Diverses.

[diplomarbeit.git] / diplomarbeit.tex

diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex
index c090c39..c4ac165 100644 (file)
--- a/diplomarbeit.tex
+++ b/diplomarbeit.tex
@@ -41,6 +41,7 @@
 \newcommand{\ps}[1]{\ensuremath{\operatorname{PS}(#1)}}
 \newcommand{\oem}[1]{\ensuremath{\operatorname{OEM}(#1)}}
 \newcommand{\bm}[1]{\ensuremath{\operatorname{BM}(#1)}}
 \newcommand{\ps}[1]{\ensuremath{\operatorname{PS}(#1)}}
 \newcommand{\oem}[1]{\ensuremath{\operatorname{OEM}(#1)}}
 \newcommand{\bm}[1]{\ensuremath{\operatorname{BM}(#1)}}

+\newcommand{\oet}[1]{\ensuremath{\operatorname{OET}(#1)}}

 
 \newtheorem{definition}{Definition}
 \newtheorem{satz}{Satz}
 
 \newtheorem{definition}{Definition}
 \newtheorem{satz}{Satz}


@@ -98,6 +99,7 @@ das hinbekomme bzw. Recht behalte.}
 
 \subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
 
 
 \subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
 

+\todo{Schreibe noch etwas zu …}

 \begin{itemize}
 \item Sortiernetzwerke sind toll, weil $\ldots$
 \item Sortiernetzwerke sind einfach erklärt, aber trotzdem kompliziert.
 \begin{itemize}
 \item Sortiernetzwerke sind toll, weil $\ldots$
 \item Sortiernetzwerke sind einfach erklärt, aber trotzdem kompliziert.


@@ -374,6 +376,8 @@ Bekannten (Abbildung~\ref{fig:13-juille}).
 
 Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
 
 
 Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
 

+\todo{Einleitungssatz}
+

 \subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
 \label{sect:odd_even_transpositionsort}
 
 \subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
 \label{sect:odd_even_transpositionsort}
 


@@ -430,7 +434,7 @@ Schichten.
 
 Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
 sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
 
 Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
 sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser

-\emph{„bitoner Mischer“} (englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein
+\emph{„bitone Mischer“} (englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein

 verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
 
 Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
 verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
 
 Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die


@@ -439,20 +443,20 @@ Es ist jedoch möglich das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen.
 
 \subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
 
 
 \subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
 

-Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
-Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine beliebige
-\emph{bitone Folge} in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine \emph{bitone
-Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton absteigenden
-Folge, oder ein zyklischer Shift davon. Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton}
-zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten die durch zyklische Shifts
-entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das \emph{bitone
-Mergesort-Netzwerk} zeigen die Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0}
-und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie erhält man, wenn man eine aufsteigend und
-eine absteigend sortierte Liste aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen
-ist wichtig zu beachten, dass das letzte Element nicht größer
-(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. kleiner
-(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge sein
-darf.
+Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
+Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine
+beliebige \emph{bitone Folge} in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine
+\emph{bitone Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton
+absteigenden Folge, oder ein zyklischer Shift davon.
+Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton} zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten
+die durch zyklische Shifts entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das
+\emph{bitone Mergesort}-Netzwerk zeigen die
+Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0} und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie
+erhält man, wenn man eine aufsteigend und eine absteigend sortierte Liste
+aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen ist wichtig zu beachten, dass
+das letzte Element nicht größer (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw.
+kleiner (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge
+sein darf.

 
 \begin{figure}
   \centering
 
 \begin{figure}
   \centering


@@ -544,10 +548,9 @@ alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen.
   \begin{center}
   \input{images/batcher-8.tex}
   \end{center}
   \begin{center}
   \input{images/batcher-8.tex}
   \end{center}

-  \caption{$\operatorname{BS}(8)$, Batchers {\em bitones Mergesort-Netzwerk}
-  für acht Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von
-  $\operatorname{BS}(4)$ (rot), die beiden bitonen
-  Mischer~$\operatorname{BM}(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten
+  \caption{\bs{8}, Batchers \emph{bitones Mergesort}-Netzwerk für acht
+  Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von \bs{4} (rot), die beiden
+  bitonen Mischer~\bm{4} (blau) und die Komparatoren, die im letzten

   rekursiven Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
   \label{fig:bitonic-08}
 \end{figure}
   rekursiven Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
   \label{fig:bitonic-08}
 \end{figure}


@@ -564,15 +567,6 @@ $\frac{1}{4} n \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}\left(n (log (n))^2\right)$
 Komparatoren, die in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$
 Schichten angeordnet sind.
 
 Komparatoren, die in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$
 Schichten angeordnet sind.
 

-%\begin{figure}
-%\begin{center}
-%\includegraphics[viewport=115 491 372 782,width=7.5cm]{images/sn-rekursiver-aufbau.pdf}
-%\end{center}
-%\caption{Rekursiver Aufbau von $S(n)$: Es besteht aus zwei Instanzen von
-%$S(n/2)$ und dem Mischer $M(n)$.}
-%\label{fig:bms_rekursiver_aufbau}
-%\end{figure}
-

 \subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
 
 Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
 \subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
 
 Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}


@@ -584,17 +578,17 @@ vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
 beschrieben und initial analysiert worden. Eine weitere Gemeinsamkeit besteht
 darin, dass es ebenfalls rekursiv durch einen Mischer definiert ist.
 
 beschrieben und initial analysiert worden. Eine weitere Gemeinsamkeit besteht
 darin, dass es ebenfalls rekursiv durch einen Mischer definiert ist.
 

