize}
+
+\begin{itemize}
+  \item Beste erreichte Netzwerke (gleich zu \emph{OE-Mergesort}).
+  \item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke.
+  \item Anzahl der Komparatoren und Anzahl der Schichten der durchlaufenen
+    Netzwerke. (Abbildung~\ref{fig:markov-comparators-16})
+\end{itemize}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+  \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}
+  \end{center}
+  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 12~Leitungen),
+  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 40)$ mit $k = 8,267$ und $\theta = 0,962$.}
+  \label{fig:markov-comparators-12}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+  \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
+  \end{center}
+  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
+  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
+  \label{fig:markov-comparators-14}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+  \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
+  \end{center}
+  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
+  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
+  \label{fig:markov-comparators-16}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\section{Empirische Beobachtungen}
+
+\begin{itemize}
+\item So schnell konvergiert der Algorithmus.
+\item $\ldots$
+\end{itemize}
+
+\newpage
+\section{Ausblick}
+
+Das würde mir noch einfallen$\ldots$
+
+\newpage
+\bibliography{references}
+\bibliographystyle{plain}
 
 %\listoffigures