From: Florian Forster Date: Mon, 6 Apr 2009 21:17:32 +0000 (+0200) Subject: Todays work. X-Git-Url: https://git.octo.it/?p=diplomarbeit.git;a=commitdiff_plain;h=b0ba474382deca8e0be1ee36950bc763f7efe7ad Todays work. --- diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex index 7652e83..8811a81 100644 --- a/diplomarbeit.tex +++ b/diplomarbeit.tex @@ -55,7 +55,7 @@ \tikzstyle{red box} = [draw,-,color=red, top color=red!2,bottom color=red!10] \tikzstyle{blue box} = [draw,-,color=blue,top color=blue!2,bottom color=blue!10] \tikzstyle{green box} = [draw,-,color=teal,top color=teal!2,bottom color=teal!10] -\tikzstyle{gray box} = [draw,-,color=black, top color=black!2,bottom color=black!10] +\tikzstyle{gray box} = [draw,-,color=black, top color=black!2,bottom color=black!10] \maketitle \begin{abstract} @@ -265,9 +265,9 @@ darf. \end{figure} Der Mischer funktioniert folgendermaßen: Gegeben sind zwei Folgen mit je -${m = \frac{n}{2}}$~Elementen, ${u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}}$ und -${v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}}$. Die Folge der $u_i$ sei aufsteigend sortiert, -die Folge der $v_i$ sei absteigend sortiert: +${m = \frac{n}{2}}$ Elementen, $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}\right)$ und +$V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die Folge $U$ sei aufsteigend +sortiert, die Folge $V$ sei absteigend sortiert: \begin{eqnarray} u_0 \leqq u_1 \leqq &\ldots& \leqq u_{m-1} \\ v_0 \geqq v_1 \geqq &\ldots& \geqq v_{m-1} @@ -334,7 +334,7 @@ Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Auch dieses Netzwerk ist von K.~Batcher gefunden worden und wird rekursiv durch einen "`Mischer"' definiert. -\subsubsection{Der Odd-Even-Mischer} +\subsubsection{Der Odd-Even-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer} Der {\em Odd-Even-Mischer} ist ein Komperatornetzwerk, dass zwei sortierte Folgen zu einer sortierten Ausgabe zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit @@ -457,7 +457,7 @@ Abbildung~\ref{fig:odd_even_mergesort_08} zeigt das Netzwerk für $8$~Eingänge. \begin{center} \input{images/oe-mergesort-8.tex} \end{center} -\caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort} Netzwerk für acht Eingänge.} +\caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge.} \label{fig:odd_even_mergesort_08} \end{figure} @@ -483,7 +483,25 @@ Abbildung~\ref{fig:odd_even_mergesort_08} zeigt das Netzwerk für $8$~Eingänge. \item Nach dem Pairwise sorting-network Schema. \end{itemize} -\subsection{Leitungen entfernen} +\subsection{Leitungen entfernen}\label{sect:leitungen_entfernen} + +Man kann ein gegebenes Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen auf ein +Sortiernetzwerk mit $(n-1)$~Leitungen verkleinern, indem man eine Leitung +entfernt. Zunächst wird angenommen, dass das Minimum oder das Maximum an einem +der Eingänge anliegt. Der Weg durch das Netzwerk zum entsprechenden Ausgang +ist dadurch fest vorgegeben, insbesondere welche Komparatoren dafür sorgen, +dass die Leitung gewechselt wird und welche nicht. +Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} zeigt den Weg eines Maximums durch +das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}. + +Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht bzw. +ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der Leitung geführt +haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in +Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} grün markiert. Die Komparatoren, die +zum Wechsel der Leitung geführt haben, werden durch sich kreuzende Leitungen +ersetzt. Das Resultat zeigt Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut1}. Wenn +man die Maximum-Leitung entfernt (Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2}), +erhält man ein Sortiernetzwerk für $(n-1)$~Leitungen. \begin{figure} \centering @@ -499,6 +517,14 @@ Abbildung~\ref{fig:odd_even_mergesort_08} zeigt das Netzwerk für $8$~Eingänge. letzten Abbildung ist $\textrm{OET}(7)$ markiert.