-\subsubsection{Der Odd-Even-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}
+\subsubsection{Der \emph{Odd-Even}-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}

 
 

-Der \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(n,m)$ ist ein
+Der \emph{Odd-Even}-Mischer $\operatorname{OEM}(n,m)$ ist ein

 Komperatornetzwerk, dass zwei sortierte Folgen mit $n$ beziehungsweise $m$
 Elementen zu einer sortierten Ausgabefolge mit $N = n+m$~Elementen
 zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
 \emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}
 Komperatornetzwerk, dass zwei sortierte Folgen mit $n$ beziehungsweise $m$
 Elementen zu einer sortierten Ausgabefolge mit $N = n+m$~Elementen
 zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
 \emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}

-vorgestellt wurde. Allerdings benötigt der \emph{Odd-Even-Mischer} unter
+vorgestellt wurde. Allerdings benötigt der \emph{Odd-Even}-Mischer unter

 Umständen mehr Schichten als der \emph{bitone Mischer}.~\cite{KNUTH}
 
 Umständen mehr Schichten als der \emph{bitone Mischer}.~\cite{KNUTH}
 

-Der \emph{Odd-Even-Mischer} selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
+Der \emph{Odd-Even}-Mischer selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die

 Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
 sortierten Folgen $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}\right)$ und
 $V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die gesamte Eingabe sei
 Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
 sortierten Folgen $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}\right)$ und
 $V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die gesamte Eingabe sei


@@ -628,7 +622,7 @@ geraden Indizes und je eine Liste der ungeraden Indizes.
 
 Die geraden Folgen $U_{\textrm{gerade}}$ und $V_{\textrm{gerade}}$ bzw. die
 ungeraden Folgen $U_{\textrm{ungerade}}$ und $V_{\textrm{ungerade}}$ werden
 
 Die geraden Folgen $U_{\textrm{gerade}}$ und $V_{\textrm{gerade}}$ bzw. die
 ungeraden Folgen $U_{\textrm{ungerade}}$ und $V_{\textrm{ungerade}}$ werden

-rekursiv von kleineren {\em Odd-Even-Mischern} zusammengefügt, so dass sich am
+rekursiv von kleineren \emph{Odd-Even}-Mischern zusammengefügt, so dass sich am

 Ausgang der Mischer die Folgen
 \begin{eqnarray}
   W_{\textrm{gerade}}   &=& \left(w_0, w_2, w_4, \ldots\right) \\
 Ausgang der Mischer die Folgen
 \begin{eqnarray}
   W_{\textrm{gerade}}   &=& \left(w_0, w_2, w_4, \ldots\right) \\


@@ -641,8 +635,8 @@ hinzugefügt,
 \begin{equation}
   w_{2i-1} \longleftrightarrow w_{2i}, \quad 1 \leqq i < \frac{N}{2}
 \end{equation}
 \begin{equation}
   w_{2i-1} \longleftrightarrow w_{2i}, \quad 1 \leqq i < \frac{N}{2}
 \end{equation}

-die die Folge~$W$ sortieren. Den schematischen Aufbau des {\em
-Odd-Even-Mischers} zeigt Abbildung~\ref{fig:oe-merge}.
+die die Folge~$W$ sortieren. Den schematischen Aufbau des
+\emph{Odd-Even}-Mischers zeigt Abbildung~\ref{fig:oe-merge}.

 
 Leider bricht die Rekursion nicht so schön ab, wie das beim {\em bitonen
 Mischer} der Fall gewesen ist. Insbesondere für ${n = m = 1}$ würde --
 
 Leider bricht die Rekursion nicht so schön ab, wie das beim {\em bitonen
 Mischer} der Fall gewesen ist. Insbesondere für ${n = m = 1}$ würde --


@@ -692,7 +686,7 @@ in Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
   \qquad
   \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 2$]{\input{images/oe-post-recursive-diff2.tex}}
   \caption{Die drei Situationen, die nach dem Verzahnen der Ausgaben der
   \qquad
   \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 2$]{\input{images/oe-post-recursive-diff2.tex}}
   \caption{Die drei Situationen, die nach dem Verzahnen der Ausgaben der

-  kleineren {\em Odd-Even-Mischer} entstehen können. Ist die Differenz der
+  kleineren \emph{Odd-Even}-Mischer entstehen können. Ist die Differenz der

   Anzahl der Nullen gleich $0$ oder $1$, ist die Folge bereits sortiert. Im
   letzten Fall stellt einer der Komparatoren sicher, dass das Ergebnis
   sortiert ist.}
   Anzahl der Nullen gleich $0$ oder $1$, ist die Folge bereits sortiert. Im
   letzten Fall stellt einer der Komparatoren sicher, dass das Ergebnis
   sortiert ist.}


@@ -743,7 +737,7 @@ benötigt werden.
 
 Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht --~wie
 das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
 
 Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht --~wie
 das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von

-sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even-Mischer}. Die
+sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even}-Mischer. Die

 effizientesten Sortiernetzwerke in Bezug auf Komparator- und Schichtzahl
 entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
 $\operatorname{OES}(n)$ aus
 effizientesten Sortiernetzwerke in Bezug auf Komparator- und Schichtzahl
 entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
 $\operatorname{OES}(n)$ aus


@@ -760,7 +754,7 @@ Komparatornetzwerke definiert sind.
   \end{center}
   \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge. Markiert
   sind die Instanzen von $\operatorname{OES}(4)$ (rot), die beiden
   \end{center}
   \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge. Markiert
   sind die Instanzen von $\operatorname{OES}(4)$ (rot), die beiden

-  \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(4)$ für gerade und ungerade
+  \emph{Odd-Even}-Mischer $\operatorname{OEM}(4)$ für gerade und ungerade

   Leitungen (blau) und die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügten
   Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen (grün).}
   \label{fig:odd-even-mergesort-08}
   Leitungen (blau) und die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügten
   Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen (grün).}
   \label{fig:odd-even-mergesort-08}


@@ -769,7 +763,7 @@ Komparatornetzwerke definiert sind.
 In Abbildung~\ref{fig:odd-even-mergesort-08} ist das konkrete Sortiernetzwerk
 $\operatorname{OES}(8)$ zu sehen. Rot markiert sind die beiden rekursiven
 Instanzen $\operatorname{OES}(4)$. Die blauen und der grüne Block stellen den
 In Abbildung~\ref{fig:odd-even-mergesort-08} ist das konkrete Sortiernetzwerk
 $\operatorname{OES}(8)$ zu sehen. Rot markiert sind die beiden rekursiven
 Instanzen $\operatorname{OES}(4)$. Die blauen und der grüne Block stellen den

-\emph{Odd-Even-Mischer} für acht Leitungen dar: Die beiden blauen Blöcke sind
+\emph{Odd-Even}-Mischer für acht Leitungen dar: Die beiden blauen Blöcke sind

 die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
 die Komparatoren, die in ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
 
 die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
 die Komparatoren, die in ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
 


@@ -828,6 +822,7 @@ die Anzahl der Schichten als Bewertungskriterium verwendet, immer eine
 Komprimierung durchgeführt werden.
 
