+\subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
+
+\begin{itemize}
+\item Sortiernetzwerke sind toll, weil $\ldots$
+\item Sortiernetzwerke sind einfach erklärt, aber trotzdem kompliziert.
+\item Bisher noch kein evolutionärer Algorithmus zur automatischen
+ Optimierung von Sortiernetzwerken bekannt. \textit{(Glaube ich zumindest.)}
+\end{itemize}
+
+\subsection{Einleitung}\label{sect:einleitung}
+
+\subsubsection{Sortiernetzwerke}\label{sect:einleitung_sortiernetzwerke}
+
+\emph{Komparatoren} sind die Bausteine, die \emph{Komparatornetzwerken}
+zugrunde liegen. Sie haben zwei Eingänge über die sie zwei Zahlen erhalten
+können und zwei Ausgänge, auf denen die Zahlen wieder ausgegeben werden. Dabei
+sind die Ausgänge im Gegensatz zu den Eingängen unterscheidbar, da die größere
+der beiden Zahlen wird immer auf dem einen, die kleinere der beiden Zahlen
+immer auf dem anderen Ausgang ausgegeben ausgegeben wird.
+
+Kombiniert man mehrere \emph{Komparatoren} miteinander, das heißt, dass die
+Ausgänge eines Komparators mit Eingängen weiterer Komparatoren verbunden sind,
+erhält man ein {\em Komparatornetzwerk}.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/einfaches_komparatornetzwerk.tex}
+\end{center}
+\caption{Einfaches Komparatornetzwerk mit vier Ein- bzw. Ausgängen, bestehend
+aus 5~Komparatoren.}
+\label{fig:einfaches_komparatornetzwerk}
+\end{figure}
+
+Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} zeigt ein einfaches
+\emph{Komparatornetzwerk} aus fünf Komparatoren. Insgesamt gibt es vier
+verschiedene Eingänge und vier Ausgänge. Die Ein- und Ausgänge werden durch
+eine horizontale Linie dargestellt und als \emph{Leitung} bezeichnet. Die
+\emph{Komparatoren} sind durch vertikale Pfeile dargestellt und verbinden je
+zwei verschiedene \emph{Leitungen} miteinander. Die Verbindungsstellen von
+\emph{Leitungen} und \emph{Komparatoren} sind zur besseren Übersichlichkeit
+durch schwarze Punkte symbolisiert.
+
+Auf der linken Seite befinden sich die Eingänge. Hier wird eine Zahlenfolge in
+das Netzwerk hineingegeben. Jeder Komparator vergleicht die Zahlen „auf“ den
+beiden Leitungen, die er verbindet. Nach einem Komparator befindet sich die
+kleinere Zahl immer auf der Leitung, auf die der Pfeil zeigt, die größere Zahl
+befindet sich auf der Leitung, auf der der Pfeil seinen Ursprung hat.
+
+Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
+gleichzeitig angewandt werden. Das Beispiel in
+Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} verwendet diesen Umstand und
+vergleicht die zwei oberen und die zwei unteren Leitungen gleichzeitig. Eine
+Gruppe von Komparatoren, die gleichzeitig angewendet werden können, nennt man
+eine \emph{Schicht} des Komparatornetwerks. Die \emph{Verzögerung} eines
+Komparatornetzwerks ist gleichbedeutend mit der Anzahl der Schichten, in die
+sich die Komparatoren mindestens gruppieren lassen, da sie die Anzahl der
+benötigten parallelen Schritte darstellt.
+
+\emph{Komparatornetzwerke}, die für \emph{jede} Eingabefolge eine Ausgabe
+erzeugen, die der Sortierung der Eingabe entspricht, heißen
+\emph{Sortiernetzwerke}. Das in
+Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} gezeigte Komparatornetzwerk
+ist \emph{kein} Sotiernetzwerk: Die Eingabefolge ${(1, 2, 3, 4)}$ führt zur
+Ausgabe ${(2, 1, 3, 4)}$ -- die bestehenden Sortierung wird also sogar
+zerstört.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/09-e2-c24-allbut1.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Ein \emph{Komparatornetzwerk} mit neun Eingängen und
+ 24~Komparatoren, die in 8~Schichten angeordnet sind. Das Netzwerk sortiert
+ alle Eingaben, bei denen das Minimum nicht auf dem mittleren Eingang liegt.}
+ \label{fig:09-e2-c24-allbut1}
+\end{figure}
+Zu beweisen, dass ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft {\em
+nicht} hat, ist mit einem gegebenen Gegenbeispiel einfach möglich. Das
+Komparatornetzwerk wird auf das Gegenbeispiel angewendet und anschließend wird
+überprüft, ob die Ausgabe sortiert ist. Ist sie es nicht heißt das, dass es
+mindestens eine Eingabefolge gibt, die nicht sortiert wird. Entsprechend der
+Definition handelt es sich bei dem \emph{Komparatornetzwerk} folglich
+\emph{nicht} um ein \emph{Sortiernetzwerk}. Ein solches Gegenbeispiel für ein
+gegebenes Komparatornetzwerk zu finden ist nach heutigem Kenntnisstand jedoch
+nicht \emph{effizient} möglich.
+
+Beispielsweise sortiert das im Rahmen dieser Arbeit entdeckte
+Komparatornetzwerk in Abbildung~\ref{fig:09-e2-c24-allbut1} viele der 362.880
+möglichen Eingabepermutationen. Mit dem Gegenbeispiel $(3, 5, 2, 1, 0, 7, 4,
+8, 6)$ lässt sich jedoch leicht beweisen, dass das Komparatornetzwerk die
+Sortiereigenschaft \emph{nicht} besitzt, da es in diesem Fall die Folge $(1,
+0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$ ausgibt.
