From feddb265381e5d1c11fc099bffcfba3ddc3d0889 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Florian Forster Date: Fri, 18 Feb 2011 16:09:29 +0100 Subject: [PATCH] Diverses. --- diplomarbeit.tex | 64 ++++++++++++++++++++++++++++---------------------------- 1 file changed, 32 insertions(+), 32 deletions(-) diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex index a7f0bf9..b0fa6ac 100644 --- a/diplomarbeit.tex +++ b/diplomarbeit.tex @@ -979,7 +979,7 @@ auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein ${(n-k)}$-Sortiernetzwerk zu reduzieren, ergeben sich insgesamt \begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster} - \prod_{i=n}^{1+n-k} 2i = 2^k \frac{n!}{(n-k)!} + \prod_{i=n}^{1+n-k} 2i = 2^k \cdot \frac{n!}{(n-k)!} \quad (n > m) \end{equation} \emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle @@ -1043,13 +1043,12 @@ Alleine durch Betrachten der ersten Schicht von Komparatoren konnte die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster auf höchstens $\frac{2}{3}$ der \emph{möglichen} Schnittmuster reduziert werden. Um die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster experimentell zu ermitteln, wurden je -eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke -$\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und $\operatorname{PS}(16)$ -angewandt. Anschließend wurde mithilfe einer Hashtabelle überprüft, ob das -resultierende Sortiernetzwerk schon von einem \emph{äquivalenten} -Schnittmuster erzeugt wurde. Falls das Sortiernetzwerk noch nicht in der -Hashtabelle enthalten war, wurde der Zähler für unterschiedliche Schnittmuster -erhöht und das Sortiernetzwerk eingefügt. +eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke \oes{16}, +\bs{16} und \ps{16} angewandt. Anschließend wurde mithilfe einer Hashtabelle +überprüft, ob das resultierende Sortiernetzwerk schon von einem +\emph{äquivalenten} Schnittmuster erzeugt wurde. Falls das Sortiernetzwerk +noch nicht in der Hashtabelle enthalten war, wurde der Zähler für +unterschiedliche Schnittmuster erhöht und das Sortiernetzwerk eingefügt. Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} trägt die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster gegen die Anzahl der zufälligen @@ -1059,29 +1058,30 @@ Wert nach $1.000.000$~Iterationen allem Anschein nach dem Endwert schon sehr nahe ist. Die Anzahl der möglichen 8-Schnittmuster ist entsprechend der -Formel~\ref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen Schnittmuster -führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerken: 3519 -($\approx 0,1\%$) im Fall des \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerks}, 4973 -($\approx 0,15\%$) beim \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk} und 18764 ($\approx -0,57\%$) beim \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}. Zwar ist es möglich, dass mehr -Iterationen die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster noch wachsen lässt. -Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der -Annahme, dass die Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster +Formel~\eqref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen +Schnittmuster führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen} +Sortiernetzwerken: 3519 ($\approx 0,1\%$) im Fall des +\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerks}, 4973 ($\approx 0,15\%$) beim +\emph{bitonen Mergesort-Netzwerk} und 18764 ($\approx 0,57\%$) beim +\emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}. Zwar ist es möglich, dass mehr Iterationen +die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster noch wachsen lässt. Die Graphen +in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der Annahme, dass +die Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster vernachlässigbar klein ist. Bedingt durch die sehr große Anzahl möglicher Schnittmuster ist dieses Experiment für größere Sortiernetzwerke leider nicht sinnvoll durchführbar. -Die Hashtabelle benötigt mehr Arbeitsspeicher als in derzeitigen Rechnern -vorhanden ist, bevor ein entsprechender Graph den linearen Bereich für -„kleine“ x-Werte verlässt. +Die Hashtabelle würde mehr Arbeitsspeicher benötigen als in derzeitigen +Rechnern vorhanden ist, bevor ein entsprechender Graph den linearen Bereich +für „kleine“ x-Werte verlässt. Um die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu können, kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten \emph{Monte-Carlo-Methode}. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von $k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster -zufällig erzeugt und überprüft, ob sie sich in der Menge~$S$ enthalten sind. -Unter der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in -$S$ enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der +zufällig erzeugt und überprüft, ob sie in der Menge~$S$ enthalten sind. Unter +der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in $S$ +enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster ingesamt entspricht, kann man die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster abschätzen. @@ -1104,8 +1104,8 @@ zufällige Schnittmuster erzeugt und der Anteil der zufälligen Schnittmuster, die \emph{äquivalent} zu einem in~$S$ enthalten Schnittmuster sind, berechnet. Für $\operatorname{OES}(32)$ war dieser Anteil etwa $0,19 \%$, für $\operatorname{BS}(32)$ etwa $0,29 \%$. Das ergibt eine Abschätzung von $5,2 -\cdot 10^6$ unterschiedlichen Schnittmustern für $\operatorname{OES}(32)$ und -$3,4 \cdot 10^6$ für $\operatorname{BS}(32)$. +\cdot 10^6$ unterschiedlichen 16-Schnittmustern für $\operatorname{OES}(32)$ +und $3,4 \cdot 10^6$ für $\operatorname{BS}(32)$. \begin{figure} \begin{center} @@ -1126,9 +1126,9 @@ $\operatorname{BS}(32)$. In Anbetracht der Tatsache, dass die Anzahl der unterschiedlichen 8-Schnittmuster für $\operatorname{PS}(16)$ in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} bereits mehr als dreimal größer war als die Anzahl für $\operatorname{OES}(16)$ beziehungsweise $\operatorname{BS}(16)$, -ist dieser Umstand wenig verwunderlich. In einem kombinierten Graphen hätte -man keine Details mehr erkennen können. Aufgrund der hohen Anzahl -unterschiedlicher Schnittmuster, wurde für das gleiche Experiment mit +ist dieser Umstand wenig verwunderlich. Entsprechend hätte man in einem +kombinierten Graphen keine Details mehr erkennen können. Aufgrund der hohen +Anzahl unterschiedlicher Schnittmuster, wurde für das gleiche Experiment mit $\operatorname{PS}(32)$ eine initiale Menge von 100.000 unterschiedilchen Schnittmustern erzeugt. Trotzdem wurden nach 1.000.000 Iterationen nur 385 Schnittmuster gefunden, die zu einem Schnittmuster in der Menge äquivalent @@ -1379,11 +1379,11 @@ von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst gute Schnittmuster gesucht. -Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster} -als Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten -$r$~Schnitte des einen Schnittmusters verwendet und die letzten -${c-r}$~Schnitte des zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit -$0 \leqq r \leqq c$. +Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster}, +die in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als +Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte +des einen Schnittmusters verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte des +zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$. Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die -- 2.11.0