+\end{table}
+
+\subsection{Zufälliger Mischer}
+
+Die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Abschnitte zeigen, dass für einige
+Leitungszahlen der \emph{bitone Mischer} und für andere Leitungszahlen der
+\emph{Odd-Even}-Mischer bessere Ergebnisse liefert. Beispielsweise hat das
+Netzwerk für $n = 18$ bei Verwendung des \emph{bitone Mischers} nur
+12~Schichten, bei Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers hingegen nur
+82~Komparatoren. Daher liegt die Idee nahe, beide Mischer-Netzwerke zu nutzen,
+um das beste Ergebnis beider Konstruktionen zu erreichen.
+\textsc{SN-Evolution} kann zu diesem Zweck beim Zusammenfügen zweier
+Individuen zufällig zwischen dem \emph{bitonen Mischer} und dem
+\emph{Odd-Even}-Mischer wählen.
+
+Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} bei einer zufälligen Wahl des
+Mischers in der Rekombinationsphase sind in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-rnd-fast}
+zusammengefasst. Bei den Leitungszahlen 12, 19, 21, 22 und 23 hat der
+Algorithmus Netzwerke mit einer Effizienz erzeugt, die mit nur einem
+Mischertyp nicht erreicht wurde. Die Ergebnisse mit den Leitungszahlen 18 und
+20 erreichen die Geschwindigkeit der Netzwerke, die mit dem \emph{bitonen
+Mischer} generiert wurden, und verbessern gleichzeitig die Effizienz.
+
+\begin{table}\label{tbl:sn-ev-rnd-fast}
+\begin{center}
+\rowcolors{4}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|}
+\hline
+Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \bm{n}}
+ & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \oem{n}}
+ & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit Zufall} \\
+\cline{2-7}
+ ($n$) & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
+\hline
+ 8 & 20 & 6 & \gcell 19 & 6 & \gcell 19 & 6 \\
+ 9 & 26 & 8 & 26 & 8 & 26 & 8 \\
+ 10 & 31 & \gcell 8 & 31 & 9 & 31 & \gcell 8 \\
+ 11 & \Gcell 37 & 9 & 38 & 9 & \Gcell 37 & 9 \\
+ 12 & 42 & 9 & 43 & 9 & \gcell 41 & 9 \\
+ 13 & 48 & 10 & 48 & 10 & 48 & 10 \\
+ 14 & 54 & 10 & \gcell 53 & 10 & \gcell 53 & 10 \\
+ 15 & 61 & 10 & \Gcell 59 & 10 & \Gcell 59 & 10 \\
+ 16 & 67 & 10 & \gcell 63 & 10 & 64 & 10 \\
+ 17 & 76 & 12 & \Gcell 74 & 12 & \Gcell 74 & 12 \\
+ 18 & 87 & \gcell 12 & \gcell 82 & 13 & 83 & \gcell 12 \\
+ 19 & 93 & 13 & 93 & 13 & \Gcell 92 & 13 \\
+ 20 & 104 & \gcell 13 & \gcell 97 & 14 & 101 & \gcell 13 \\
+ 21 & 109 & 14 & 108 & 14 & \Gcell 107 & 14 \\
+ 22 & 118 & 14 & 117 & 14 & \gcell 116 & 14 \\
+ 23 & 134 & 14 & 129 & 14 & \Gcell 128 & 14 \\
+ 24 & 133 & 15 & \gcell 128 & 15 & 130 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
+ unter Verwendung der verschiedenen Mischer. Der Algorithmus wurde mit dem
+ \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n} gestartet und nach
+ 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion nutzte die Konstanten
+ $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$,
+ $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
+\end{center}
+\end{table}
+
+%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
+
+\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
+\label{sect:markov}
+
+Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
+Abschnitt verwendet immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
+einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
+ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
+verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
+
+Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, kombiniert das aktuelle Netzwerk
+\emph{immer} mit sich selbst und eliminiert anschließend die Hälfte aller
+Leitungen, lassen sich einige interessante Beobachtungen anstellen. Netzwerke,
+die aus einem Netzwerk $S_0$ durch die beschriebene Kombination von $S_0$ mit
+sich selbst und anschließendem Eliminieren der Hälfte der Leitungen hervorgehen
+können, heißen \emph{Nachfolger} von $S_0$.
+
+Beim beschriebenen Vorgehen kann man die Sortiernetzwerke als Knoten in einem
+(gerichteten) Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
+Sortiernetzwerke $S_0$ und $S_1$ repräsentieren, sind genau dann mit einer
+Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von
+$S_0$ ist, das heißt, dass $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
+selbst erzeugt werden kann.
+
+Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
+der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
+sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der
+Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten
+32-Sortier\-netz\-werken wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$
+unterschiedliche Schnittmuster geschätzt.
+
+Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
+zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem
+gegebenen Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu
+gelangen, rekombiniert der Algorithmus das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich
+selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger. In Pseudocode lässt sich der
+Algorithmus wie folgt beschreiben:
+
+\begin{verbatim}
+ Netzwerk := Eingabe
+
+ für n Iterationen
+ {
+ Nachfolger := kombiniere (Netzwerk, Netzwerk)
+ Netzwerk := Nachfolger
+ }
+
+ gib Netzwerk zurück
+\end{verbatim}
+
+Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} zeigen die Anzahl der
+Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf seinem
+zufälligen Pfad durchläuft (rot). Für jeden Graphen wurde der
+\textsc{SN-Markov}-Algorithmus auf einem entsprechenden
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk gestartet und hat mindestens
+1.000.000~Iterationen durchlaufen. In jedem Schritt wurde die Anzahl der
+Komparatoren des Sortiernetzwerks bestimmt und ein entsprechender Zähler
+erhöht. In Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} ist die resultierende
+prozentuale Verteilung zu sehen.
+
+Ebenfalls in die Graphen der Abbildung~\ref{fig:markov-comparators}
+eingezeichnet ist eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die die gemessenen
+Daten gut annähert. Die Gamma-Verteilung verwendet einen Offset~$\delta$, der
+um Eins kleiner als die kleinste erreichte Komparatorzahl gewählt wurde.
+Beispielsweise war die kleinste erreichte Komparatorzahl bei
+16-Sortiernetzwerken~63, entsprechend wurde der Offset $\delta = 63 - 1$
+gesetzt und die Gamma-Verteilung $g(x - 62)$ eingezeichnet. Die Parameter $k$
+und $\theta$, die eine Gamma-Verteilung charakterisieren, wurden mit einem
+Fitting-Algorithmus bestimmt. Der konkrete Offset ist als Parameter~$\delta$
+unter den Graphen angegeben.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[12 Leitungen, $k = 8,267$, $\theta = 0,962$, $\delta = 40$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}}
+ \subfigure[14 Leitungen, $k = 9,522$, $\theta = 0,867$, $\delta = 52$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}}
+ \subfigure[16 Leitungen, $k = 17,939$, $\theta = 1,091$, $\delta = 62$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}}
+ \subfigure[18 Leitungen, $k = 10,724$, $\theta = 0,766$, $\delta = 81$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken,
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden (rot). Ebenfalls eingezeichnet
+ ist jeweils eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die eine gute Näherung der
+ gemessenen Daten darstellt.}
+ \label{fig:markov-comparators}