%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
+\label{sect:markov}
+
+Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
+Abschnitt verwendet immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
+einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
+ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
+verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
+
+Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, kombiniert das aktuelle Netzwerk
+\emph{immer} mit sich selbst und eliminiert anschließend die Hälfte aller
+Leitungen, lassen sich einige interessante Beobachtungen anstellen. Netzwerke,
+die aus einem Netzwerk $S_0$ durch die beschriebene Kombination von $S_0$ mit
+sich selbst und anschließendem Eliminieren der Hälfte der Leitungen hervorgehen
+können, heißen \emph{Nachfolger} von $S_0$.
+
+Beim beschriebenen Vorgehen kann man die Sortiernetzwerke als Knoten in einem
+(gerichteten) Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
+Sortiernetzwerke $S_0$ und $S_1$ repräsentieren, sind genau dann mit einer
+Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von
+$S_0$ ist, das heißt, dass $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
+selbst erzeugt werden kann.
+
+Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
+der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
+sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der
+Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten
+32-Sortier\-netz\-werken wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$
+unterschiedliche Schnittmuster geschätzt.
+
+Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
+zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem
+gegebenen Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu
+gelangen, rekombiniert der Algorithmus das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich
+selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger. In Pseudocode lässt sich der
+Algorithmus wie folgt beschreiben:
+
+\begin{verbatim}
+ Netzwerk := Eingabe
+
+ für n Iterationen
+ {
+ Nachfolger := kombiniere (Netzwerk, Netzwerk)
+ Netzwerk := Nachfolger
+ }
+
+ gib Netzwerk zurück
+\end{verbatim}
+
+Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} zeigen die Anzahl der
+Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf seinem
+zufälligen Pfad durchläuft (rot). Für jeden Graphen wurde der
+\textsc{SN-Markov}-Algorithmus auf einem entsprechenden
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk gestartet und hat mindestens
+1.000.000~Iterationen durchlaufen. In jedem Schritt wurde die Anzahl der
+Komparatoren des Sortiernetzwerks bestimmt und ein entsprechender Zähler
+erhöht. In Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} ist die resultierende
+prozentuale Verteilung zu sehen.
+
+Ebenfalls in die Graphen der Abbildung~\ref{fig:markov-comparators}
+eingezeichnet ist eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die die gemessenen
+Daten gut annähert. Die Gamma-Verteilung verwendet einen Offset~$\delta$, der
+um Eins kleiner als die kleinste erreichte Komparatorzahl gewählt wurde.
+Beispielsweise war die kleinste erreichte Komparatorzahl bei
+16-Sortiernetzwerken~63, entsprechend wurde der Offset $\delta = 63 - 1$
+gesetzt und die Gamma-Verteilung $g(x - 62)$ eingezeichnet. Die Parameter $k$
+und $\theta$, die eine Gamma-Verteilung charakterisieren, wurden mit einem
+Fitting-Algorithmus bestimmt. Der konkrete Offset ist als Parameter~$\delta$
+unter den Graphen angegeben.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[12 Leitungen, $k = 8,267$, $\theta = 0,962$, $\delta = 40$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}}
+ \subfigure[14 Leitungen, $k = 9,522$, $\theta = 0,867$, $\delta = 52$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}}
+ \subfigure[16 Leitungen, $k = 17,939$, $\theta = 1,091$, $\delta = 62$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}}
+ \subfigure[18 Leitungen, $k = 10,724$, $\theta = 0,766$, $\delta = 81$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken,
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden (rot). Ebenfalls eingezeichnet
+ ist jeweils eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die eine gute Näherung der
+ gemessenen Daten darstellt.}
+ \label{fig:markov-comparators}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/comparison-comparators-16.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren, die 16-Sortiernetzwerke von
+ \textsc{SN-Markov} und \textsc{SN-Evolution} (mit dem
+ \emph{Odd-Even}-Mischer und dem \emph{bitonen Mischer}) besaßen.}
+ \label{fig:comparison-comparators}
+\end{figure}
+
+Der Graph in Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} zeigt, dass der
+\textsc{SN-Markov}-Algorithmus nicht schlechter ist als der
+\textsc{SN-Evolution}-Algo\-rith\-mus. Analog zu dem Versuch mit
+\textsc{SN-Markov}, wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus die Anzahl
+der Komparatoren jedes neuen Individuums ermittelt und gespeichert. Als
+Startnetzwerk diente bei beiden Algorithmen das
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{16}. Der Graph zeigt auf der
+x-Achse die Anzahl der Komparatoren, auf der y-Achse die Häufigkeit, mit der
+ein Sortiernetzwerk mit dieser Komparatorzahl durch die Rekombination erzeugt
+wurde. Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} unterscheiden sich außerdem je
+nach verwendetem Mischer-Netzwerk -- \oem{32}, beziehungsweise \bm{32}.