 \subsection{Normalisieren}
 Komprimierung durchgeführt werden.
 
 \subsection{Normalisieren}

+\label{sect:normalisieren}

 
 \begin{figure}
   \centering
 
 \begin{figure}
   \centering


@@ -892,7 +887,7 @@ $\operatorname{OES}(9)$ benötigt beispielsweise 26~Komparatoren, die in in
 neun Schichten angeordnet sind. Es sind allerdings Sortiernetzwerke mit neun
 Eingängen bekannt, die lediglich 25~Komparatoren in sieben Schichten
 benötigen. Kombiniert man zwei dieser Netzwerke mit dem
 neun Schichten angeordnet sind. Es sind allerdings Sortiernetzwerke mit neun
 Eingängen bekannt, die lediglich 25~Komparatoren in sieben Schichten
 benötigen. Kombiniert man zwei dieser Netzwerke mit dem

-\emph{Odd-Even-Mischer} erhält man ein Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das
+\emph{Odd-Even}-Mischer erhält man ein Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das

 80~Komparatoren in 11~Schichten benötigt -- $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
 82~Komparatoren in 13~Schichten. Damit ist das resultierende Netzwerk so
 schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das \textit{Sherenaz~W.
 80~Komparatoren in 11~Schichten benötigt -- $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
 82~Komparatoren in 13~Schichten. Damit ist das resultierende Netzwerk so
 schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das \textit{Sherenaz~W.


@@ -900,18 +895,6 @@ Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step
 Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber
 6~Komparatoren weniger.
 
 Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber
 6~Komparatoren weniger.
 

-% 9   9
-% 9  18
-% 9  27
-% 9  36
-% 9  45
-% 8  53
-% 8  61
-% 7  68
-% 7  75
-% 6  81
-% 5  86
-

 Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
 ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
 sortiert ist, ist das zweite Sortiernetzwerk überflüssig. Eine
 Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
 ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
 sortiert ist, ist das zweite Sortiernetzwerk überflüssig. Eine


@@ -921,12 +904,6 @@ die Sortiereigenschaft. Die Sortiereigenschaft des resultierenden
 Komparatornetzwerks müsste überprüft werden, was nach heutigem Wissensstand
 nur mit exponentiellem Aufwand möglich ist.
 
 Komparatornetzwerks müsste überprüft werden, was nach heutigem Wissensstand
 nur mit exponentiellem Aufwand möglich ist.
 

-%\begin{itemize}
-%\item Mit dem Bitonic-Merge
-%\item Mit dem Odd-Even-Merge
-%\item Nach dem Pairwise sorting-network Schema.
-%\end{itemize}
-

 \subsection{Leitungen entfernen}
 \label{sect:leitungen_entfernen}
 
 \subsection{Leitungen entfernen}
 \label{sect:leitungen_entfernen}
 


@@ -951,17 +928,20 @@ das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}.
 
 \begin{figure}
   \centering
 
 \begin{figure}
   \centering

-  \subfigure[foo]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}}
-  \subfigure[bar]{\input{images/oe-transposition-cut1.tex}\label{fig:oe-transposition-cut1}}
-  \subfigure[baz]{\input{images/oe-transposition-cut2.tex}\label{fig:oe-transposition-cut2}}
-  \subfigure[qux]{\input{images/oe-transposition-cut3.tex}\label{fig:oe-transposition-cut3}}
+  \subfigure[Auf der Leitung~4 wird $-\infty$ angelegt. Dadurch ist der Pfad
+  durch das Sortiernetzwerk eindeutig festgelegt.]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}}
+  \subfigure[Komparatoren, die einen wechsel der Leitungen bewirken, werden
+  durch sich kreuzende Leitungen ersetzt.]{\input{images/oe-transposition-cut1.tex}\label{fig:oe-transposition-cut1}}
+  \subfigure[Leitung~4 wurde entfernt. Übrig bleibt ein Sortiernetzwerk mit
+  7~Leitungen.]{\input{images/oe-transposition-cut2.tex}\label{fig:oe-transposition-cut2}}
+  \subfigure[Die Leitungen wurden wieder gerade eingezeichnet und die
+  Komparatoren regelmäßig angeordnet. Blau eingezeichnet ist \oet{7}.]{\input{images/oe-transposition-cut3.tex}\label{fig:oe-transposition-cut3}}

   \caption{Eine Leitung wird aus dem
   \caption{Eine Leitung wird aus dem

-  \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(8)$ entfernt:
-  Auf der rot markierten Leitung wird $\infty$ angelegt. Da der Wert bei jedem
-  Komparator am unteren Ende herauskommt, ist der Pfad fest vorgegeben. Da die
-  restlichen Werte trotzdem noch richtig sortiert werden müssen, kann dieser
-  Pfad herausgetrennt werden. In der letzten Abbildung ist
-  $\operatorname{OET}(7)$ markiert.}
+  \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{8} entfernt: Auf der rot
+  markierten Leitung wird $-\infty$ angelegt. Da der Wert bei jedem Komparator
+  am unteren Ende herauskommt, ist der Pfad fest vorgegeben. Da die restlichen
+  Werte trotzdem noch richtig sortiert werden müssen, kann dieser Pfad
+  herausgetrennt werden. In der letzten Abbildung ist \oet{7} markiert.}

   \label{fig:oe-transposition-cut}
 \end{figure}
 
   \label{fig:oe-transposition-cut}
 \end{figure}
 


@@ -984,19 +964,25 @@ auszuwerten -- über die verbleibenden Eingänge haben wir keine Aussage
 getroffen. Entsprechend müssen die verbleibenden Ausgänge eine sortierte Liste
 mit $(n-1)$~Elementen darstellen.
 
 getroffen. Entsprechend müssen die verbleibenden Ausgänge eine sortierte Liste
 mit $(n-1)$~Elementen darstellen.
 