+
+Insgesamt gibt es $n!$~Permutationen von $n$~Elementen. Wenn ein
+Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft besitzt, bildet es alle diese
+Permutationen auf die sortierte Reihenfolge ab. Allerdings wächst $n!$
+über-exponentiell schnell, so dass ein Ausprobieren aller möglichen
+Permutationen schon bei 16~Leitungen praktisch nicht mehr zu bewerkstelligen
+ist.\footnote{1.307.674.368.000 Permutationen}
+
+\label{sect:0-1-prinzip}
+Glücklicherweise reicht es aus, alle möglichen 0-1-Folgen zu überprüfen, wie
+\textit{Donald~E. Knuth} in \cite{KNUTH} zeigt. Die Beweisidee ist folgende:
+Angenommen ein Komparatornetzwerk sortiert alle 0-1-Folgen und es gibt eine
+Permutation $E = (e_0, \dots, e_{n-1})$ beliebiger Zahlen, die nicht sortiert
+wird. Die Ausgabefolge sei $A = (a_0, \dots, a_{n-1})$. Sei $i$ eine Position
+in der Ausgabe, die die Sortierbedingung verletzt:
+\begin{displaymath}
+ a_0 \leqq a_1 \leqq \dots \leqq a_{i-1} > a_i \dots
+\end{displaymath}
+Die Eingabe kann mittels
+\begin{displaymath}
+ \hat{e}_j = \left\{
+ \begin{array}{cl}
+ 0 & e_j \leqq a_i \\
+ 1 & e_j > a_i
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+auf eine 0-1-Folge abgebildet werden, die entsprechen der Annahme vom
+Komparatornetzwerk sortiert wird. Allerdings verändert diese Abbildung das
+Verhalten jedes einzelnen Komparators nicht: Wenn bei der Permutation eine
+Zahl größer als $a_i$ und eine Zahl kleiner oder gleich $a_i$ verglichen
+wurden, liegen jetzt entsprechend eine Null und eine Eins an, die genauso
+vertauscht werden oder nicht, wie das bei der Permutation der Fall war. Liegen
+zwei Nullen oder zwei Einsen an, entsprechen sie zwei Zahlen kleiner als $a_i$
+oder zwei Zahlen größer oder gleich $a_i$. Da im Fall der 0-1-Folge zwei
+gleiche Zahlen am Komparator anliegen, dürfen wir davon ausgehen, dass sich
+der Komparator so verhält, wie er sich bei der Permutation verhalten hat --
+ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Entsprechend kommen an den Ausgängen $i-1$
+und $i$ eine Null und eine Eins in der falschen Reihenfolge an. Das steht im
+Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen sortiert werden.
+
+Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was der
+Komplexitätsklasse
+$\mathcal{O}\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist,
+ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\mathcal{O}(2^n)$
+verbunden. Entsprechend ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein
+schnelleres Verfahren ist bisher allerdings nicht bekannt. Um zu überprüfen,
+ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die Sortiereigenschaft besitzt,
+sind mit dieser Methode nur 65.536 Tests notwendig -- eine Zahl, die für
+aktuelle Prozessoren keine Herausforderung darstellt. Für die Überprüfung
+eines Komparatornetzwerks mit 32~Leitungen sind jedoch bereits etwa
+4,3~Millarden Tests notwendig, die einen Rechner durchaus mehrere Minuten
+beschäftigen.
+
+\subsubsection{Evolutionäre Algorithmen}
+
+Viele {\em kombinatorische Optimierungsprobleme} sind schwer zu lösen -- die
+entsprechenden Entscheidungsprobleme liegen oft in der Komplexitätsklasse
+\textit{NP}, das heißt das keine Verfahren bekannt sind, die das Problem
+effizient exakt lösbar. Sollte sich herausstellen, dass diese Probleme nicht
+in der Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen, wäre eine Konsequenz, dass es
+effiziente exakte Algorithmen für diese Probleme nicht geben kann. Falls sich
+hingegen herausstellt, dass diese Probleme in der
+Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen, wird es mit großer Wahrscheinlichkeit
+noch einige Zeit dauern, bis auch Algorithmen mit praktikablen Zeitkonstanten
+gefunden werden.
+
+Aus diesem Grund besteht die Notwendigkeit einen Kompromiss einzugehen: Statt
+die beziehungsweise eine der {\em optimalen} Lösungen als einzige Ausgabe des
+Algorithmus zuzulassen, wird eine "`möglichst gute"' Lösung ausgegeben. Viele
+dieser Optimierungsalgorithmen orientieren sich an Vorgängen in der Natur,
+beispielsweise imitieren die "`Ameisenalgorithmen"' das Verhalten von Ameisen
+auf der Futtersuche um kurze Rundreisen auf Graphen zu berechnen.
+
+Bei {\em Evolutionären Algorithmen} stand die Evolution pate. Die Grundidee
+ist, bekannte Lösungen zu neuen -- unter Umständen besseren -- Lösungen zu
+kombinieren. Dabei bedient man sich der in der Evolutionstheorie etablierten
+Nomenklatur, beispielsweise werden konkrete Lösungen für ein Problem als {\em
+Individuen} bezeichnet.
+
+Die Vorgehensweise lässt sich abstrakt wie folgt beschreiben. Aus einer
+bestehenden Lösungsmenge, der {\em Population}, werden zufällig Lösungen
+ausgesucht {\em (Selektion)} und zu einer neuen Lösung kombiniert ({\em
+Rekombination}). Unter Umständen wird die neue Lösung noch zufällig
+verändert {\em (Mutation)}, bevor sie in die bestehende Lösungsmenge
+eingefügt wird. Die verwendeten Wahrscheinlichkeiten, beispielsweise bei der
+{\em Selektion}, sind dabei nicht zwangsläufig gleichverteilt -- üblicherweise
+werden bessere Lösungen bevorzugt. Zur Bewertung dient die sogenannte {\em
+Gütefunktion}.
+
+Nicht alle Probleme eignen sich für diese Strategie: Zum einen muss es möglich
+sein, eine initiale Population zur Verfügung zu stellen, da diese als Basis
+aller weiteren Operationen dient. Das ist häufig keine große Einschränkung, da
+es oft einfach ist {\em irgendeine} Lösung anzugeben. Die angegebenen
+Algorithmen verwenden als einfache, initiale Lösung häufig das
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk, das in
+Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort} beschrieben wird. Zum anderen
+muss eine Methode für die Rekombination existieren. Das ist insbesondere dann
+problematisch, wenn {\em Nebenbedingungen} eingehalten werden müssen.