+
+Sowohl der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus, der das
+\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk verwendet, als auch \textsc{SN-Evolution} mit
+\oem{32} erreichen eine Komparatorzahl von~63 und finden Sortiernetzwerke, die
+bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch zu \oes{16} sind.
+Interessanterweise erzeugt \textsc{SN-Markov} derartige Netzwerke häufiger:
+Während nur $0,000017 \%$ der Individuen von \textsc{SN-Evolution} mit
+63~Komparatoren auskamen, ist die Rate bei \textsc{SN-Markov} mit $0,000335
+\%$ rund 20~mal höher.
+
+Erwartungsgemäß sind die besten Netzwerke, die \textsc{SN-Evolution} mit dem
+\emph{bitonen Mischer} findet, aus 67~Komparatoren aufgebaut. Überraschend ist
+jedoch, dass in dieser Konfiguration Sortiernetzwerke auftreten können, die
+mehr Komparatoren besitzen als \emph{Odd-Even-Transpositionsort}. \oet{16}
+ist aus 120~Komparatoren aufgebaut. Bei dem Lauf, der die Daten für
+Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} lieferte, trat auch jeweils ein
+Sortiernetzwerk mit 121 und 124~Komparatoren auf. Dass Sortiernetzwerke mit so
+vielen Komparatoren im Verlauf des Experiments selbst nach über 100~Millionen
+Iterationen nicht noch einmal erzeugt wurden, ist vermutlich ein Phänomen, das
+mit der Initialisierung durch das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk
+zusammenhängt.
+
+%\begin{figure}
+% \begin{center}
+% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
+% \end{center}
+% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
+% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
+% \label{fig:markov-comparators-14}
+%\end{figure}
+%
+%\begin{figure}
+% \begin{center}
+% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
+% \end{center}
+% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
+% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
+% \label{fig:markov-comparators-16}
+%\end{figure}
+%
+%\begin{figure}
+% \begin{center}
+% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}
+% \end{center}
+% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen),
+% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.}
+% \label{fig:markov-comparators-18}
+%\end{figure}
+
+%\begin{figure}
+% \begin{center}
+% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf}
+% \end{center}
+% \caption{Zyklen, die beim \textit{Random Walk} des
+% \textsc{SN-Markov}-Algorithmus detektiert wurden. Auf der x-Achse sind die
+% Anzahl der Schritte, die \textsc{SN-Markov} zurückgelegt hat, auf der
+% y-Achse die Längen der gefundenen Zyklen aufgetragen. Das initiale
+% Start-Sortiernetzwerk war $\operatorname{OET}(16)$.}
+% \label{fig:markov-cycles-16}
+%\end{figure}
+
+\newpage
\section{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
\label{sect:sn-evolution-cut}
invertieren.
\subsection[Bitones Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
+\label{sect:sn-evolution-cut:bs}
\textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka} zeigen in~\cite{MW2010},
wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
$m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
$\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk.
-\subsection[Pairwise-Sorting-Netzwerk]{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
-
-Anders verhält sich das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
-$\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
-Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert. Startet man
-\textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
-16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, das die gleiche
-Anzahl Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
-$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
-Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
-
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
- \end{center}
- \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
- 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
- $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
- \label{fig:16-ec-from-ps32}
-\end{figure}
-
-Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
-einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist das
-\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
-Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
-den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzwerke, die
-strukturell sehr ähnlich zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
-Schichten~1 und~2 sowie 4~und~5 sind vertauscht.
-
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
- \end{center}
- \caption{Das \ps{32}-Netzwerk mit 8~Maximum- und 8~Minimumschnitten. Gut zu
- sehen sind die verbleibenden Komparatoren, die das \ps{16}-Netzwerk
- bilden.}
- \label{fig:ps16-from-ps32}
-\end{figure}
-
-Für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} ist es vergleichsweise einfach
-regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk ein kleineres
-schnelles und effizientes Sortiernetzwerk erzeugen. Beispielsweise führt das
-einfache Schnittmuster
-\begin{displaymath}
-\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
- -\infty & \quad \textrm{falls } i < \frac{1}{4} n \\
- \infty & \quad \textrm{falls } i \geqq \frac{3}{4} n \\
- ? & \quad \mathrm{sonst}
- \end{array} \right.