-Wenn wir die Minimum- beziehungsweise Maximum-Leitung entfernen
-(Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2}), bleibt das Sortiernetzwerk für
-$(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung ein Minimum oder ein
-Maximum angenommen wird, bezeichnen wir das eliminieren einer Leitung als
-\emph{Minimum-Schnitt} beziehungsweise \emph{Maximum-Schnitt}.
+Wenn man die Minimum- beziehungsweise Maximum-Leitung entfernt, wie in
+Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2} dargestellt, bleibt das
+Sortiernetzwerk für $(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung
+ein Minimum oder ein Maximum angenommen wird, bezeichnen wir das eliminieren
+einer Leitung als \emph{Minimum-Schnitt} beziehungsweise
+\emph{Maximum-Schnitt}.

 
 Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das
 Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot
 markierten Komparatoren wurden verschoben, so dass sich eine kompaktere
 Darstellung ergibt. Ausserdem ist das
 
 Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das
 Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot
 markierten Komparatoren wurden verschoben, so dass sich eine kompaktere
 Darstellung ergibt. Ausserdem ist das

-{\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} für sieben Werte markiert. Der
-zusätzliche Komparator vor dem $\textrm{OET}(7)$ hat keinen Einfluss auf die
-Ausgabe und kann entfernt werden.
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk für sieben Werte markiert. Der
+zusätzliche Komparator vor dem \oet{7} hat keinen Einfluss auf die Ausgabe und
+kann entfernt werden.
+
+Durch das Ersetzen von Komparatoren durch gekreuzte Leitungen werden häufig
+\emph{Nicht-Standard-Sortiernetzwerke} erzeugt. Im Anschluss an einen
+\emph{Schnitt} empfiehlt es sich deshalb, das Sortiernetzwerk zu
+\emph{normalisieren}, wie in Abschnitt~\ref{sect:normalisieren} beschrieben.

 
 \subsubsection{Anzahl möglicher und unterschiedlicher Schnittmuster}
 \label{sect:anzahl_schnittmuster}
 
 \subsubsection{Anzahl möglicher und unterschiedlicher Schnittmuster}
 \label{sect:anzahl_schnittmuster}


@@ -1004,8 +990,8 @@ Ausgabe und kann entfernt werden.
 Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem
 Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
 $n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können auf diese Art und
 Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem
 Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
 $n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können auf diese Art und

-Weise einen Sortiernetzwerke mit $2n$~Eingängen wieder auf Sortiernetzwerke
-mit $n$~Eingängen reduziert werden. $k$~Minimum- und Maximum-Schnitte, die
+Weise Sortiernetzwerke mit $2n$~Eingängen auf Sortiernetzwerke mit
+$n$~Eingängen reduziert werden. $k$~Minimum- und Maximum-Schnitte, die

 nacheinander angewendet ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein
 ${(n-k)}$-Sortiernetz\-werk reduzieren, bezeichnen wir als
 \emph{$k$-Schnittmuster}.
 nacheinander angewendet ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein
 ${(n-k)}$-Sortiernetz\-werk reduzieren, bezeichnen wir als
 \emph{$k$-Schnittmuster}.


@@ -1030,12 +1016,13 @@ führen beide Reihenfolgen zum selben Ergebnis.
 
 \textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit~\cite{M2009}, dass es
 möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise Maximum
 
 \textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit~\cite{M2009}, dass es
 möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise Maximum

-vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster reduziert,
-die Menge der so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber unverändert. Die
-Anzahl der möglichen Schnittmuster setzt sich zusammen aus der Anzahl von
-Möglichkeiten, $k$~Leitungen aus $n$~Leitungen auszuwählen, und die möglichen
-Minimum-~/ Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende Formel für die Anzahl
-der möglichen Schnittmuster:
+vorzubelegen, ohne die Menge der erreichbaren Sortiernetzwerke einzuschränken.
+Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster reduziert, die Menge der
+so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber unverändert. Die Anzahl der
+möglichen Schnittmuster setzt sich zusammen aus der Anzahl von Möglichkeiten,
+$k$~Leitungen aus $n$~Leitungen auszuwählen, und die möglichen Minimum-~/
+Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende Formel für die Anzahl der möglichen
+Schnittmuster:

 \begin{displaymath}
   2^k \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)
   = 2^{k} \cdot \frac{n!}{k! (n-k)!}
 \begin{displaymath}
   2^k \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)
   = 2^{k} \cdot \frac{n!}{k! (n-k)!}


@@ -1075,8 +1062,8 @@ sich die Resultate auch in der ersten Schicht nicht unterscheiden.
   8-Schnittmuster aus $\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und
   $\operatorname{PS}(16)$ hervorgegangen sind. Die Anzahl der
   unterschiedlichen Netzwerke nach $10^6$~Iterationen ist 3519 für das
   8-Schnittmuster aus $\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und
   $\operatorname{PS}(16)$ hervorgegangen sind. Die Anzahl der
   unterschiedlichen Netzwerke nach $10^6$~Iterationen ist 3519 für das

-  \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}, 4973 für das \emph{bitone
-  Mergesort-Netzwerk} und 18764 für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}.}
+  \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, 4973 für das \emph{bitone
+  Mergesort}-Netzwerk und 18764 für das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk.}

   \label{fig:count-cuts-16}
 \end{figure}
 
   \label{fig:count-cuts-16}
 \end{figure}
 


@@ -1102,9 +1089,9 @@ Die Anzahl der möglichen 8-Schnittmuster ist entsprechend der
 Formel~\eqref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen
 Schnittmuster führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen}
 Sortiernetzwerken: 3519 ($\approx 0,1\%$) im Fall des
 Formel~\eqref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen
 Schnittmuster führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen}
 Sortiernetzwerken: 3519 ($\approx 0,1\%$) im Fall des

-\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerks}, 4973 ($\approx 0,15\%$) beim
-\emph{bitonen Mergesort-Netzwerk} und 18764 ($\approx 0,57\%$) beim
-\emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}. Zwar ist es möglich, dass mehr Iterationen
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks, 4973 ($\approx 0,15\%$) beim
+\emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk und 18764 ($\approx 0,57\%$) beim
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk. Zwar ist es möglich, dass mehr Iterationen

 die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster noch wachsen lässt. Die Graphen
 in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der Annahme, dass
 die Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster
 die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster noch wachsen lässt. Die Graphen
 in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der Annahme, dass
 die Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster


@@ -1118,7 +1105,8 @@ für „kleine“ x-Werte verlässt.
 