+
+Beim Aussuchen von zufälligen Lösungen aus der Population, der
+\emph{Selektion}, werden gute Lösungen bevorzugt. Wie sehr diese Lösungen
+bevorzugt werden, hat einen starken Einfluss auf das Verhalten des
+Algorithmus. Werden gute Lösungen stark bevorzugt, konvergiert der Algorithmus
+schnell gegen ein (lokales) Optimum. Dieses \textit{Exploitation} (Englisch
+für „Ausnutzung“) genannte Verhalten sorgt dafür, dass sich der Algorithmus
+schnell auf eine Lösung festlegt und andere, möglicherweise bessere lokale
+Optima nicht mehr findet. Werden gute Lösungen hingegen nur wenig bevorzugt,
+erforscht der Algorithmus den Lösungsraum in viele Richtungen. Dieses
+\textit{Exploration} (Englisch für „Erforschung“) genannte Verhalten sorgt
+zwar dafür, dass der Algorithmus langsamer auf ein Optimum zusteuert, dafür
+findet er aber in der Regel bessere Lösungen.
+
+Die Parameter evolutionärer Algorithmen so einzustellen, dass sich ein guter
+Mittelweg zwischen den beiden Extremen einstellt, ist eine Aufgabe, die sich
+nur experimentell lösen lässt. Die genauen Parameter hängen nicht nur vom
+eigentlichen Algorithmus, sondern auch vom konkreten Problem ab, so dass sich
+beispielsweise bei der Optimierung von Sortiernetzwerken die Parameter
+zwischen verschiedenen Leitungszahlen stark unterscheiden.
+
+Die \textit{Exploration} kann von einem weiteren Mechanismus unterstützt
+werden, der ebenfalls der Evolutionslehre entliehen ist, der \emph{Mutation}.
+Dabei werden Lösungen zufällig verändert, so dass auch andere Lösungen „in der
+Nähe“ von direkten Nachfolgern erreicht werden können. Das hilft insbesondere
+bei der intensiven Suche in der Nähe eines lokalen Optimums aber auch beim
+„Ausbrechen“ und finden noch besserer Lösungen.
+
+Bei \emph{Sortiernetzwerken} ist eine \emph{Mutation} leider immer damit
+verbunden, dass anschließend die Sortiereigenschaft des resultierenden
+\emph{Komparatornetzwerks} wieder überprüft werden muss, da selbst das
+Hinzufügen eines zufälligen Komparators diese Eigenschaft zerstören kann. Beim
+Suchen möglichst effizienter Netzwerke ist natürlich das zufällige Entfernen
+von Komparatoren interessanter, was die Sortiereigenschaft sehr oft aufhebt.
+
+Die im Folgenden beschriebenen Algorithmen mutieren (verändern) daher nicht
+die \emph{Sortiernetzwerke} selbst, sondern verzichten auf Mutation oder
+mutieren lediglich Transformationen von Sortiernetzwerken, die die
+Sortiereigenschaft erhält. Transformationen von Sortiernetzwerken werden in
+Abschnitt~\ref{sect:tranformation} beschrieben, ein Algorithmus, der Mutation
+einsetzt, wird in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut} vorgestellt.
+
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-hillis.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das 16-Sortiernetzwerk, das \textit{Hillis} in~\cite{H1992} angibt.
+ Es besteht aus 61~Komparatoren in 11~Schichten.}
+ \label{fig:16-hillis}
+\end{figure}
+Evolutionäre Algorithmen wurden bereits mehrfach eingesetzt, um
+Sortiernetzwerke zu untersuchen. \textit{W.~Daniel Hillis} verwendete
+\emph{Co-Evolution} um neben Komparatornetzwerken auch „schwierige Eingaben“
+zu optimieren~\cite{H1992}. Diese \emph{Parasiten} genannten Eingaben wurden
+daran gemessen, bei wievielen Komparatornetzwerken sie beweisen konnten, dass
+sie keine Sortiernetzwerke sind. So mussten bei neuen Individuen~/
+Komparatornetzwerken nicht alle 0-1-Folgen, sondern nur erfolgreiche
+Parasiten~/ schwierige Eingaben überprüft werden. Auf diese Art und Weise
+gelang es \textit{Hillis} ein 16-Sortiernetzwerk mit 61~Komparatoren
+anzugeben, das in Abbildung~\ref{fig:16-hillis} zu sehen ist.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure{\input{images/13-juille-0.tex}}
+ \subfigure{\input{images/13-juille-1.tex}}
+ \caption{13-Sortiernetzwerke, die von \textit{Hugues Juillé} mithilfe des
+ END-Algorithmus gefunden wurden. Sie bestehen jeweils aus 45~Komparatoren in
+ 10~Schichten.}
+ \label{fig:13-juille}
+\end{figure}
+\textit{Hugues Juillé} entwickelte ein Verfahren, das er \emph{Evolving
+Non-Determinism} (END) nannte. Dabei handelt es sich nicht um einen
+\emph{Evolutionären Algorithmus}, wie sie hier vorgestellt wurden, sondern um
+eine verteilte, probabilistische Breitensuche, die an die \emph{Strahlsuche}
+(englisch: \textit{beam search}), ein Verfahren der Künstlichen Intelligenz,
+angelehnt ist. Die aufwendigste Operation bei diesem Ansatz ist die
+Bewertungsfunktion, die abschätzt, wieviele Komparatoren zu einem
+Komparatornetzwerk hinzugefügt werden müssen, um ein Sortiernetzwerk zu
+erhalten. Mit diesem Ansatz gelang es \textit{Juillé} zwei 13-Sortiernetzwerke
+anzugeben, die mit 45~Komparatoren effizienter sind als alle bis dahin
+Bekannten (Abbildung~\ref{fig:13-juille}).
+
+\newpage
+\section{Bekannte konstruktive Sortiernetzwerke}
+\label{sect:konstruktive_netzwerke}
+
+Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
+
+\subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
+\label{sect:odd_even_transpositionsort}
+
+Das Sortiernetzwerk {\em Odd-Even-Transpositionsort} (OET) ist eines der
+einfachsten Sortiernetzwerke. Es besteht aus $n$~{\em Schichten}, die jede
+"`Leitung"' abwechselnd mit den benachbarten Leitungen verbindet.
