From: Florian Forster <octo@leeloo.octo.it>
Date: Thu, 9 Dec 2010 10:22:28 +0000 (+0100)
Subject: Abschnitt "Normalisieren".
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Abschnitt "Normalisieren".
---

diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex
index 486074e..49905bd 100644
--- a/diplomarbeit.tex
+++ b/diplomarbeit.tex
@@ -472,10 +472,49 @@ Abbildung~\ref{fig:odd_even_mergesort_08} zeigt das Netzwerk für $8$~Eingänge.
 
 \section{Transformation von Sortiernetzwerken}
 
-\begin{itemize}
-\item Komprimieren (Alle Komparatoren so früh wie möglich anwenden).
-\item Normalisieren (Transformation zu Standard-Sortiernetzwerken).
-\end{itemize}
+\subsection{Komprimieren}
+
+\todo{Aus theoretischer Sicht eigentlich eine Trivialität. Rausschmeißen?}
+
+Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
+gleichzeitig ausgewertet werden, wie bereits in
+Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} beschrieben. Unter
+\emph{Komprimieren} wird eine (Neu-)Gruppierung in die kleinstmögliche Anzahl
+von \emph{Schichten} verstanden.
+
+Diese Anzahl ist insbesondere beim automatisierten Bewerten von
+Komparatornetzwerken interessant. \dots
+
+\subsection{Normalisieren}
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \subfigure[$S(8)$ (nach Konstruktion)]{\input{images/batcher-8-nonstd.tex}\label{fig:bitonic-nonstd}}
+  \subfigure[$S(8)$ (normalisiert)]{\input{images/batcher-8-std.tex}\label{fig:bitonic-std}}
+  \caption{Jedes Sortiernetzwerk kann in ein Standard-Sortiernetzwerk
+  transformiert werden. Gezeigt ist das bitone Sortiernetzwerk nach der
+  intuitiven Konstruktion und die normalisierte Variante.}
+  \label{fig:beispiel_normalisieren}
+\end{figure}
+
+Ein \emph{Standard-Sortiernetzwerk} oder \emph{normalisiertes Sortiernetzwerk}
+ist ein Sortiernetzwerk, dessen Komparatoren alle in die selbe Richtung
+zeigen. Jedes Sortiernetzwerk kann in eine normaliesierte Variante
+transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise \emph{Knuth} (\todo{Verweis})
+einen Algorithmus an.
+
+Abbildung~\ref{fig:beispiel_normalisieren} zeigt das das
+bitone Sortiernetzwerk in zwei Varianten. Abbildung~\ref{fig:bitonic-nonstd}
+zeigt das Netzwerk nach der Konstruktionsvorschrift, siehe auch
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}: In den ersten drei Schichten werden
+die unter und die obere Hälfte gegenläufig sortiert. Das heißt dass nach drei
+Schritten die eine Hälfte auf- und die andere Hälfte absteigend sortiert ist. 
+In den Schichten~4 bis~6 folgt der bitone Mischer entsprechend der rekursiven
+Definition.
+
+In Abbildung~\ref{fig:bitonic-std} ist die normalisierte Version des bitonen
+Mergesort-Netzwerks zu sehen. Alle Komparatoren zeigen hier in die gleiche
+Richtung.
 