 Um die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu
 können, kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten
 
 Um die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu
 können, kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten

-\emph{Monte-Carlo-Methode}. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von
+\emph{Monte-Carlo-Methode}, die \textit{Rolf Wanka} in~\cite{W2006} für
+schwierige Zählprobleme vorstellt. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von

 $k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster
 zufällig erzeugt und überprüft, ob sie in der Menge~$S$ enthalten sind. Unter
 der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in $S$
 $k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster
 zufällig erzeugt und überprüft, ob sie in der Menge~$S$ enthalten sind. Unter
 der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in $S$


@@ -1180,6 +1168,7 @@ die Anzahl der \emph{möglichen} Schnittmuster.
 
 \newpage
 \section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus}
 
 \newpage
 \section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus}

+\label{sect:sn-evolution}

 
 Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus ist ein \emph{evolutionärer
 Algorithmus}, der die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Mischer
 
 Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus ist ein \emph{evolutionärer
 Algorithmus}, der die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Mischer


@@ -1251,21 +1240,21 @@ Algorithmus vorschnell in Richtung eines lokalen Optimums optimiert.
 Die in \textsc{SN-Evolution} implementierte Selektion lässt sich mithilfe von
 Pseudocode wie folgt beschreiben:
 \begin{verbatim}
 Die in \textsc{SN-Evolution} implementierte Selektion lässt sich mithilfe von
 Pseudocode wie folgt beschreiben:
 \begin{verbatim}

-Gütesumme := 0
-Auswahl := (leer)
-
-für jedes Individuum in Population
-{
-  reziproke Güte := 1.0 / Guete(Individuum)
-  Wahrscheinlichkeit P := reziproke Güte / (reziproke Güte + Gütesumme)
-  Gütesumme := Gütesumme + reziproke Güte
-
-  mit Wahrscheinlichkeit P
+  Gütesumme := 0
+  Auswahl := (leer)
+  
+  für jedes Individuum in Population

   {
   {

-    Auswahl := Individuum
+    reziproke Güte := 1.0 / Guete(Individuum)
+    Wahrscheinlichkeit P := reziproke Güte / (Gütesumme + reziproke Güte)
+    Gütesumme := Gütesumme + reziproke Güte
+  
+    mit Wahrscheinlichkeit P
+    {
+      Auswahl := Individuum
+    }

   }
   }

-}
-gib Auswahl zurück
+  gib Auswahl zurück

 \end{verbatim}
 
 \subsection{Rekombination}
 \end{verbatim}
 
 \subsection{Rekombination}


@@ -1273,13 +1262,15 @@ gib Auswahl zurück
 Bei der Rekombination werden zwei Individuen --~hier Sortiernetzwerke~-- zu
 einer neuen Lösung kombiniert. Dazu verwenden wir einen Mischer, zum Beispiel
 den {\em bitonen Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}) oder den
 Bei der Rekombination werden zwei Individuen --~hier Sortiernetzwerke~-- zu
 einer neuen Lösung kombiniert. Dazu verwenden wir einen Mischer, zum Beispiel
 den {\em bitonen Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}) oder den

-{\em Odd-Even-Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_odd_even_mischer}), um die
+\emph{Odd-Even}-Mischer (Abschnitt~\ref{sect:der_odd_even_mischer}), um die

 beiden Netzwerke zu einem Netzwerk mit $2n$~Leitungen zusammenzufügen.
 beiden Netzwerke zu einem Netzwerk mit $2n$~Leitungen zusammenzufügen.

-Anschließend entfernen wir zufällig $n$~Leitungen wie in
-Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben.
+Anschließend werden zufällig $n$~Leitungen mit einem $n$-Schnittmuster wie in
+Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben entfernt.

 
 Dieses Verfahren hat den großen Vorteil, dass es die Sortiereigenschaft
 
 Dieses Verfahren hat den großen Vorteil, dass es die Sortiereigenschaft

-erhält.
+erhält. Entsprechend muss nicht aufwendig überprüft werden, ob das
+Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft besitzt. Der Nachteil ist, dass
+nicht alle Sortiernetzwerke auf diese Art und Weise erzeugt werden können.

 
 \subsection{Mutation}
 
 
 \subsection{Mutation}
 


@@ -1343,7 +1334,7 @@ als das bitone Mergesort-Netzwerk: $\operatorname{BS}(16)$ benötigt
 80~Komparatoren, das Sortiernetzwerk in
 Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} benötigt lediglich~67.
 
 80~Komparatoren, das Sortiernetzwerk in
 Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} benötigt lediglich~67.
 

-\subsection{Versuche mit dem Odd-Even-Mischer}
+\subsection{Versuche mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer}

 
 \begin{figure}
   \begin{center}
 
 \begin{figure}
   \begin{center}


@@ -1351,7 +1342,7 @@ Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} benötigt lediglich~67.
   \end{center}
   \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
     10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
   \end{center}
   \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
     10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus

-    \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{Odd-Even-Mischers}
+    \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers

     erzeugt.}
   \label{fig:16-e1-oddeven-1296543330}
 \end{figure}
     erzeugt.}
   \label{fig:16-e1-oddeven-1296543330}
 \end{figure}


@@ -1359,20 +1350,15 @@ Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} benötigt lediglich~67.
 Leider lies sich das Ergebnis des bitonen Mischers -- das von
 \textsc{SN-Evolution} ausgegebene Netzwerk war effizienter als das rekursiv
 aus dem verwendeten Mischer aufgebaute Sortiernetzwerk -- mit dem
 Leider lies sich das Ergebnis des bitonen Mischers -- das von
 \textsc{SN-Evolution} ausgegebene Netzwerk war effizienter als das rekursiv
 aus dem verwendeten Mischer aufgebaute Sortiernetzwerk -- mit dem

-\emph{Odd-Even-Mischer} nicht wiederholen. Zwar erreichen die
+\emph{Odd-Even}-Mischer nicht wiederholen. Zwar erreichen die

 Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des
 Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des

-\emph{Odd-Even-Mischers} findet, das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+\emph{Odd-Even}-Mischers findet, das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk

 bezüglich Schnelligkeit und Effizienz, ein Beispiel hierfür ist in
 Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen. Ein Netzwerk, das
 $\operatorname{OES}(n)$ in mindestens einem Merkmal übertrifft, konnte jedoch
 nicht beobachtet werden.
 
 bezüglich Schnelligkeit und Effizienz, ein Beispiel hierfür ist in
 Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen. Ein Netzwerk, das
 $\operatorname{OES}(n)$ in mindestens einem Merkmal übertrifft, konnte jedoch
 nicht beobachtet werden.
 