+Abbildung~\ref{fig:odd-even-transposition-08} zeigt das OET-Netzwerk für
+${n = 8}$ Leitungen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/oe-transposition-8.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit acht Eingängen.}
+ \label{fig:odd-even-transposition-08}
+\end{figure}
+
+Dass das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk tatsächlich jede beliegibe
+Eingabe sortiert ist nicht offensichtlich. Leicht zu sehen ist jedoch, dass
+sowohl das Minimum als auch das Maximum durch das im Netzwerk enthaltene
+Treppenmuster auf die unterste beziehungsweise oberste Leitung gelangt. Beim
+Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk mit drei Eingängen,
+$\operatorname{OET}(3)$, ist die Ausgabe folglich sortiert.
+
+Die Sortiereigenschaft größerer OET-Netzwerke lässt sich rekursiv beweisen,
+indem man $\operatorname{OET}(n)$ auf $\operatorname{OET}(n-1)$ durch
+Herausschneiden einer Leitung reduziert. In
+Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} wird das Vorgehen im Detail
+beschrieben, Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut} zeigt das
+Herausschneiden einer Leitung aus $\operatorname{OET}(8)$.
+
+Das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk ist weder in Bezug auf die Anzahl der
+Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen sich die
+Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt
+${\frac12 n (n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten
+angeordnet sind. Andere Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger
+Komparatoren, beispielsweise $\mathcal{O}(n (\log n)^2)$, die in weniger
+Schichten, zum Beispiel $\mathcal{O}(\log n)$, angeordnet sind.
+
+Das Interessante am OET-Netzwerk ist seine einfache Konstruktion. Einige der
+folgenden Algorithmen benötigen ein möglichst einfaches Sortiernetzwerk als
+Starteingabe, auf dessen Basis sie versuchen optimierte Sortiernetzwerke zu
+finden. Häufig dient $\operatorname{OET}(n)$ als Eingabe für diese
+Algorithmen.
+
+\subsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
+
+Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk ($\operatorname{BS}(n)$) ist ein
+Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{Kenneth~E. Batcher} in~\cite{B1968}
+veröffentlicht wurde. Es ist deutlich effizienter als das
+Odd-Even-Transposi\-tionsort-Netzwerk -- sowohl in Bezug auf die Anzahl der
+Komparatoren als auch bezüglich der benötigten Zeit, also der Anzahl der
+Schichten.
+
+Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
+sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
+\emph{„bitoner Mischer“} (englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein
+verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
+
+Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
+Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist.
+Es ist jedoch möglich das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen.
+
+\subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
+
+Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
+Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine beliebige
+\emph{bitone Folge} in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine \emph{bitone
+Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton absteigenden
+Folge, oder ein zyklischer Shift davon. Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton}
+zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten die durch zyklische Shifts
+entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das \emph{bitone
+Mergesort-Netzwerk} zeigen die Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0}
+und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie erhält man, wenn man eine aufsteigend und
+eine absteigend sortierte Liste aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen
+ist wichtig zu beachten, dass das letzte Element nicht größer
+(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. kleiner
+(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge sein
+darf.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-0.tex}\label{fig:beispiel-biton-0}}
+ \subfigure[absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-1.tex}\label{fig:beispiel-biton-1}}
+ \subfigure[aufsteigend, absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-2.tex}\label{fig:beispiel-biton-2}}
+ \subfigure[absteigend, aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-3.tex}\label{fig:beispiel-biton-3}}
+ \caption{Beispiele bitoner Folgen.}
+ \label{fig:beispiel-biton}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[normal]{\input{images/bitonic-merge.tex}\label{fig:bitonic-merge-normal}}
+ \qquad
+ \subfigure[trichter]{\input{images/bitonic-merge-trichter.tex}\label{fig:bitonic-merge-tricheter}}
+ \caption{Schematischer Aufbau des bitonen Mischers: Jedes Element der
+ aufsteigenden Folge $u_0, u_1, \ldots$ wird mit dem entsprechenden Element
+ der absteigend sortierten Folge $v_0, v_1, \ldots$ verglichen. Die beiden
+ resultierenden Teilfolgen sind wiederum biton.}
+ \label{fig:bitonic-merge-schema}
+\end{figure}
+
+Der Mischer funktioniert folgendermaßen: Gegeben sind zwei Folgen mit je
+${m = \frac{n}{2}}$ Elementen, $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}\right)$ und
+$V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die Folge $U$ sei aufsteigend
+sortiert, die Folge $V$ sei absteigend sortiert:
+\begin{eqnarray}
+ u_0 \leqq u_1 \leqq &\ldots& \leqq u_{m-1} \\
+ v_0 \geqq v_1 \geqq &\ldots& \geqq v_{m-1}
+\end{eqnarray}
+Im ersten Schritt werden nun jeweils die Elemente an den gleichen relativen
+Positionen verglichen und ggf. vertauscht:
+\begin{equation}
+u_i \longleftrightarrow v_i, \quad 0 \leqq i < m
+\end{equation}
+Sei $j \in \{0 \ldots m\}$ der Index der ersten Elemente $u_j$ und $v_j$, die
+durch den gemeinsamen Komparator vertauscht werden. Unter der Annahme, dass
+Elemente nur vertauscht werden wenn, sie ungleich sind, muss ${u_j > v_j}$
+gelten. Mit $u_j \leqq u_{j+1}$ und $v_j \geqq v_{j+1}$ folgt daraus $u_{j+1}
+> v_{j+1}$. Es werden also alle Elemente $u_k$ und $v_k$ mit $k \geqq j$
+vertauscht. $j = m$ bezeichnet den Fall, in dem das größte Element der
+"`linken"' Folge, $u_{m-1}$, kleiner ist als das kleinste Element der
+"`rechten"' Folge, $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass das Resultat in zwei bitone
+Folgen aufteilen lässt: Eine aufsteigende~/ absteigende Folge und eine
+absteigende~/ aufsteigende Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}
+zeigt die Situationen vor und nach diesem Schritt des Mischers.
