From 5a02f39eb2d2e5425dc15ccd93b6701417862f83 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Florian Forster Date: Sun, 20 Feb 2011 09:31:21 +0100 Subject: [PATCH] Diverses. --- diplomarbeit.tex | 205 ++++++++++++++++++++++++++++++++----------------------- 1 file changed, 121 insertions(+), 84 deletions(-) diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex index c5d64e5..b5d8a09 100644 --- a/diplomarbeit.tex +++ b/diplomarbeit.tex @@ -41,6 +41,7 @@ \newcommand{\ps}[1]{\ensuremath{\operatorname{PS}(#1)}} \newcommand{\oem}[1]{\ensuremath{\operatorname{OEM}(#1)}} \newcommand{\bm}[1]{\ensuremath{\operatorname{BM}(#1)}} +\newcommand{\oet}[1]{\ensuremath{\operatorname{OET}(#1)}} \newtheorem{definition}{Definition} \newtheorem{satz}{Satz} @@ -433,7 +434,7 @@ Schichten. Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser -\emph{„bitoner Mischer“} (englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein +\emph{„bitone Mischer“} (englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen. Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die @@ -442,20 +443,20 @@ Es ist jedoch möglich das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen. \subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer} -Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen -Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine beliebige -\emph{bitone Folge} in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine \emph{bitone -Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton absteigenden -Folge, oder ein zyklischer Shift davon. Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton} -zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten die durch zyklische Shifts -entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das \emph{bitone -Mergesort-Netzwerk} zeigen die Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0} -und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie erhält man, wenn man eine aufsteigend und -eine absteigend sortierte Liste aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen -ist wichtig zu beachten, dass das letzte Element nicht größer -(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. kleiner -(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge sein -darf. +Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen +Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine +beliebige \emph{bitone Folge} in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine +\emph{bitone Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton +absteigenden Folge, oder ein zyklischer Shift davon. +Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton} zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten +die durch zyklische Shifts entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das +\emph{bitone Mergesort}-Netzwerk zeigen die +Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0} und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie +erhält man, wenn man eine aufsteigend und eine absteigend sortierte Liste +aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen ist wichtig zu beachten, dass +das letzte Element nicht größer (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. +kleiner (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge +sein darf. \begin{figure} \centering @@ -547,10 +548,9 @@ alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen. \begin{center} \input{images/batcher-8.tex} \end{center} - \caption{$\operatorname{BS}(8)$, Batchers {\em bitones Mergesort-Netzwerk} - für acht Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von - $\operatorname{BS}(4)$ (rot), die beiden bitonen - Mischer~$\operatorname{BM}(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten + \caption{\bs{8}, Batchers \emph{bitones Mergesort}-Netzwerk für acht + Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von \bs{4} (rot), die beiden + bitonen Mischer~\bm{4} (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven Schritt hinzugefügt wurden (grün).} \label{fig:bitonic-08} \end{figure} @@ -822,6 +822,7 @@ die Anzahl der Schichten als Bewertungskriterium verwendet, immer eine Komprimierung durchgeführt werden. \subsection{Normalisieren} +\label{sect:normalisieren} \begin{figure} \centering @@ -927,17 +928,20 @@ das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}. \begin{figure} \centering - \subfigure[foo]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}} - \subfigure[bar]{\input{images/oe-transposition-cut1.tex}\label{fig:oe-transposition-cut1}} - \subfigure[baz]{\input{images/oe-transposition-cut2.tex}\label{fig:oe-transposition-cut2}} - \subfigure[qux]{\input{images/oe-transposition-cut3.tex}\label{fig:oe-transposition-cut3}} + \subfigure[Auf der Leitung~4 wird $-\infty$ angelegt. Dadurch ist der Pfad + durch das Sortiernetzwerk eindeutig festgelegt.]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}} + \subfigure[Komparatoren, die einen wechsel der Leitungen bewirken, werden + durch sich kreuzende Leitungen ersetzt.]{\input{images/oe-transposition-cut1.tex}\label{fig:oe-transposition-cut1}} + \subfigure[Leitung~4 wurde entfernt. Übrig bleibt ein Sortiernetzwerk mit + 7~Leitungen.]