} \end{figure} +Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das +Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot +markierten Komparatoren wurden verschoben, so dass sich eine kompaktere +Darstellung ergibt. Ausserdem ist das +{\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} für sieben Werte markiert. Der +zusätzliche Komparator vor dem $\textrm{OET}(7)$ hat keinen Einfluss auf die +Ausgabe und kann entfernt werden. + \begin{itemize} \item Min-Richtung \item Max-Richtung @@ -506,6 +532,68 @@ Abbildung~\ref{fig:odd_even_mergesort_08} zeigt das Netzwerk für $8$~Eingänge. \section{Der evolutionäre Ansatz} +Um einen evolutionären Algorithmus für Sortiernetzwerke zu entwickeln, werden +die vorgestellten Methoden kombiniert. + +\subsection{Bewertungsfunktion} + +Um Sortiernetzwerke überhaupt optimieren zu können, muss zunächst die +{\em Güte} eines Netzwerkes definiert werden. Prinzipiell gibt es zwei Ziele, +die interessant sind: +\begin{itemize} + \item Möglichst wenige Komparatoren ("`klein"') + \item Möglichst wenige Schichten ("`schnell"') +\end{itemize} + +Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken. Das +kleinste bekannte Sortiernetzwerk für 16~Eingänge besteht aus 60~Komparatoren +in 10~Schichten. Das schnellste Netzwerk besteht aus 61~Komparatoren in nur +9~Schichten. + +Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`klein"' und "`schnell"' +berücksichtigen kann, hat die folgende allgemeine Form: +\begin{equation} + \mathit{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}} + + w_{\mathrm{Komparatoren}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Komparatoren} + + w_{\mathrm{Schichten}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Schichten} +\end{equation} +Die Parameter $w_{\mathrm{Komparatoren}}$ und $w_{\mathrm{Schichten}}$ dienen +dabei der Festlegung des Optimierungsziels. Wenn einer der beiden Parameter +gleich Null ist, wird nur das jeweils andere Ziel verfolgt. Sind beide +Parameter gleich Null, werden alle Netzwerke mit der gleich Güte bewertet -- +jegliche Ergebnisse sind dann rein zufälliger Natur. + +Mit dem Parameter $w_{\mathrm{Basis}}$ kann auf die Selektion Einfluss +genommen werden. Ist er groß, wird der relative Unterschied der Güten +verschiedener Netzwerke kleiner, was die {\em Exploration}, das Absuchen des +gesamten Lösungsraums, begünstigt. Wählt man $w_{\mathrm{Basis}}$ hingegen +klein, in Abhängigkeit von den anderen beiden Parametern sind auch negative +Werte möglich, werden die relativen Unterschiede groß. Dadurch wird die {\em +Exploitation}, das Finden lokaler Optima, bevorzugt. + +\subsection{Selektion} + +... + +\subsection{Rekombination} + +Bei der Rekombination werden zwei Individuen -- hier Sortiernetzwerke -- zu +einer neuen Lösung kombiniert. Dazu verwenden wir einen Mischer, zum Beispiel +den {\em bitonen Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}) oder den +{\em Odd-Even-Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_odd_even_mischer}), um die +beiden Netzwerke zu einem Netzwerk mit $2n$~Leitungen zusammenzufügen. +Anschließend entfernen wir zufällig $n$~Leitungen wie in +Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben. + +Dieses Verfahren hat den großen Vorteil, dass es die Sortiereigenschaft +erhält. + +\subsection{Mutation} + +{\em Mutation ist schwierig, weil es die Sortiereigenschaft eben nicht +erhält.} + + \begin{itemize} \item Güte von Sortiernetzwerken (Anzahl der Komparatoren, Anzahl der Schichten, kobiniert) @@ -548,11 +636,18 @@ acht Eingängen. Es besteht aus 19~Komparatoren in 6~Schichten.} \label{fig:09-e2-1237999719} \end{figure} +\begin{figure} +\begin{center} +\input{images/10-e2-1239014566.tex} +\end{center} +\caption{{\tt images/10-e2-1239014566.tex}: 29~Komparatoren in 8~Schichten} +\label{fig:10-e2-1239014566} +\end{figure} + \subsection{Güte} \begin{itemize} -\item So gut kann man mindestens werden \em{($\rightarrow$ Bitonic-Mergesort, -vermute ich)}. +\item So gut kann man mindestens werden {\em ($\rightarrow$ Bitonic-Mergesort, vermute ich)}. \item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \em{Mischer} ab. \end{itemize}