-\begin{itemize}
-\item Güte von Sortiernetzwerken (Anzahl der Komparatoren, Anzahl der Schichten, kombiniert)
-\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \emph{Mischer} ab.
-\item Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.
-\item Möglicherweise: Verwende den rekursiven Aufbau des \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks um Sortiernetzwerke zu mergen.
-\end{itemize}
+\todo{Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.}

 
 %\begin{figure}
 %\begin{center}
 
 %\begin{figure}
 %\begin{center}


@@ -1420,11 +1406,11 @@ von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem
 Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
 gute Schnittmuster gesucht.
 
 Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
 gute Schnittmuster gesucht.
 

-Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster},
-die in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als
-Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte
-des einen Schnittmusters verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte des
-zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$.
+Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet \emph{Schnittmuster}, die
+in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als Individuen.
+Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte des einen
+Schnittmusters verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte des zweiten
+Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$.

 
 Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
 auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
 
 Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
 auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die


@@ -1502,7 +1488,7 @@ Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
   \label{fig:32-ec-from-bs64}
 \end{figure}
 
   \label{fig:32-ec-from-bs64}
 \end{figure}
 

-Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} von \textit{Wanka}, die den bitonen
+Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka}, die den bitonen

 Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
 konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
 $\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen
 Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
 konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
 $\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen


@@ -1559,7 +1545,7 @@ Anzahl an Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
 $\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
 
 $\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
 

-Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even-Mischer} nicht
+Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht

 einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist der
 $\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
 einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist der
 $\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In


@@ -1627,7 +1613,7 @@ wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} gestartet mit
 $\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell ein gutes 16-Schnittmuster findet.
 
 Eines der eher zufälligen Schnittmuster ist $\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14,
 $\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell ein gutes 16-Schnittmuster findet.
 
 Eines der eher zufälligen Schnittmuster ist $\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14,

-17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7, 8, 13, 18, 21, 27, 31)$. Das
+17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7, 8,$ $13, 18, 21, 27, 31)$. Das

 Schnittmuster ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht,
 das resultierende Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen.
 
 Schnittmuster ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht,
 das resultierende Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen.
 


@@ -1679,9 +1665,9 @@ selbst erzeugen kann.
 Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
 der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
 sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der
 Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
 der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
 sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der

-Nachfolger zwar noch unter 20000, bei den untersuchten 32-Sortiernetzwerken
-wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$ unterschiedliche Schnittmuster
-geschätzt.
+Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten
+32-Sortier\-netz\-werken wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$
+unterschiedliche Schnittmuster geschätzt.

 
 Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
 zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem
 
 Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
 zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem


@@ -1691,92 +1677,211 @@ selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger. In Pseudocode lässt dich de
 Algorithmus wie folgt beschreiben:
 
 \begin{verbatim}
 Algorithmus wie folgt beschreiben:
 
 \begin{verbatim}

-Netzwerk := Eingabe
+  Netzwerk := Eingabe
+  
+  für n Iterationen
+  {
+    Nachfolger := kombiniere (Netzwerk, Netzwerk)
+    Netzwerk   := Nachfolger
+  }
+  
+  gib Netzwerk zurück
+\end{verbatim}

 
 

-für n Iterationen
-{
-  Nachfolger := kombiniere (Netzwerk, Netzwerk)
-  Netzwerk   := Nachfolger
-}
+Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} zeigen die Anzahl der
+Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf seinem
+zufälligen Pfad durchläuft (rot). Für jeden Graphen wurde der
+\textsc{SN-Markov}-Algorithmus auf einem entsprechenden
+\emph{Odd-Even-Transporitionsort}-Netzwerk gestartet hat mindestens
+1.000.000~Iterationen durchlaufen. In jedem Schritt wurde die Anzahl der
+Komparatoren des Sortiernetzwerks bestimmt und ein entsprechender Zähler
+erhöht. In Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} ist die resultierende
+prezenturale Verteilung zu sehen.
+
+Ebenfalls in die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators}
+eingezeichnet ist eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die die gemessenen
+Daten gut annähert. Die Gamma-Verteilung verwendet einen Offset~$\delta$, der
+um Eins kleiner als die kleinste erreichte Komparatorzahl gewählt wurde.
+Beispielsweise war die kleinste erreichte Komparatorzahl bei
+16-Sortiernetzwerken~63, entsprechend wurde der Offset $\delta = 63 - 1$
+gesetzt und die Gamma-Verteilung $g(x - 62)$ eingezeichnet. Die Parameter $k$
+und $\theta$, die eine Gamma-Verteilung charakterisieren, wurden mit einem
+Fitting-Algorithmus bestimmt. Der konkrete Offset ist als Parameter~$\delta$
+unter den Graphen angegeben.