{\input{images/oe-transposition-cut2.tex}\label{fig:oe-transposition-cut2}} + \subfigure[Die Leitungen wurden wieder gerade eingezeichnet und die + Komparatoren regelmäßig angeordnet. Blau eingezeichnet ist \oet{7}.]{\input{images/oe-transposition-cut3.tex}\label{fig:oe-transposition-cut3}} \caption{Eine Leitung wird aus dem - \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(8)$ entfernt: - Auf der rot markierten Leitung wird $\infty$ angelegt. Da der Wert bei jedem - Komparator am unteren Ende herauskommt, ist der Pfad fest vorgegeben. Da die - restlichen Werte trotzdem noch richtig sortiert werden müssen, kann dieser - Pfad herausgetrennt werden. In der letzten Abbildung ist - $\operatorname{OET}(7)$ markiert.} + \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{8} entfernt: Auf der rot + markierten Leitung wird $-\infty$ angelegt. Da der Wert bei jedem Komparator + am unteren Ende herauskommt, ist der Pfad fest vorgegeben. Da die restlichen + Werte trotzdem noch richtig sortiert werden müssen, kann dieser Pfad + herausgetrennt werden. In der letzten Abbildung ist \oet{7} markiert.} \label{fig:oe-transposition-cut} \end{figure} @@ -960,19 +964,25 @@ auszuwerten -- über die verbleibenden Eingänge haben wir keine Aussage getroffen. Entsprechend müssen die verbleibenden Ausgänge eine sortierte Liste mit $(n-1)$~Elementen darstellen. -Wenn wir die Minimum- beziehungsweise Maximum-Leitung entfernen -(Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2}), bleibt das Sortiernetzwerk für -$(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung ein Minimum oder ein -Maximum angenommen wird, bezeichnen wir das eliminieren einer Leitung als -\emph{Minimum-Schnitt} beziehungsweise \emph{Maximum-Schnitt}. +Wenn man die Minimum- beziehungsweise Maximum-Leitung entfernt, wie in +Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2} dargestellt, bleibt das +Sortiernetzwerk für $(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung +ein Minimum oder ein Maximum angenommen wird, bezeichnen wir das eliminieren +einer Leitung als \emph{Minimum-Schnitt} beziehungsweise +\emph{Maximum-Schnitt}. Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot markierten Komparatoren wurden verschoben, so dass sich eine kompaktere Darstellung ergibt. Ausserdem ist das -{\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} für sieben Werte markiert. Der -zusätzliche Komparator vor dem $\textrm{OET}(7)$ hat keinen Einfluss auf die -Ausgabe und kann entfernt werden. +\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk für sieben Werte markiert. Der +zusätzliche Komparator vor dem \oet{7} hat keinen Einfluss auf die Ausgabe und +kann entfernt werden. + +Durch das Ersetzen von Komparatoren durch gekreuzte Leitungen werden häufig +\emph{Nicht-Standard-Sortiernetzwerke} erzeugt. Im Anschluss an einen +\emph{Schnitt} empfiehlt es sich deshalb, das Sortiernetzwerk zu +\emph{normalisieren}, wie in Abschnitt~\ref{sect:normalisieren} beschrieben. \subsubsection{Anzahl möglicher und unterschiedlicher Schnittmuster} \label{sect:anzahl_schnittmuster} @@ -980,8 +990,8 @@ Ausgabe und kann entfernt werden. Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$, $n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können auf diese Art und -Weise einen Sortiernetzwerke mit $2n$~Eingängen wieder auf Sortiernetzwerke -mit $n$~Eingängen reduziert werden. $k$~Minimum- und Maximum-Schnitte, die +Weise Sortiernetzwerke mit $2n$~Eingängen auf Sortiernetzwerke mit +$n$~Eingängen reduziert werden. $k$~Minimum- und Maximum-Schnitte, die nacheinander angewendet ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein ${(n-k)}$-Sortiernetz\-werk reduzieren, bezeichnen wir als \emph{$k$-Schnittmuster}. @@ -1392,11 +1402,11 @@ von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst gute Schnittmuster gesucht. -Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster}, -die in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als -Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte -des einen Schnittmusters verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte des -zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$. +Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet \emph{Schnittmuster}, die +in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als Individuen. +Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte des einen +Schnittmusters verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte des zweiten +Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$. Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die @@ -1651,9 +1661,9 @@ selbst erzeugen kann. Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der -Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten 32-Sortiernetzwerken -wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$ unterschiedliche Schnittmuster -geschätzt. +Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten +32-Sortier\-netz\-werken wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$ +unterschiedliche Schnittmuster geschätzt. Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem @@ -1674,12 +1684,26 @@ für n Iterationen gib Netzwerk zurück \end{verbatim} -Die Abbildungen~\ref{fig:markov-comparators-12}, -\ref{fig:markov-comparators-14}, \ref{fig:markov-comparators-12}, -\ref{fig:markov-comparators-16} und~\ref{fig:markov-comparators-18} zeigen die -Anzahl der Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf -seinem zufälligen Pfad durchläuft. Ausserdem eingezeichnet ist eine -\emph{Gamma-Verteilung}. +Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} zeigen die Anzahl der +Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf seinem +zufälligen Pfad durchläuft (rot). Für jeden Graphen wurde der +\textsc{SN-Markov}-Algorithmus auf einem entsprechenden +\emph{Odd-Even-Transporitionsort}-Netzwerk gestartet hat mindestens +1.000.000~Iterationen durchlaufen. In jedem Schritt wurde die Anzahl der +Komparatoren des Sortiernetzwerks bestimmt und ein entsprechender Zähler +erhöht. In Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} ist die resultierende +prezenturale Verteilung zu sehen. + +Ebenfalls in die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} +eingezeichnet ist eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die die gemessenen +Daten gut annähert. Die Gamma-Verteilung verwendet einen Offset~$\delta$, der +um Eins kleiner als die kleinste erreichte Komparatorzahl gewählt wurde. +Beispielsweise war die kleinste erreichte Komparatorzahl bei +16-Sortiernetzwerken~63, entsprechend wurde der Offset $\delta = 63 - 1$ +gesetzt und die Gamma-Verteilung $g(x - 62)$ eingezeichnet. Die Parameter $k$ +und $\theta$, die eine Gamma-Verteilung charakterisieren, wurden mit einem +Fitting-Algorithmus bestimmt. Der konkrete Offset ist als Parameter~$\delta$ +unter den Graphen angegeben. \begin{figure} \begin{center} @@ -1702,44 +1726,57 @@ seinem zufälligen Pfad durchläuft. Ausserdem eingezeichnet ist eine \end{itemize} \begin{figure} - \begin{center} - \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf} - \end{center} - \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 12~Leitungen), - die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die - \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 40)$ mit $k = 8,267$ und $\theta = 0,962$.} - \label{fig:markov-comparators-12} -\end{figure} - -\begin{figure} - \begin{center} - \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf} - \end{center} - \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen), - die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die - \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.} - \label{fig:markov-comparators-14} + \centering + \subfigure[12 Leitungen, $k = 8,267$, $\theta = 0,962$, $\delta = 40$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}} + \subfigure[14 Leitungen, $k = 9,522$, $\theta = 0,867$, $\delta = 52$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}} + \subfigure[16 Leitungen, $k = 17,939$, $\theta = 1,091$, $\delta = 62$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}} + \subfigure[18 Leitungen, $k = 10,724$, $\theta = 0,766$, $\delta = 81$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}} + \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken, + die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden (rot). Ebenfalls eingezeichnet + ist jeweils eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die eine gute Näherung der + gemessenen Daten darstellt.} + \label{fig:markov-comparators} \end{figure} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf} + \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/comparison-comparators-16.pdf} \end{center} - \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen), - die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die - \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.} - \label{fig:markov-comparators-16} + \caption{Anzahl der Komparatoren, die 16-Sortiernetzwerke von + \textsc{SN-Markov} und \textsc{SN-Evolution} (mit dem + \emph{Odd-Even-Mischer} und dem \emph{bitonen Mischer}) gesaßen.} + \label{fig:comparison-comparators} \end{figure} -\begin{figure} - \begin{center} - \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf} - \end{center} - \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen), - die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die - \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.} - \label{fig:markov-comparators-18} -\end{figure} +%\begin{figure} +% \begin{center} +% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf} +% \end{center} +% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen), +% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die +% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.} +% \label{fig:markov-comparators-14} +%\end{figure} +% +%\begin{figure} +% \begin{center} +% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf} +% \end{center} +% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen), +% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die +% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.} +% \label{fig:markov-comparators-16} +%\end{figure} +% +%\begin{figure} +% \begin{center} +% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf} +% \end{center} +% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen), +% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die +% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.} +% \label{fig:markov-comparators-18} +%\end{figure} \newpage \section{Ausblick} -- 2.11.0