+
+Um die Folge vollständig zu sortieren, müssen anschließend die beiden
+resultierenden bitonen Folgen sortiert werden. Die geschieht ebenfalls
+mithilfe des bitonen Mischers, mit zwei Instanzen von
+$\operatorname{BM}(\frac{n}{2})$. Diese rekursive Definition endet mit dem
+bitonen Mischer mit zwei Leitungen, $\operatorname{BM}(2)$, der als
+Komparator-Netzwerk mit einem Komparator zwischen den beiden Leitungen
+definiert ist.
+
+Der bitonen Mischer kann auch zwei aufsteigende Folgen sortieren. Dazu ist
+lediglich eine etwas modifizierte Vergleichs-Kaskade im ersten Schritt
+notwendig. Die folgenden, kleineren Mischer erhalten als Eingabe wieder eine
+„echte“ bitone Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das
+Schema des bitonen Mischers für zwei aufsteigend sortierte Foglen. Durch das
+Umdrehen einer Folge verändert sich das Muster der Komparatoren ein wenig:
+Statt an eine Treppe erinnert das Muster nun an einen Trichter.
+
+Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet
+die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden
+$\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus
+$\frac{1}{2} n \log(n) = \mathcal{O}\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
+besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können.
+
+\subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
+
+Ebenso wie der bitone Mischer $\operatorname{BM}(n)$ ist auch das \emph{bitone
+Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(n)$ rekursiv definiert. Es setzt sich
+zusammen aus zwei Instanzen des bitonen Mergesort-Netzwerks halber Größe,
+$\operatorname{BS}(\frac{n}{2})$, für je die Hälfte der Eingänge, sowie dem
+bitonen Mischer für $n$~Leitungen, $\operatorname{BM}(n)$. Das Rekursionsende
+ist das bitone Mergesort-Netzwerk mit nur einer Leitung,
+$\operatorname{BS}(1)$, welches als leeres Komparatornetzwerk definiert ist.
+Entsprechend sind die Komparatornetzwerke $\operatorname{BM}(2)$ und
+$\operatorname{BS}(2)$ identisch.
+
+Bei der Konstruktion kommt die trichterförmige Anordnung der Komparatoren
+(Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter}) gelegen, weil so die beiden
+rekursiven Sortiernetzwerke in die gleiche Richtung sortieren können und so
+alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/batcher-8.tex}
+ \end{center}
+ \caption{$\operatorname{BS}(8)$, Batchers {\em bitones Mergesort-Netzwerk}
+ für acht Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von
+ $\operatorname{BS}(4)$ (rot), die beiden bitonen
+ Mischer~$\operatorname{BM}(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten
+ rekursiven Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
+ \label{fig:bitonic-08}
+\end{figure}
+
+Das konkrete Netzwerk~$\operatorname{BS}(8)$ ist in
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
+beiden Instanzen des Netzwerks~$\operatorname{BS}(4)$ (rot) sowie der bitone
+Mischer~$\operatorname{BM}(8)$ (blau). Die trichterförmige Komparator-Kaskade,
+die die bitone Eingabefolge in zwei bitone Ausgabefolgen transformiert, ist
+grün hinterlegt.
+
+Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(8)$ besteht aus
+$\frac{1}{4} n \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}\left(n (log (n))^2\right)$
+Komparatoren, die in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$
+Schichten angeordnet sind.
+
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\includegraphics[viewport=115 491 372 782,width=7.5cm]{images/sn-rekursiver-aufbau.pdf}
+%\end{center}
+%\caption{Rekursiver Aufbau von $S(n)$: Es besteht aus zwei Instanzen von
+%$S(n/2)$ und dem Mischer $M(n)$.}
+%\label{fig:bms_rekursiver_aufbau}
+%\end{figure}
+
+\subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+
+Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+(OES) und das \emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} (siehe
+Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Vielmehr ist
+OES dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}, das im vorherigen Abschnitt
+vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
+\textit{Kenneth~E. Batcher} gefunden worden und ist ebenfalls in~\cite{B1968}
+beschrieben und initial analysiert worden. Eine weitere Gemeinsamkeit besteht
+darin, dass es ebenfalls rekursiv durch einen Mischer definiert ist.
+
+\subsubsection{Der Odd-Even-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}
+
+Der \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(n,m)$ ist ein
+Komperatornetzwerk, dass zwei sortierte Folgen mit $n$ beziehungsweise $m$
+Elementen zu einer sortierten Ausgabefolge mit $N = n+m$~Elementen
+zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
+\emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}
+vorgestellt wurde. Allerdings benötigt der \emph{Odd-Even-Mischer} unter
+Umständen mehr Schichten als der \emph{bitone Mischer}.~\cite{KNUTH}
+
+Der \emph{Odd-Even-Mischer} selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
+Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
+sortierten Folgen $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}\right)$ und
+$V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die gesamte Eingabe sei
+$W = \left(w_0, w_1, \ldots, w_{N-1}\right)$ mit:
+\begin{equation}
+w_i = \left\{ \begin{array}{ll}
+ u_i, & i < n \\
+ v_{i-n}, & i \geqq n
+ \end{array} \right.,
+ \quad 0 \leqq i < N
+\end{equation}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/oe-merge.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Schematischer Aufbau des {\em Odd-Even} Mischers. Im Vergleich zum
+ bitonen Mischer für Acht kommt dieses Schema mit einem Komparator weniger
+ aus. Der Effekt wird duch den rekursiven Aufbau noch verstärkt.}
+ \label{fig:oe-merge}
+\end{figure}
+
+Diese werden in insgesamt vier sortierte Folgen aufgeteilt, je eine Liste der
+geraden Indizes und je eine Liste der ungeraden Indizes.
+\begin{eqnarray}
+ U_{\textrm{gerade}} &=& \left(u_0, u_2, u_4, \ldots\right) \\
+ U_{\textrm{ungerade}} &=& \left(u_1, u_3, u_5, \ldots\right) \\
+ V_{\textrm{gerade}} &=& \left(v_0, v_2, u_4, \ldots\right) \\
+ V_{\textrm{ungerade}} &=& \left(v_1, v_3, u_5, \ldots\right)
+\end{eqnarray}
+
+Die geraden Folgen $U_{\textrm{gerade}}$ und $V_{\textrm{gerade}}$ bzw. die
+ungeraden Folgen $U_{\textrm{ungerade}}$ und $V_{\textrm{ungerade}}$ werden
+rekursiv von kleineren {\em Odd-Even-Mischern} zusammengefügt, so dass sich am
+Ausgang der Mischer die Folgen
+\begin{eqnarray}
+ W_{\textrm{gerade}} &=& \left(w_0, w_2, w_4, \ldots\right) \\
+ W_{\textrm{ungerade}} &=& \left(w_1, w_3, w_5, \ldots\right)
+\end{eqnarray}
+ergeben.