-\end{displaymath}
-für $\operatorname{PS}\left(n = 2^d\right)$ zum Sortiernetzwerk
-$\operatorname{PS}\left(\frac{1}{2}n\right)$. Die Art und Weise, mit der
-dieses Schnittmuster Komparatoren eliminiert und welche Komparatoren das
-verbleibende Netzwerk ausmachen, ist in Abbildung~\ref{fig:ps16-from-ps32}
-dargestellt. Die matt blauen und roten Leitungen und Komparatoren sind
-diejenigen, die Aufgrund eines Minimums oder eines Maximums im resultierenden
-Netzwerk nicht mehr enthalten sind. Da die Minima und Maxima bereits auf den
-„richtigen“ Leitungen angelegt werden, müssen keine Leitungen vertauscht
-werden und das Ergebnis ist bereits normalisiert. Daher ist das resultierende
-Netzwerk in schwarz gut zu erkennen.
-
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/16-pairwise.tex}
- \end{center}
- \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
- ($\operatorname{MIN}(0, 2, 4, 6), \operatorname{MAX}(9, 11, 13, 15)$). Das
- resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
- \label{fig:16-pairwise}
-\end{figure}
-
-Ein Spezialfall ergibt sich, wenn man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
-$\operatorname{PS}(16)$ anwendet: In diesem Fall kann man durch ein
-8-Schnittmuster das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{8} erhalten. Für
-größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen nicht mehr möglich, beispielsweise
-kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch ein 16-Schnittmuster in \oes{16}
-konvertiert werden. Die Verwandtschaft von $\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n}
-untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler} ausführlich in~\cite{M2009}.
-
\subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
\label{sect:sn-evolution-cut:oes}
\label{fig:23-ec-from-oes46}
\end{figure}
-\newpage
-\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
-\label{sect:markov}
-
-Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
-Abschnitt verwendet immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
-einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
-ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
-verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
-
-Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, kombiniert das aktuelle Netzwerk
-\emph{immer} mit sich selbst und eliminiert anschließend die Hälfte aller
-Leitungen, lassen sich einige interessante Beobachtungen anstellen. Netzwerke,
-die aus einem Netzwerk $S_0$ durch die beschriebene Kombination von $S_0$ mit
-sich selbst und anschließendem Eliminieren der Hälfte der Leitungen hervorgehen
-können, heißen \emph{Nachfolger} von $S_0$.
-
-Beim beschriebenen Vorgehen kann man die Sortiernetzwerke als Knoten in einem
-(gerichteten) Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
-Sortiernetzwerke $S_0$ und $S_1$ repräsentieren, sind genau dann mit einer
-Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von
-$S_0$ ist, das heißt, dass $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
-selbst erzeugt werden kann.
-
-Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
-der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
-sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der
-Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten
-32-Sortier\-netz\-werken wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$
-unterschiedliche Schnittmuster geschätzt.
-
-Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
-zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem
-gegebenen Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu
-gelangen, rekombiniert der Algorithmus das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich
-selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger. In Pseudocode lässt sich der
-Algorithmus wie folgt beschreiben:
-
-\begin{verbatim}
- Netzwerk := Eingabe
-
- für n Iterationen
- {
- Nachfolger := kombiniere (Netzwerk, Netzwerk)
- Netzwerk := Nachfolger
- }
-
- gib Netzwerk zurück
-\end{verbatim}
+\subsection[Pairwise-Sorting-Netzwerk]{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
-Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} zeigen die Anzahl der
-Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf seinem
-zufälligen Pfad durchläuft (rot). Für jeden Graphen wurde der
-\textsc{SN-Markov}-Algorithmus auf einem entsprechenden
-\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk gestartet und hat mindestens
-1.000.000~Iterationen durchlaufen. In jedem Schritt wurde die Anzahl der
-Komparatoren des Sortiernetzwerks bestimmt und ein entsprechender Zähler
-erhöht. In Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} ist die resultierende
-prozentuale Verteilung zu sehen.
