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\usepackage{mathtools}
-\geometry{paper=a4paper,margin=25mm}
+\geometry{paper=a4paper,margin=30mm}
\pagestyle{fancy}
%\fancyhf{}
ausgegeben.
Wenn man nun mehrere {\em Komparatoren} miteinander kombiniert, also die
-Ausgänge von {\em Komparatoren} mit dem Eingängen anderer {\em Komparatoren}
-verbindet, erhält man ein {\em Komparatornetzwerk}.
+Ausgänge von Komparatoren mit dem Eingängen anderer Komparatoren verbindet,
+erhält man ein {\em Komparatornetzwerk}.
\begin{figure}
\begin{center}
kleinere Zahl immer auf der Leitung, auf die der Pfeil zeigt, die größere Zahl
befindet sich auf der Leitung auf der der Pfeil seinen Ursprung hat.
+Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
+gleichzeitig angewandt werden. Das Beispiel in
+Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} verwendet diesen Umstand und
+vergleicht in einem ersten Schritt die zwei oberen und die zwei unteren
+Leitungen gleichzeitig. Eine Gruppe von Komparatoren, die gleichzeitig
+angewendet werden können, nennt man eine \emph{Schicht} des
+Komparatornetwerks. Die \emph{Verzögerung} eines Komparatornetzwerks ist
+gleichbedeutend mit der Anzahl der Schichten, in die sich die Komparatoren
+mindestens gruppieren lassen, da sie die Anzahl der benötigten parallelen
+Schritte darstellt.
+
Komparatornetzwerke, die für jede beliebige Eingabepermutation eine
Ausgabe erzeugen, die der Sortierung der Eingabe entspricht, heißen
{\em Sortiernetzwerke}. Das in
zerstört.
Zu beweisen, dass ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft
-{\em nicht} hat, ist mit einem gegebenen Gegenbeispiel also einfach möglich.
+{\em nicht} hat, ist mit einem gegebenen Gegenbeispiel einfach möglich.
Dieses Gegenbeispiel zu finden ist allerdings aufwendig.
\todo{Wie findet man die Gegenbeispiele? Die {\em Entscheidung}, ob ein
Um zu überprüfen, ob ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft
besetzt, müssen nicht alle $n!$ Permutationen von $n$~unterschiedlichen Zahlen
ausprobieren. Stattdessen reicht es zu überprüfen, dass das Netzwerk alle
-$2^n$~${0-1}$-Folgen sortiert.
+$2^n$~0-1-Folgen sortiert.
Sortiernetzwerke:
\begin{itemize}
Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
-\subsection{Odd-Even-Transpositionsort}
+\subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
\label{sect:odd_even_transpositionsort}
Das Sortiernetzwerk {\em Odd-Even-Transpositionsort} (OET) ist eines der
einfachsten Sortiernetzwerke. Es besteht aus $n$~{\em Schichten}, die jede
"`Leitung"' abwechselnd mit den benachbarten Leitungen verbindet.
-Abbildung~\ref{fig:odd_even_transposition_08} zeigt das OET-Netzwerk für
+Abbildung~\ref{fig:odd-even-transposition-08} zeigt das OET-Netzwerk für
${n = 8}$ Leitungen.
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/oe-transposition-8.tex}
-\end{center}
-\caption{Das {\em Odd-Even-Transpositionsort} Netzwerk für acht Eingänge.}
-\label{fig:odd_even_transposition_08}
+ \begin{center}
+ \input{images/oe-transposition-8.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit acht Eingängen.}
+ \label{fig:odd-even-transposition-08}
\end{figure}
-\subsection{Batcher's Mergesort}
+Dass das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk tatsächlich jede beliegibe
+Eingabe sortiert ist nicht offensichtlich. Leicht zu sehen ist jedoch, dass
+sowohl das Minimum als auch das Maximum durch das im Netzwerk enthaltene
+Treppenmuster auf die unterste beziehungsweise oberste Leitung gelangt. Beim
+Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk mit drei Eingängen,
+$\operatorname{OET}(3)$, ist die Ausgabe folglich sortiert.