 \subsection{Zwei Netzwerke kombinieren}
 
diff --git a/images/batcher-8-nonstd.tex b/images/batcher-8-nonstd.tex
new file mode 100644
index 0000000..79292c1
--- /dev/null
+++ b/images/batcher-8-nonstd.tex
@@ -0,0 +1,106 @@
+\begin{tikzpicture}[scale=0.50,auto]
+\node[vertex] (v0) at (1.50,0) {};
+\node[vertex] (v1) at (1.50,1) {};
+\path[comp,->] (v0) -- (v1);
+
+\node[vertex] (v2) at (1.50,3) {};
+\node[vertex] (v3) at (1.50,2) {};
+\path[comp,->] (v2) -- (v3);
+
+\node[vertex] (v4) at (1.50,5) {};
+\node[vertex] (v5) at (1.50,4) {};
+\path[comp,->] (v4) -- (v5);
+
+\node[vertex] (v6) at (1.50,6) {};
+\node[vertex] (v7) at (1.50,7) {};
+\path[comp,->] (v6) -- (v7);
+
+\node[vertex] (v8) at (3.00,0) {};
+\node[vertex] (v9) at (3.00,2) {};
+\path[comp,->] (v8) -- (v9);
+
+\node[vertex] (v10) at (3.35,1) {};
+\node[vertex] (v11) at (3.35,3) {};
+\path[comp,->] (v10) -- (v11);
+
+\node[vertex] (v12) at (3.00,6) {};
+\node[vertex] (v13) at (3.00,4) {};
+\path[comp,->] (v12) -- (v13);
+
+\node[vertex] (v14) at (3.35,7) {};
+\node[vertex] (v15) at (3.35,5) {};
+\path[comp,->] (v14) -- (v15);
+
+\node[vertex] (v16) at (4.85,0) {};
+\node[vertex] (v17) at (4.85,1) {};
+\path[comp,->] (v16) -- (v17);
+
+\node[vertex] (v18) at (4.85,2) {};
+\node[vertex] (v19) at (4.85,3) {};
+\path[comp,->] (v18) -- (v19);
+
+\node[vertex] (v20) at (4.85,5) {};
+\node[vertex] (v21) at (4.85,4) {};
+\path[comp,->] (v20) -- (v21);
+
+\node[vertex] (v22) at (4.85,7) {};
+\node[vertex] (v23) at (4.85,6) {};
+\path[comp,->] (v22) -- (v23);
+
+\node[vertex] (v24) at (6.35,0) {};
+\node[vertex] (v25) at (6.35,4) {};
+\path[comp,->] (v24) -- (v25);
+
+\node[vertex] (v26) at (6.70,1) {};
+\node[vertex] (v27) at (6.70,5) {};
+\path[comp,->] (v26) -- (v27);
+
+\node[vertex] (v28) at (7.05,2) {};
+\node[vertex] (v29) at (7.05,6) {};
+\path[comp,->] (v28) -- (v29);
+
+\node[vertex] (v30) at (7.40,3) {};
+\node[vertex] (v31) at (7.40,7) {};
+\path[comp,->] (v30) -- (v31);
+
+\node[vertex] (v32) at (8.90,0) {};
+\node[vertex] (v33) at (8.90,2) {};
+\path[comp,->] (v32) -- (v33);
+
+\node[vertex] (v34) at (9.25,1) {};
+\node[vertex] (v35) at (9.25,3) {};
+\path[comp,->] (v34) -- (v35);
+
+\node[vertex] (v36) at (8.90,4) {};
+\node[vertex] (v37) at (8.90,6) {};
+\path[comp,->] (v36) -- (v37);
+
+\node[vertex] (v38) at (9.25,5) {};
+\node[vertex] (v39) at (9.25,7) {};
+\path[comp,->] (v38) -- (v39);
+
+\node[vertex] (v40) at (10.75,0) {};
+\node[vertex] (v41) at (10.75,1) {};
+\path[comp,->] (v40) -- (v41);
+
+\node[vertex] (v42) at (10.75,2) {};
+\node[vertex] (v43) at (10.75,3) {};
+\path[comp,->] (v42) -- (v43);
+
+\node[vertex] (v44) at (10.75,4) {};
+\node[vertex] (v45) at (10.75,5) {};
+\path[comp,->] (v44) -- (v45);
+
+\node[vertex] (v46) at (10.75,6) {};
+\node[vertex] (v47) at (10.75,7) {};
+\path[comp,->] (v46) -- (v47);
+
+\path[edge] (0,0) -- (12.25,0);
+\path[edge] (0,1) -- (12.25,1);
+\path[edge] (0,2) -- (12.25,2);
+\path[edge] (0,3) -- (12.25,3);
+\path[edge] (0,4) -- (12.25,4);
+\path[edge] (0,5) -- (12.25,5);
+\path[edge] (0,6) -- (12.25,6);