 
 

-gib Netzwerk zurück
-\end{verbatim}
+\begin{figure}
+  \centering
+  \subfigure[12 Leitungen, $k = 8,267$, $\theta = 0,962$, $\delta = 40$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}}
+  \subfigure[14 Leitungen, $k = 9,522$, $\theta = 0,867$, $\delta = 52$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}}
+  \subfigure[16 Leitungen, $k = 17,939$, $\theta = 1,091$, $\delta = 62$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}}
+  \subfigure[18 Leitungen, $k = 10,724$, $\theta = 0,766$, $\delta = 81$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}}
+  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken,
+  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden (rot). Ebenfalls eingezeichnet
+  ist jeweils eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die eine gute Näherung der
+  gemessenen Daten darstellt.}
+  \label{fig:markov-comparators}
+\end{figure}

 
 \begin{figure}
   \begin{center}
 
 \begin{figure}
   \begin{center}

-  \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf}
+    \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/comparison-comparators-16.pdf}

   \end{center}
   \end{center}

-  \caption{Zyklen, die beim \textit{Random Walk} des
-  \textsc{SN-Markov}-Algorithmus detektiert wurden. Auf der x-Achse sind die
-  Anzahl der Schritte, die \textsc{SN-Markov} zurückgelegt hat, auf der
-  y-Achse die Längen der gefundenen Zyklen aufgetragen. Das initiale
-  Start-Sortiernetzwerk war $\operatorname{OET}(16)$.}
-  \label{fig:markov-cycles-16}
+  \caption{Anzahl der Komparatoren, die 16-Sortiernetzwerke von
+  \textsc{SN-Markov} und \textsc{SN-Evolution} (mit dem
+  \emph{Odd-Even}-Mischer und dem \emph{bitonen Mischer}) besaßen.}
+  \label{fig:comparison-comparators}

 \end{figure}
 
 \end{figure}
 

+Dass der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus nicht schlechter ist als der
+\textsc{SN-Evolution}-Algo\-rithmus, ist aus dem Graphen in
+Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} ersichtlich. Analog zu dem Versuch
+mit \textsc{SN-Markov}, wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus die
+Anzahl der Komparatoren jedes neuen Individuums ermittelt und gespeichert. Als
+Startnetzwerk diente bei beiden Algorithmen das
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{16}. Der Graph zeigt auf der
+x-Achse die Anzahl der Komparatoren, auf der y-Achse die Häufigkeit, mit der
+ein Sortiernetzwerk mit dieser Komparatorzahl durch die Rekombination erzeugt
+wurde. Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} unterscheiden außerdem nach
+dem verwendeten Mischer-Netzwerk -- \oem{32} beziehungsweise \bm{32}.
+
+Sowohl der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus, der das
+\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk verwendet, als auch \textsc{SN-Evolution} mit
+\oem{32} erreichen eine Komparatorzahl von~63 und finden Sortiernetzwerke, die
+bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch zu \oes{16} sind.
+Interessanterweise erzeugt \textsc{SN-Markov} derartige Netzwerke häufiger:
+Während nur $0,000017 \%$ der Individuen von \textsc{SN-Evolution} mit
+63~Komparatoren auskamen, ist die Rate bei \textsc{SN-Markov} mit $0,000335
+\%$ rund 20~mal höher.
+
+Erwartunggemäß sind die besten Netzwerke, die \textsc{SN-Evolution} mit dem
+\emph{bitonen Mischer} findet, aus 67~Komparatoren aufgebaut. Überraschend ist
+jedoch, dass in dieser Konfiguration Sortiernetzwerke auftreten können, die
+mehr Komparatoren besitzen als \emph{Odd-Even-Transpositionsort} -- \oet{16}
+ist aus 120~Komparatoren aufgebaut, bei dem Lauf, der die Daten für
+Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} lieferte, traten auch jeweils ein
+Sortiernetzwerk mit 121 und 124~Komparatoren auf. Da Sortiernetzwerke mit so
+vielen Komparatoren im Verlauf des Experiments selbst nach über 100~Millionen
+Iterationen nicht noch einmal erzeugt wurden, handelt es sich vermutlich um
+ein Phänomen, das mit der Initialisierung mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk zusammenhängt.
+
+%\begin{figure}
+%  \begin{center}
+%  \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
+%  \end{center}
+%  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
+%  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+%  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
+%  \label{fig:markov-comparators-14}
+%\end{figure}
+%
+%\begin{figure}
+%  \begin{center}
+%  \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
+%  \end{center}
+%  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
+%  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+%  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
+%  \label{fig:markov-comparators-16}
+%\end{figure}
+%
+%\begin{figure}
+%  \begin{center}
+%  \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}
+%  \end{center}
+%  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen),
+%  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+%  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.}
+%  \label{fig:markov-comparators-18}
+%\end{figure}
+
+%\begin{figure}
+%  \begin{center}
+%  \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf}
+%  \end{center}
+%  \caption{Zyklen, die beim \textit{Random Walk} des
+%  \textsc{SN-Markov}-Algorithmus detektiert wurden. Auf der x-Achse sind die
+%  Anzahl der Schritte, die \textsc{SN-Markov} zurückgelegt hat, auf der
+%  y-Achse die Längen der gefundenen Zyklen aufgetragen. Das initiale
+%  Start-Sortiernetzwerk war $\operatorname{OET}(16)$.}
+%  \label{fig:markov-cycles-16}
+%\end{figure}
+

 
 

+\todo{Schreibe noch etwas zu …}

 \begin{itemize}
   \item Beste erreichte Netzwerke (gleich zu \emph{OE-Mergesort}).
   \item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke.
   \item Anzahl der Komparatoren und Anzahl der Schichten der durchlaufenen
     Netzwerke. (Abbildung~\ref{fig:markov-comparators-16})
 \begin{itemize}
   \item Beste erreichte Netzwerke (gleich zu \emph{OE-Mergesort}).
   \item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke.
   \item Anzahl der Komparatoren und Anzahl der Schichten der durchlaufenen
     Netzwerke. (Abbildung~\ref{fig:markov-comparators-16})

+  \item \textsc{SN-Count-Markov} (ggf)

 \end{itemize}
 
 \end{itemize}
 

-\begin{figure}
-  \begin{center}
-  \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}
-  \end{center}
-  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 12~Leitungen),
-  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
-  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 40)$ mit $k = 8,267$ und $\theta = 0,962$.}
-  \label{fig:markov-comparators-12}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-  \begin{center}
-  \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
-  \end{center}
-  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
-  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
-  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
-  \label{fig:markov-comparators-14}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-  \begin{center}
-  \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
-  \end{center}
-  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
-  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
-  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
-  \label{fig:markov-comparators-16}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-  \begin{center}
-  \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}
-  \end{center}
-  \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen),
-  die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
-  \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.}
-  \label{fig:markov-comparators-18}
-\end{figure}
-