+Die Ergebnisse, die \textsc{SN-Evolution-Cut} erzielte, wenn das gegebene
+Sortiernetzwerk das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk war
+(Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut:bs}), waren sehr wirr. Beispielsweise
+ist bei dem Netzwerk in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} nicht ersichtlich,
+wie und warum es jede beliebige Eingabe sortiert.
-Ebenfalls in die Graphen der Abbildung~\ref{fig:markov-comparators}
-eingezeichnet ist eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die die gemessenen
-Daten gut annähert. Die Gamma-Verteilung verwendet einen Offset~$\delta$, der
-um Eins kleiner als die kleinste erreichte Komparatorzahl gewählt wurde.
-Beispielsweise war die kleinste erreichte Komparatorzahl bei
-16-Sortiernetzwerken~63, entsprechend wurde der Offset $\delta = 63 - 1$
-gesetzt und die Gamma-Verteilung $g(x - 62)$ eingezeichnet. Die Parameter $k$
-und $\theta$, die eine Gamma-Verteilung charakterisieren, wurden mit einem
-Fitting-Algorithmus bestimmt. Der konkrete Offset ist als Parameter~$\delta$
-unter den Graphen angegeben.
+Das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} $\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian
+Parberry} in seiner Arbeit „The Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992}
+definiert, verhält sich anders. Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit
+$\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe, 16~Leitungen zu entfernen, erhält man
+ein Sortiernetzwerk, das die gleiche Anzahl Komparatoren und Schichten hat wie
+$\operatorname{PS}(16)$ und $\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser
+Sortiernetzwerke ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
\begin{figure}
- \centering
- \subfigure[12 Leitungen, $k = 8,267$, $\theta = 0,962$, $\delta = 40$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}}
- \subfigure[14 Leitungen, $k = 9,522$, $\theta = 0,867$, $\delta = 52$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}}
- \subfigure[16 Leitungen, $k = 17,939$, $\theta = 1,091$, $\delta = 62$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}}
- \subfigure[18 Leitungen, $k = 10,724$, $\theta = 0,766$, $\delta = 81$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}}
- \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken,
- die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden (rot). Ebenfalls eingezeichnet
- ist jeweils eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die eine gute Näherung der
- gemessenen Daten darstellt.}
- \label{fig:markov-comparators}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+ $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-ps32}
\end{figure}
+Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
+einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist das
+\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
+den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzwerke, die
+strukturell sehr ähnlich zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
+Schichten~1 und~2 sowie 4~und~5 sind vertauscht.
+
\begin{figure}
\begin{center}
- \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/comparison-comparators-16.pdf}
+ \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
\end{center}
- \caption{Anzahl der Komparatoren, die 16-Sortiernetzwerke von
- \textsc{SN-Markov} und \textsc{SN-Evolution} (mit dem
- \emph{Odd-Even}-Mischer und dem \emph{bitonen Mischer}) besaßen.}
- \label{fig:comparison-comparators}
+ \caption{Das \ps{32}-Netzwerk mit 8~Maximum- und 8~Minimumschnitten. Gut zu
+ sehen sind die verbleibenden Komparatoren, die das \ps{16}-Netzwerk
+ bilden.}
+ \label{fig:ps16-from-ps32}
\end{figure}
-Der Graph in Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} zeigt, dass der
-\textsc{SN-Markov}-Algorithmus nicht schlechter ist als der
-\textsc{SN-Evolution}-Algo\-rith\-mus. Analog zu dem Versuch mit
-\textsc{SN-Markov}, wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus die Anzahl
-der Komparatoren jedes neuen Individuums ermittelt und gespeichert. Als
-Startnetzwerk diente bei beiden Algorithmen das
-\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{16}. Der Graph zeigt auf der
-x-Achse die Anzahl der Komparatoren, auf der y-Achse die Häufigkeit, mit der
-ein Sortiernetzwerk mit dieser Komparatorzahl durch die Rekombination erzeugt
-wurde. Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} unterscheiden sich außerdem je
-nach verwendetem Mischer-Netzwerk -- \oem{32}, beziehungsweise \bm{32}.
-
-Sowohl der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus, der das
-\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk verwendet, als auch \textsc{SN-Evolution} mit
-\oem{32} erreichen eine Komparatorzahl von~63 und finden Sortiernetzwerke, die
-bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch zu \oes{16} sind.