+\path[edge] (0,7) -- (12.25,7);
+\end{tikzpicture}
diff --git a/images/batcher-8-std.tex b/images/batcher-8-std.tex
new file mode 100644
index 0000000..b1401fc
--- /dev/null
+++ b/images/batcher-8-std.tex
@@ -0,0 +1,106 @@
+\begin{tikzpicture}[scale=0.50,auto]
+\node[vertex] (v0) at (1.50,0) {};
+\node[vertex] (v1) at (1.50,1) {};
+\path[comp] (v0) -- (v1);
+
+\node[vertex] (v2) at (1.50,2) {};
+\node[vertex] (v3) at (1.50,3) {};
+\path[comp] (v2) -- (v3);
+
+\node[vertex] (v4) at (1.50,4) {};
+\node[vertex] (v5) at (1.50,5) {};
+\path[comp] (v4) -- (v5);
+
+\node[vertex] (v6) at (1.50,6) {};
+\node[vertex] (v7) at (1.50,7) {};
+\path[comp] (v6) -- (v7);
+
+\node[vertex] (v8) at (3.00,0) {};
+\node[vertex] (v9) at (3.00,3) {};
+\path[comp] (v8) -- (v9);
+
+\node[vertex] (v10) at (3.35,1) {};
+\node[vertex] (v11) at (3.35,2) {};
+\path[comp] (v10) -- (v11);
+
+\node[vertex] (v12) at (3.00,4) {};
+\node[vertex] (v13) at (3.00,7) {};
+\path[comp] (v12) -- (v13);
+
+\node[vertex] (v14) at (3.35,5) {};
+\node[vertex] (v15) at (3.35,6) {};
+\path[comp] (v14) -- (v15);
+
+\node[vertex] (v16) at (4.85,0) {};
+\node[vertex] (v17) at (4.85,1) {};
+\path[comp] (v16) -- (v17);
+
+\node[vertex] (v18) at (4.85,2) {};
+\node[vertex] (v19) at (4.85,3) {};
+\path[comp] (v18) -- (v19);
+
+\node[vertex] (v20) at (4.85,4) {};
+\node[vertex] (v21) at (4.85,5) {};
+\path[comp] (v20) -- (v21);
+
+\node[vertex] (v22) at (4.85,6) {};
+\node[vertex] (v23) at (4.85,7) {};
+\path[comp] (v22) -- (v23);
+
+\node[vertex] (v24) at (6.35,0) {};
+\node[vertex] (v25) at (6.35,7) {};
+\path[comp] (v24) -- (v25);
+
+\node[vertex] (v26) at (6.70,1) {};
+\node[vertex] (v27) at (6.70,6) {};
+\path[comp] (v26) -- (v27);
+
+\node[vertex] (v28) at (7.05,2) {};
+\node[vertex] (v29) at (7.05,5) {};
+\path[comp] (v28) -- (v29);
+
+\node[vertex] (v30) at (7.40,3) {};
+\node[vertex] (v31) at (7.40,4) {};
+\path[comp] (v30) -- (v31);
+
+\node[vertex] (v32) at (8.90,0) {};
+\node[vertex] (v33) at (8.90,2) {};
+\path[comp] (v32) -- (v33);
+
+\node[vertex] (v34) at (9.25,1) {};
+\node[vertex] (v35) at (9.25,3) {};
+\path[comp] (v34) -- (v35);
+
+\node[vertex] (v36) at (8.90,4) {};
+\node[vertex] (v37) at (8.90,6) {};
+\path[comp] (v36) -- (v37);
+
+\node[vertex] (v38) at (9.25,5) {};
+\node[vertex] (v39) at (9.25,7) {};
+\path[comp] (v38) -- (v39);
+
+\node[vertex] (v40) at (10.75,0) {};
+\node[vertex] (v41) at (10.75,1) {};
+\path[comp] (v40) -- (v41);
+
+\node[vertex] (v42) at (10.75,2) {};
+\node[vertex] (v43) at (10.75,3) {};
+\path[comp] (v42) -- (v43);
+
+\node[vertex] (v44) at (10.75,4) {};
+\node[vertex] (v45) at (10.75,5) {};
+\path[comp] (v44) -- (v45);
+
+\node[vertex] (v46) at (10.75,6) {};
+\node[vertex] (v47) at (10.75,7) {};
+\path[comp] (v46) -- (v47);
+
+\path[edge] (0,0) -- (12.25,0);
+\path[edge] (0,1) -- (12.25,1);
+\path[edge] (0,2) -- (12.25,2);
+\path[edge] (0,3) -- (12.25,3);
+\path[edge] (0,4) -- (12.25,4);
+\path[edge] (0,5) -- (12.25,5);
+\path[edge] (0,6) -- (12.25,6);
+\path[edge] (0,7) -- (12.25,7);
+\end{tikzpicture}