+
+Anschließend werden die Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen
+hinzugefügt,
+\begin{equation}
+ w_{2i-1} \longleftrightarrow w_{2i}, \quad 1 \leqq i < \frac{N}{2}
+\end{equation}
+die die Folge~$W$ sortieren. Den schematischen Aufbau des {\em
+Odd-Even-Mischers} zeigt Abbildung~\ref{fig:oe-merge}.
+
+Leider bricht die Rekursion nicht so schön ab, wie das beim {\em bitonen
+Mischer} der Fall gewesen ist. Insbesondere für ${n = m = 1}$ würde --
+entsprechend der Konstruktionsvorschrift -- ein leeres Netzwerk entstehen, was
+offensichtlich nicht korrekt wäre. Die Abbruchbedingungen für den rekursiven
+Aufbau lauten:
+\begin{itemize}
+ \item Falls ${n = 0}$ oder ${m = 0}$: Das Netzwerk ist leer.
+ \item Falls ${n = 1}$ und ${m = 1}$: Das Netzwerk besteht aus einem
+ einzelnen Komparator.
+\end{itemize}
+
+Dass die resultierende Folge sortiert ist, lässt sich mit dem
+{\em 0-1-Prinzip} zeigen:
+Da $U$ und $V$ sortiert sind, ist die Anzahl der Nullen in den geraden
+Teilfolgen, $U_{\textrm{gerade}}$ bzw. $V_{\textrm{gerade}}$, größer oder
+gleich der Anzahl der Nullen in den ungeraden Teilfolgen
+$U_{\textrm{ungerade}}$ bzw. $V_{\textrm{ungerade}}$ --~die Einsen verhalten
+sich entsprechend umgekehrt. Das trifft demnach auch auf die Folgen
+$W_{\textrm{gerade}}$ und $W_{\textrm{ungerade}}$ entsprechend zu:
+\begin{eqnarray}
+ \left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0
+ &=& \left|U_{\textrm{gerade}}\right|_0
+ + \left|V_{\textrm{gerade}}\right|_0
+ = \left\lceil \frac{1}{2} \left|U\right|_0 \right\rceil
+ + \left\lceil \frac{1}{2} \left|V\right|_0 \right\rceil \\
+ \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0
+ &=& \left|U_{\textrm{ungerade}}\right|_0
+ + \left|V_{\textrm{ungerade}}\right|_0
+ = \left\lfloor \frac{1}{2} \left|U\right|_0 \right\rfloor
+ + \left\lfloor \frac{1}{2} \left|V\right|_0 \right\rfloor
+\end{eqnarray}
+Daraus folgt, dass $W_{\textrm{gerade}}$ $0$, $1$ oder $2$ Nullen mehr enthält
+als $W_{\textrm{ungerade}}$. In den ersten beiden Fällen ist die "`verzahnte"'
+Ausgabe der beiden kleineren Mischer bereits sortiert. Nur im letzten Fall,
+wenn $W_{\textrm{gerade}}$ zwei Nullen mehr enthählt als
+$W_{\textrm{ungerade}}$, muss genau eine Vertauschung stattfinden, um die
+Ausgabe zu sortieren. Diese wird von den Komparatoren, die benachbarte
+Leitungen miteinander vergleichen, ausgeführt. Die jeweiligen Situationen sind
+in Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 0$]{\input{images/oe-post-recursive-diff0.tex}}
+ \qquad
+ \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 1$]{\input{images/oe-post-recursive-diff1.tex}}
+ \qquad
+ \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 2$]{\input{images/oe-post-recursive-diff2.tex}}
+ \caption{Die drei Situationen, die nach dem Verzahnen der Ausgaben der
+ kleineren {\em Odd-Even-Mischer} entstehen können. Ist die Differenz der
+ Anzahl der Nullen gleich $0$ oder $1$, ist die Folge bereits sortiert. Im
+ letzten Fall stellt einer der Komparatoren sicher, dass das Ergebnis
+ sortiert ist.}
+ \label{fig:oe-post-recursive}
+\end{figure}
+
+Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden,
+bricht die Rekursion nach $\mathcal{O}\left(\log (n) + \log (m)\right)$
+Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit
+Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der Längeren der beiden
+Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$.
+
+Die Anzahl der Komparatoren $K(n,m)$, die $\operatorname{OEM}(n,m)$ im
+allgemeinen Fall verwendet, ist Gemäß der rekursiven Definition in
+Abhängigkeit der Länge der Eingabefolgen, $n$ und $m$:
+\begin{displaymath}
+ K(n,m) = \left\{ \begin{array}{ll}
+ nm, & \mathrm{falls} \quad nm \leqq 1 \\
+ K\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil, \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil\right)
+ + K\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor\right)
+ + \left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor & \mathrm{falls} \quad nm > 1
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form
+anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
+dass $K(n,m)$ in $\mathcal{O}(N \log (N))$ enthalten ist.
+
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$, lässt sich die Anzahl
+der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der erste
+Rekursionsschritt der OEM-Konstruktion fügt
+$\left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor = \frac{N}{2} - 1$
+Komparatoren ein -- einen Komparator weniger als der \emph{bitone Mischer} in
+diesem Schritt. Das selbe gilt für die rekursiv verwendeten kleineren Mischer,
+$\operatorname{OEM}(\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$ und so weiter bis
+einschließlich $\operatorname{OEM}(2, 2)$, von denen es $2, 4, \dots,
+\frac{N}{4} = 2^{\log(N)-2}$ Instanzen gibt. Insgesamt werden
+\begin{displaymath}
+ \sum_{i=0}^{\log(N)-2} 2^i = 2^{\log(N) - 1} - 1 = \frac{N}{2} - 1 = n - 1
+\end{displaymath}
+Komparatoren eingespart. Damit ergibt sich
+\begin{displaymath}
+ K\left(n = 2^{t-1}, n = 2^{t-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1
+\end{displaymath}
+für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^t)$
+benötigt werden.
