+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
+ \end{center}
+ \caption{PS(32) mit 16 Schnitten zu PS(16).}
+ \label{fig:ps16-from-ps32}
+\end{figure}
+
+Für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} ist es vergleichsweise einfach
+regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk einen kleineres
+schnelles und effizientes Sortiernetzwerk erzeugen. Beispielsweise führt das
+einfache Schnittmuster
+\begin{displaymath}
+\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
+ -\infty & \quad \textrm{falls } i < \frac{1}{4} n \\
+ \infty & \quad \textrm{falls } i \geqq \frac{3}{4} n \\
+ ? & \quad \mathrm{sonst}
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+für $\operatorname{PS}\left(n = 2^d\right)$ zum Sortiernetzwerk
+$\operatorname{PS}\left(\frac{1}{2}n\right)$. Die Art und Weise, mit der
+dieses Schnittmuster Komparatoren eliminiert und welche Komparatoren das
+verbleibende Netzwerk ausmachen, ist in Abbildung~\ref{fig:ps16-from-ps32}
+dargestellt. Die matt blauen und roten Leitungen und Komparatoren sind
+diejenigen, die Aufgrund eines Minimums oder eines Maximums im resultierenden
+Netzwerk nicht mehr enthalten sind. Da die Minima und Maxima bereits auf den
+„richtigen“ Leitungen angelegt werden, müssen keine Leitungen vertauscht
+werden und das Ergebnis ist bereits normalisiert. Daher ist das resultierende
+Netzwerk in schwarz gut zu erkennen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-pairwise.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
+ ($\operatorname{MIN}(0,2,4,6), \operatorname{MAX}(9,11,13,15)$). Das
+ resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
+ \label{fig:16-pairwise}
+\end{figure}
+
+Ein Spezialfall ergibt sich, wenn man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
+$\operatorname{PS}(16)$ anwendet: In diesem Fall kann man durch ein
+8-Schnittmuster das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{8} erhalten. Für
+größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen nicht mehr möglich, beispielsweise
+kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch ein 16-Schnittmuster in \oes{16}
+konvertiert werden. Die Verwandschaft von $\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n}
+untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler} ausführlich in~\cite{M2009}.
+
+\subsection{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+
+In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
+viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster die konstruktiven Sortiernetzwerke
+$\operatorname{OES}(32)$, $\operatorname{BS}(32)$ und $\operatorname{PS}(32)$
+besitzen. Eines der Ergebnisse war, dass von diesen Sortiernetzwerken das
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk die wenigsten unterschiedlichen
+16-Schnittmuster besitzt -- nur etwa $5,2$~Millionen. Entsprechend ist es
+wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} gestartet mit
+$\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell ein gutes 16-Schnittmuster findet.
+
+Eines der eher zufälligen Schnittmuster ist $\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14,
+17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7, 8,$ $13, 18, 21, 27, 31)$. Das
+Schnittmuster ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht,
+das resultierende Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-oes32-cut.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Visualisierung eines 16-Schnittmusters, das auf
+ $\operatorname{OES}(32)$ angewendet wieder ein schnelles und effizientes
+ Sortiernetzwerk ergibt.}
+ \label{fig:16-ec-from-oes32-cut}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-oes32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{16-Sortiernetzwerk mit 63~Komparatoren in 10~Schichten.
+ Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
+ \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(32)$ durch
+ 16~Schnitte erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-oes32}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
+\label{sect:markov}
+
+Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
+Abschnitt verwendete immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
+einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
+ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
+verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
+
+Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, indem man \emph{immer} das
+aktuelle Netzwerk mit sich selbst kombiniert und anschließend die Hälfte aller
+Leitungen eliminiert, lassen sich einige interessante Beobachtungen anstellen.
+Netzwerke, die aus einem Netzwerk $S_0$ durch die beschriebene Kombination von
+$S_0$ mit sich selbst und anschließendem Eliminieren der Hälfte der Leitungen
+hervorgehen können, heißen \emph{Nachfolger} von $S_0$.
+
+Beim beschriebenen Vorgehen kann man die Sortiernetzwerke als Knoten in einem
+(gerichteten) Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
+Sortiernetzwerke $S_0$ und $S_1$ repräsentieren, sind genau dann mit einer
+Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von
+$S_0$ ist, das heißt dass man $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
+selbst erzeugen kann.
+
+Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
+der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
+sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der
+Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten
+32-Sortier\-netz\-werken wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$
+unterschiedliche Schnittmuster geschätzt.
+
+Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
+zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem
+gegebenen Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu
+gelangen, rekombiniert der Algorithmus das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich
+selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger. In Pseudocode lässt dich der
+Algorithmus wie folgt beschreiben:
+
+\begin{verbatim}
+ Netzwerk := Eingabe
+
+ für n Iterationen
+ {
+ Nachfolger := kombiniere (Netzwerk, Netzwerk)
+ Netzwerk := Nachfolger
+ }
+
+ gib Netzwerk zurück
+\end{verbatim}
+
+Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} zeigen die Anzahl der
+Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf seinem
+zufälligen Pfad durchläuft (rot). Für jeden Graphen wurde der
+\textsc{SN-Markov}-Algorithmus auf einem entsprechenden
+\emph{Odd-Even-Transporitionsort}-Netzwerk gestartet hat mindestens
+1.000.000~Iterationen durchlaufen. In jedem Schritt wurde die Anzahl der
+Komparatoren des Sortiernetzwerks bestimmt und ein entsprechender Zähler
+erhöht. In Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} ist die resultierende
+prezenturale Verteilung zu sehen.