 \newpage
 \newpage

-\section{Empirische Beobachtungen}
+\section{Fazit und Ausblick}

 
 

+\todo{Ausformulieren}

 \begin{itemize}
 \begin{itemize}

-\item So schnell konvergiert der Algorithmus.
-\item $\ldots$
+\item Mit \textsc{SN-Evolution} und \oem{n} kann man nicht besser werden als
+  \oes{n}.
+\item Mit \textsc{SN-Evolution} und \bm{n} kann man besser werden als \bs{n}.
+\item Vermutlich kann man mit \textsc{SN-Evolution} und \bm{n} so gut werden
+wie \textsc{SN-Evolution-Cut}, wenn er mit \bs{2n} gestartet wird.
+\item Leider sind keine konstruktiven Methoden erkannt worden.

 \end{itemize}
 
 \end{itemize}
 

-\newpage
-\section{Ausblick}
-
-Das würde mir noch einfallen$\ldots$
-
-- SN-Evolution mit Pairwise als „Mischer“.
-- Co-Evolution von Netzwerken und Schnittmustern.
+Die Möglichkeiten, die Evolutionäre Algorithmen bei der Optimierung von
+Sortiernetzwerken bieten, sind durch die in dieser Arbeit vorgestellten
+Herangehensweisen bei weitem nicht erschöpft.
+
+Im Folgenden werden Ansätze umrissen, mit denen an die Untersuchungen in
+dieser Arbeit nahtlos angeknöpft werden könnte.
+
+\subsection{Ausblick: Das \textit{Pairwise-Sorting}-Netzwerk und \textsc{SN-Evolution}}
+
+Die aktuelle Implementierung von \textsc{SN-Evolution}
+(Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution}) kann sowohl den \emph{bitonen Mischer} als
+auch den \emph{Odd-Even}-Mischer verwenden, um zwei Individuen zu
+rekombinieren. Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk verwendet zwar keinen
+Mischer, es ist aber ebenfalls rekursiv über kleinere Versionen von sich
+selbst definiert. Das heißt, dass \ps{n} aus zwei Instanzen von
+$\ps{\frac{n}{2}}$ und zusätzlichen Komparatoren besteht, die die Eingabe für
+die kleineren Sortiernetzwerke vorbereiten und anschließend für eine sortierte
+Ausgaben sorgen. Anstelle von $\ps{\frac{n}{2}}$ kann man natürlich beliebige
+Sortiernetzwerke mit $\frac{n}{2}$~Leitungen verwenden.
+
+Dies ließe sich für \textsc{SN-Evolution} nutzen, um zwei Individuen zu
+rekombinieren. Da es für das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk sehr viele
+\emph{unterscheidliche} Schnittmuster gibt
+(Abbschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster}), ist es möglich, dass die
+Verwendung dieser Rekombinationsmethode neue Ergebnisse ermöglicht. Leider
+wird die Aussicht auf Erfolg durch die Tatsache geschmälert, dass keine
+$n$-Schnittmuster für \ps{2n} gefunden werden konnten, die zu besseren
+$n$-Sortiernetzwerken als \ps{n} führen.
+
+\subsection{Ausblick: Kooperation von \textsc{SN-Evolution} und \textsc{SN-Evolution-Cut}}
+
+Ähnlich zu der parasitären \emph{Co-Evolution}, die \textit{W.~Daniel Hillis}
+in~\cite{H1992} beschreibt, könnte man die Algorithmen \textsc{SN-Evolution}
+und \textsc{SN-Evolution-Cut} versuchen zu kombinieren. Nach dem Zusammenfügen
+von zwei $n$-Sortiernetzwerken könnte der Algorithmus
+\textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise einen möglichst guten Schnitt für
+\emph{dieses} Netzwerk ermitteln. Da sich die Lösungen, die Evolutionäre
+Algorithmen in ihre Population aufnehmen, in den ersten Schritten rasch
+verbessern, könnten selbst weniger Iterationen von \textsc{SN-Evolution-Cut}
+die Zwischenlösungen von \textsc{SN-Evolution} deutlich verbessern.
+
+Alternativ könnte man -- analog zur Herangehensweise von \textit{Hillis} --
+eine zweite Population von Schnittmustern evolvieren, die für die
+Sortiernetzwerke in der Population von \textsc{SN-Evolution} besonders gut
+funktionieren. In jeder Iteration wendet man alle oder eine zufällige Menge
+Schnittmuster auf das zusammengeführte Netzwerk an und gibt dem besten
+Ergebnis den Zuschlag. Anschließend erfährt das entsprechende Schnittmuster
+eine Aufwertung, so dass es wahrscheinlicher wird, dass \emph{dieses}
+Schnittmuster zur nächten Generation beiträgt. Im Gegensatz zum Ansatz der
+parasitären Eingaben entsteht eine \emph{Synergie} zweier Populationen, die
+das Gesamtergebnis oder zumindest die Konvergenzgeschwindigkeit verbessern
+könnte.

 
 \newpage
 \section{Implementierung}
 
 \newpage
 \section{Implementierung}


@@ -1806,7 +1911,7 @@ Beispielsweise eine \emph{normalisierte} Variante des \emph{bitonen
 Mergesort}-Netzwerks \bs{18} zu erzeugen, kann folgendes Kommando verwendet
 werden:
 \begin{verbatim}
 Mergesort}-Netzwerks \bs{18} zu erzeugen, kann folgendes Kommando verwendet
 werden:
 \begin{verbatim}

-$ sn-bitonicsort 18 | sn-normalize >sn-18
+  $ sn-bitonicsort 18 | sn-normalize >sn-18

 \end{verbatim}
 Dieses Prinzip, kleine Programme \emph{eine} Aufgabe erledigen zu lassen und
 es einfach zu ermöglichen, Programme zu verketten, ist eines der
 \end{verbatim}
 Dieses Prinzip, kleine Programme \emph{eine} Aufgabe erledigen zu lassen und
 es einfach zu ermöglichen, Programme zu verketten, ist eines der