+
+\subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+
+Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht --~wie
+das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
+sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even-Mischer}. Die
+effizientesten Sortiernetzwerke in Bezug auf Komparator- und Schichtzahl
+entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
+$\operatorname{OES}(n)$ aus
+$\operatorname{OES}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)$,
+$\operatorname{OES}\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$
+und $\operatorname{OEM}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil,
+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$. Die Rekursion endet mit
+$\operatorname{OES}(1)$ und $\operatorname{OES}(0)$, die als leere
+Komparatornetzwerke definiert sind.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/oe-mergesort-8.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge. Markiert
+ sind die Instanzen von $\operatorname{OES}(4)$ (rot), die beiden
+ \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(4)$ für gerade und ungerade
+ Leitungen (blau) und die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügten
+ Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen (grün).}
+ \label{fig:odd-even-mergesort-08}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{fig:odd-even-mergesort-08} ist das konkrete Sortiernetzwerk
+$\operatorname{OES}(8)$ zu sehen. Rot markiert sind die beiden rekursiven
+Instanzen $\operatorname{OES}(4)$. Die blauen und der grüne Block stellen den
+\emph{Odd-Even-Mischer} für acht Leitungen dar: Die beiden blauen Blöcke sind
+die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
+die Komparatoren, die in ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
+
+Im Allgemeinen ist die Anzahl der Komparatoren, die vom
+\emph{Odd-Even-Mergesort-Netz\-werk} verwendet wird, $k(n)$, direkt aus der
+Definition beziehungsweise der Konstruktionsanleitung abzulesen:
+\begin{displaymath}
+ k(n) = k\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)
+ + k\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
+ + K\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil, \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
+\end{displaymath}
+Eine geschlossene Form dieser Formel ist schon alleine deshalb schwierig, weil
+sie für $K(n,m)$ schwierig anzugeben ist. Es ist allerdings bekannt, dass
+$k(n)$ in $\mathcal{O}\left(n \left(\log (n)\right)^2\right)$ enthalten ist.
+
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist, kann die
+Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{Kenneth
+Batcher} zeigt in~\cite{B1968}, dass in diesem Fall
+\begin{displaymath}
+ k(n = 2^t) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1
+\end{displaymath}
+gilt.
+
+% gnuplot:
+% oem(n,m) = ((n*m) <= 1) ? (n*m) : oem(ceil(.5*n), ceil(.5*m)) + oem(floor(.5*n), floor(.5*m)) + floor(.5*(n+m-1.0))
+% oem1(n) = oem(ceil(.5*n),floor(.5*n))
+% oes(n) = (n <= 1.0) ? 0 : oes(ceil(0.5*n)) + oes(floor(0.5*n)) + oem1(n)
+
+%\begin{itemize}
+%\item Pairwise sorting-network
+%\end{itemize}
+
+\newpage
+\section{Transformation von Sortiernetzwerken}
+\label{sect:tranformation}
+
+\subsection{Komprimieren}
+
+Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
+gleichzeitig ausgewertet werden, wie bereits in
+Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} beschrieben. Durch manche
+Transformationen, insbesondere das Entfernen einer Leitung, das in
+Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben wird, kann es vorkommen,
+dass die Komparatoren eines Sortiernetzwerks nicht mehr in der
+kleinstmöglichen Anzahl von \emph{Schichten} angeordnet sind. Unter
+\emph{Komprimierung} wird eine (Neu-)Gruppierung der Komparatoren verstanden,
+die jeden Komparator so früh wie möglich ausführt. So entsteht die
+kleinstmögliche Anzahl von \emph{Schichten}, in die sich ein Sortiernetzwerk
+unterteilen lässt.
+
+Diese Anzahl ist insbesondere beim automatisierten Bewerten von
+Komparatornetzwerken interessant, wie in Abschnitt~\ref{sect:bewertung}
+beschrieben. Die Anzahl der Schichten kann künstlich vergrößert werden, indem
+Komparatoren später angewandt werden. Deshalb sollte vor einer Bewertung, die
+die Anzahl der Schichten als Bewertungskriterium verwendet, immer eine
+Komprimierung durchgeführt werden.
+
+\subsection{Normalisieren}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[$S(8)$ (nach Konstruktion)]{\input{images/batcher-8-nonstd.tex}\label{fig:bitonic-nonstd}}
+ \subfigure[$S(8)$ (normalisiert)]{\input{images/batcher-8-std.tex}\label{fig:bitonic-std}}
+ \caption{Jedes Sortiernetzwerk kann in ein Standard-Sortiernetzwerk
+ transformiert werden. Gezeigt ist das bitone Sortiernetzwerk nach der
+ intuitiven Konstruktion und die normalisierte Variante.}
+ \label{fig:beispiel_normalisieren}
+\end{figure}
+
+Ein \emph{Standard-Sortiernetzwerk} oder \emph{normalisiertes Sortiernetzwerk}
+ist ein Sortiernetzwerk, dessen Komparatoren alle in die selbe Richtung
+zeigen. Jedes Sortiernetzwerk kann in eine normaliesierte Variante
+transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise \emph{Donald~E. Knuth}
+in~\cite{KNUTH} einen Algorithmus an.
+
+Abbildung~\ref{fig:beispiel_normalisieren} zeigt das das
+bitone Sortiernetzwerk in zwei Varianten. Abbildung~\ref{fig:bitonic-nonstd}
+zeigt das Netzwerk nach der Konstruktionsvorschrift, siehe auch
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}: In den ersten drei Schichten werden
+die unter und die obere Hälfte gegenläufig sortiert. Das heißt dass nach drei
+Schritten die eine Hälfte auf- und die andere Hälfte absteigend sortiert ist.
+In den Schichten~4 bis~6 folgt der bitone Mischer entsprechend der rekursiven
+Definition.