-Interessanterweise erzeugt \textsc{SN-Markov} derartige Netzwerke häufiger:
-Während nur $0,000017 \%$ der Individuen von \textsc{SN-Evolution} mit
-63~Komparatoren auskamen, ist die Rate bei \textsc{SN-Markov} mit $0,000335
-\%$ rund 20~mal höher.
-
-Erwartungsgemäß sind die besten Netzwerke, die \textsc{SN-Evolution} mit dem
-\emph{bitonen Mischer} findet, aus 67~Komparatoren aufgebaut. Überraschend ist
-jedoch, dass in dieser Konfiguration Sortiernetzwerke auftreten können, die
-mehr Komparatoren besitzen als \emph{Odd-Even-Transpositionsort}. \oet{16}
-ist aus 120~Komparatoren aufgebaut. Bei dem Lauf, der die Daten für
-Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} lieferte, trat auch jeweils ein
-Sortiernetzwerk mit 121 und 124~Komparatoren auf. Dass Sortiernetzwerke mit so
-vielen Komparatoren im Verlauf des Experiments selbst nach über 100~Millionen
-Iterationen nicht noch einmal erzeugt wurden, ist vermutlich ein Phänomen, das
-mit der Initialisierung durch das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk
-zusammenhängt.
+Für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} ist es vergleichsweise einfach
+regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk ein kleineres
+schnelles und effizientes Sortiernetzwerk erzeugen. Beispielsweise führt das
+einfache Schnittmuster
+\begin{displaymath}
+\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
+ -\infty & \quad \textrm{falls } i < \frac{1}{4} n \\
+ \infty & \quad \textrm{falls } i \geqq \frac{3}{4} n \\
+ ? & \quad \mathrm{sonst}
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+für $\operatorname{PS}\left(n = 2^d\right)$ zum Sortiernetzwerk
+$\operatorname{PS}\left(\frac{1}{2}n\right)$. Die Art und Weise, mit der
+dieses Schnittmuster Komparatoren eliminiert und welche Komparatoren das
+verbleibende Netzwerk ausmachen, ist in Abbildung~\ref{fig:ps16-from-ps32}
+dargestellt. Die matt blauen und roten Leitungen und Komparatoren sind
+diejenigen, die Aufgrund eines Minimums oder eines Maximums im resultierenden
+Netzwerk nicht mehr enthalten sind. Da die Minima und Maxima bereits auf den
+„richtigen“ Leitungen angelegt werden, müssen keine Leitungen vertauscht
+werden und das Ergebnis ist bereits normalisiert. Daher ist das resultierende
+Netzwerk in schwarz gut zu erkennen.
-%\begin{figure}
-% \begin{center}
-% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
-% \end{center}
-% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
-% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
-% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
-% \label{fig:markov-comparators-14}
-%\end{figure}
-%
-%\begin{figure}
-% \begin{center}
-% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
-% \end{center}
-% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
-% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
-% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
-% \label{fig:markov-comparators-16}
-%\end{figure}
-%
-%\begin{figure}
-% \begin{center}
-% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}
-% \end{center}
-% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen),
-% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
-% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.}
-% \label{fig:markov-comparators-18}
-%\end{figure}
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-pairwise.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
+ ($\operatorname{MIN}(0, 2, 4, 6), \operatorname{MAX}(9, 11, 13, 15)$). Das
+ resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
+ \label{fig:16-pairwise}
+\end{figure}
-%\begin{figure}
-% \begin{center}
-% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf}
-% \end{center}
-% \caption{Zyklen, die beim \textit{Random Walk} des
-% \textsc{SN-Markov}-Algorithmus detektiert wurden. Auf der x-Achse sind die
-% Anzahl der Schritte, die \textsc{SN-Markov} zurückgelegt hat, auf der
-% y-Achse die Längen der gefundenen Zyklen aufgetragen. Das initiale
-% Start-Sortiernetzwerk war $\operatorname{OET}(16)$.}
-% \label{fig:markov-cycles-16}
-%\end{figure}
+Ein Spezialfall ergibt sich, wenn man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
+$\operatorname{PS}(16)$ anwendet: In diesem Fall kann man durch ein
+8-Schnittmuster das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{8} erhalten. Für
+größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen nicht mehr möglich, beispielsweise
+kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch ein 16-Schnittmuster in \oes{16}
+konvertiert werden. Die Verwandtschaft von $\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n}
+untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler} ausführlich in~\cite{M2009}.
\newpage
\section{Fazit und Ausblick}
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