+
+Ebenfalls in die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators}
+eingezeichnet ist eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die die gemessenen
+Daten gut annähert. Die Gamma-Verteilung verwendet einen Offset~$\delta$, der
+um Eins kleiner als die kleinste erreichte Komparatorzahl gewählt wurde.
+Beispielsweise war die kleinste erreichte Komparatorzahl bei
+16-Sortiernetzwerken~63, entsprechend wurde der Offset $\delta = 63 - 1$
+gesetzt und die Gamma-Verteilung $g(x - 62)$ eingezeichnet. Die Parameter $k$
+und $\theta$, die eine Gamma-Verteilung charakterisieren, wurden mit einem
+Fitting-Algorithmus bestimmt. Der konkrete Offset ist als Parameter~$\delta$
+unter den Graphen angegeben.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[12 Leitungen, $k = 8,267$, $\theta = 0,962$, $\delta = 40$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}}
+ \subfigure[14 Leitungen, $k = 9,522$, $\theta = 0,867$, $\delta = 52$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}}
+ \subfigure[16 Leitungen, $k = 17,939$, $\theta = 1,091$, $\delta = 62$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}}
+ \subfigure[18 Leitungen, $k = 10,724$, $\theta = 0,766$, $\delta = 81$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken,
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden (rot). Ebenfalls eingezeichnet
+ ist jeweils eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die eine gute Näherung der
+ gemessenen Daten darstellt.}
+ \label{fig:markov-comparators}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/comparison-comparators-16.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren, die 16-Sortiernetzwerke von
+ \textsc{SN-Markov} und \textsc{SN-Evolution} (mit dem
+ \emph{Odd-Even}-Mischer und dem \emph{bitonen Mischer}) besaßen.}
+ \label{fig:comparison-comparators}
+\end{figure}
+
+Dass der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus nicht schlechter ist als der
+\textsc{SN-Evolution}-Algo\-rithmus, ist aus dem Graphen in
+Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} ersichtlich. Analog zu dem Versuch
+mit \textsc{SN-Markov}, wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus die
+Anzahl der Komparatoren jedes neuen Individuums ermittelt und gespeichert. Als
+Startnetzwerk diente bei beiden Algorithmen das
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{16}. Der Graph zeigt auf der
+x-Achse die Anzahl der Komparatoren, auf der y-Achse die Häufigkeit, mit der
+ein Sortiernetzwerk mit dieser Komparatorzahl durch die Rekombination erzeugt
+wurde. Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} unterscheiden außerdem nach
+dem verwendeten Mischer-Netzwerk -- \oem{32} beziehungsweise \bm{32}.
+
+Sowohl der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus, der das
+\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk verwendet, als auch \textsc{SN-Evolution} mit
+\oem{32} erreichen eine Komparatorzahl von~63 und finden Sortiernetzwerke, die
+bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch zu \oes{16} sind.
+Interessanterweise erzeugt \textsc{SN-Markov} derartige Netzwerke häufiger:
+Während nur $0,000017 \%$ der Individuen von \textsc{SN-Evolution} mit
+63~Komparatoren auskamen, ist die Rate bei \textsc{SN-Markov} mit $0,000335
+\%$ rund 20~mal höher.
+
+Erwartunggemäß sind die besten Netzwerke, die \textsc{SN-Evolution} mit dem
+\emph{bitonen Mischer} findet, aus 67~Komparatoren aufgebaut. Überraschend ist
+jedoch, dass in dieser Konfiguration Sortiernetzwerke auftreten können, die
+mehr Komparatoren besitzen als \emph{Odd-Even-Transpositionsort} -- \oet{16}
+ist aus 120~Komparatoren aufgebaut, bei dem Lauf, der die Daten für
+Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} lieferte, traten auch jeweils ein
+Sortiernetzwerk mit 121 und 124~Komparatoren auf. Da Sortiernetzwerke mit so
+vielen Komparatoren im Verlauf des Experiments selbst nach über 100~Millionen
+Iterationen nicht noch einmal erzeugt wurden, handelt es sich vermutlich um
+ein Phänomen, das mit der Initialisierung mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk zusammenhängt.
+
+%\begin{figure}
+% \begin{center}
+% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
+% \end{center}
+% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
+% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
+% \label{fig:markov-comparators-14}
+%\end{figure}
+%
+%\begin{figure}
+% \begin{center}
+% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
+% \end{center}
+% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
+% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
+% \label{fig:markov-comparators-16}
+%\end{figure}
+%
+%\begin{figure}
+% \begin{center}
+% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}
+% \end{center}
+% \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen),
+% die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+% \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.}
+% \label{fig:markov-comparators-18}
+%\end{figure}
+
+%\begin{figure}
+% \begin{center}
+% \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf}
+% \end{center}
+% \caption{Zyklen, die beim \textit{Random Walk} des
+% \textsc{SN-Markov}-Algorithmus detektiert wurden. Auf der x-Achse sind die
+% Anzahl der Schritte, die \textsc{SN-Markov} zurückgelegt hat, auf der
+% y-Achse die Längen der gefundenen Zyklen aufgetragen. Das initiale
+% Start-Sortiernetzwerk war $\operatorname{OET}(16)$.}
+% \label{fig:markov-cycles-16}
+%\end{figure}
+
+
+\todo{Schreibe noch etwas zu …}