+
+In Abbildung~\ref{fig:bitonic-std} ist die normalisierte Version des bitonen
+Mergesort-Netzwerks zu sehen. Alle Komparatoren zeigen hier in die gleiche
+Richtung. Statt dem typischen "`Treppenmuster"' sind abwechselnd das Treppen-
+und das Trichtermuster zu sehen.
+
+\subsection{Zwei Netzwerke kombinieren}
+
+Um Sortiernetzwerke als \emph{Individuen} evolutionärer Algorithmen verwenden
+zu können, muss es möglich sein, zwei Sortiernetzwerke zu einem neuen
+Sortiernetzwerk zusammenzufassen.
+
+Wir haben diese Technik in den vorangegangen Abschnitten bereits verwendet,
+beispielsweise um zwei \emph{bitone Mergesort-Netzwerke} mit jeweils der
+halben Leitungszahl, $\operatorname{BS}\left(\frac{n}{2}\right)$, zu einem
+einzigen Sortiernetzwerk $\operatorname{BS}(n)$ zu kombinieren. Auch das
+\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ wurde auf diese Art
+und Weise rekursiv aufgebaut.
+
+Die vorgestellten \emph{Mischer} erwarten als Eingabe zwei bereits sortierte
+Folgen. \emph{Wie} diese Folgen sortiert wurden, ist unerheblich. Entsprechend
+können wir beliebige Sortiernetzwerke einsetzen, um die beiden Eingabefolgen
+zu sortieren, und die Ausgaben mit einem der beschriebenen Mischer
+zusammenfügen.
+
+Beispielsweise kann man die Ausgabe von zwei \emph{bitonen
+Mergesort-Netzwerken} $\operatorname{BS}(8)$ mit je acht Leitungen mit dem
+\emph{Odd-Even-Merge} $\operatorname{OEM(8,8)}$ zu einer sortierten
+Gesamtfolge zusammenfügen. Das resultierende Sortiernetzwerk besitzt
+73~Komparatoren (zum Vergleich: $\operatorname{BS}(16)$ benötigt
+80~Komparatoren, $\operatorname{OES}(16)$ nur 63).
+
+Verbesserungen in der Anzahl der benötigten Komparatoren beziehungsweise der
+Schichten eines „kleinen“ Sortiernetzwerks übertragen sich direkt auf das
+resultierende Gesamtnetzwerk. Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+$\operatorname{OES}(9)$ benötigt beispielsweise 26~Komparatoren, die in in
+neun Schichten angeordnet sind. Es sind allerdings Sortiernetzwerke mit neun
+Eingängen bekannt, die lediglich 25~Komparatoren in sieben Schichten
+benötigen. Kombiniert man zwei dieser Netzwerke mit dem
+\emph{Odd-Even-Mischer} erhält man ein Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das
+80~Komparatoren in 11~Schichten benötigt -- $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
+82~Komparatoren in 13~Schichten. Damit ist das resultierende Netzwerk so
+schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das \textit{Sherenaz~W.
+Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step
+Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber
+6~Komparatoren weniger.
+
+% 9 9
+% 9 18
+% 9 27
+% 9 36
+% 9 45
+% 8 53
+% 8 61
+% 7 68
+% 7 75
+% 6 81
+% 5 86
+
+Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
+ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
+sortiert ist, ist das zweite Sortiernetzwerk überflüssig. Eine
+Aneinanderreihung der Art „die ersten $x$~Schichten des einen, dann die
+letzten $y$~Schichten des anderen Sortiernetzwerks“ zerstören im Allgemeinen
+die Sortiereigenschaft. Die Sortiereigenschaft des resultierenden
+Komparatornetzwerks müsste überprüft werden, was nach heutigem Wissensstand
+nur mit exponentiellem Aufwand möglich ist.
+
+%\begin{itemize}
+%\item Mit dem Bitonic-Merge
+%\item Mit dem Odd-Even-Merge
+%\item Nach dem Pairwise sorting-network Schema.
+%\end{itemize}
+
+\subsection{Leitungen entfernen}
+\label{sect:leitungen_entfernen}
+
+Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass es mithilfe von
+\emph{Mischern} möglich ist, aus zwei Sortiernetzwerken mit je $n$~Eingängen
+ein neues Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen zu erzeugen. Für einen
+beabsichtigen \emph{evolutionären Algorithmus} ist es jedoch notwendig, dass
+sich die Anzahl der Eingänge nicht verändert. Das heißt, dass wir wieder ein
+Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen erhalten müssen.
+
+Man kann ein gegebenes Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen auf ein
+Sortiernetzwerk mit ${n-1}$~Leitungen verkleinern, indem man eine Leitung
+„eliminiert“. Dazu nehmen wir an, dass das Minimum oder das Maximum an einem
+bestimmten Eingang anliegt. Der Weg, den das Minimum beziehungsweise das Maxim
+durch das Sortiernetzwerk nimmt, ist eindeutig bestimmt und endet an einem der
+„Ränder“, also auf der Leitung mit dem höchsten oder dem niedrigsten Index.
+Insbesondere ist bekannt, welche Komparatoren „berührt“ werden und welche
+dafür sorgen, dass der Wert die Leitung gewechselt, da das Minimum jeden
+Vergleich „verliert“ und das Maximum jeden Vergleich „gewinnt“. Die
+Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} zeigt den Weg eines Maximums durch
+das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[foo]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}}
+ \subfigure[bar]{\input{images/oe-transposition-cut1.tex}\label{fig:oe-transposition-cut1}}
+ \subfigure[baz]{\input{images/oe-transposition-cut2.tex}\label{fig:oe-transposition-cut2}}
+ \subfigure[qux]{\input{images/oe-transposition-cut3.tex}\label{fig:oe-transposition-cut3}}
+ \caption{Eine Leitung wird aus dem
+ \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(8)$ entfernt:
+ Auf der rot markierten Leitung wird $\infty$ angelegt. Da der Wert bei jedem
+ Komparator am unteren Ende herauskommt, ist der Pfad fest vorgegeben. Da die
+ restlichen Werte trotzdem noch richtig sortiert werden müssen, kann dieser
+ Pfad herausgetrennt werden. In der letzten Abbildung ist
+ $\operatorname{OET}(7)$ markiert.}
+ \label{fig:oe-transposition-cut}
+\end{figure}