+
+Die Sortiereigenschaft größerer OET-Netzwerke lässt sich rekursiv beweisen,
+indem man $\operatorname{OET}(n)$ auf $\operatorname{OET}(n-1)$ durch
+Herausschneiden einer Leitung reduziert. In
+Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} wird das Vorgehen im Detail
+beschrieben, Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut} zeigt das
+Herausschneiden einer Leitung aus $\operatorname{OET}(8)$.
+
+Das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk ist weder in Bezug auf die Anzahl der
+Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen sich die
+Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt
+${\frac12 n (n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten
+angeordnet sind. Andere Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger
+Komparatoren, beispielsweise $\mathcal{O}(n (\log n)^2)$, die in weniger
+Schichten, zum Beispiel $\mathcal{O}(\log n)$, angeordnet sind.
+
+Das Interessante am OET-Netzwerk ist seine einfache Konstruktion. Einige der
+folgenden Algorithmen benötigen ein (einfaches) Sortiernetzwerk als
+Starteingabe, auf dessen Basis sie versuchen optimierte Sortiernetzwerke zu
+finden. Häufig dient $\operatorname{OET}(n)$ als Eingabe für diese
+Algorithmen.
+
+\subsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
+
+Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk ($\operatorname{BS}(n)$) ist ein
+Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{K.~E.~Batcher} veröffentlicht wurde. Es
+ist deutlich effizienter als das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk -- sowohl
+in Bezug auf die Anzahl der Komparatoren als auch bezüglich der benötigten
+Zeit, also der Anzahl der Schichten.
+
+Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
+sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
+\emph{„bitoner Mischer“} (englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein
+verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
+
+Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
+Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl eine Zweierpotenz ist,
+$\operatorname{BS}(n = 2^t)$.
Ein Netzwerk von K.~E.~Batcher. Siehe:
K.E. Batcher: Sorting Networks and their Applications. Proc. AFIPS Spring
\subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
-Das Netzwerk basiert auf dem {\em bitonen Mischer}, einem Komparator-Netzwerk,
-das eine beliebige bitone Folge in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine
-{\em bitone Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton
-fallenden Folge, oder ein zyklischer Shift davon.
-Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton} zeigt die vier prinipiellen Möglichkeiten
-die durch zyklische Shifts entstehen können. Die wichtigsten Varianten für
-Batcher's Mergesort-Netzwerk zeigen die Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0}
+Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
+Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine beliebige
+\emph{bitone Folge} in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine \emph{bitone
+Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton absteigenden
+Folge, oder ein zyklischer Shift davon. Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton}
+zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten die durch zyklische Shifts
+entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das \emph{bitone
+Mergesort-Netzwerk} zeigen die Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0}
und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie erhält man, wenn man eine aufsteigend und
-eine absteigend sortierte Liste aneinanderhängt. Bei den
-anderen beiden Formen ist wichtig zu beachten, dass das letzte Element nicht
-größer (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. kleiner
+eine absteigend sortierte Liste aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen
+ist wichtig zu beachten, dass das letzte Element nicht größer
+(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. kleiner
(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge sein
darf.
> v_{j+1}$. Es werden also alle Elemente $u_k$ und $v_k$ mit $k \geqq j$
vertauscht. $j = m$ bezeichnet den Fall, in dem das größte Element der
"`linken"' Folge, $u_{m-1}$, kleiner ist als das kleinste Element der
-"`rechten"' Folge, $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass die entstehende Folge aus
-zwei bitonen Folgen besteht, die rekursiv zusammengeführt werden können.
-Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal} zeigt die Situationen vor und nach
-diesem Schritt des Mischers.
-
-Mit dem bitonen Mischer auch zwei aufsteigend sortierte Folgen sortiert
-werden. Dazu ist lediglich das "`Umbenennen"' der Leitungen notwendig.
-Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das Schema des bitonen
-Mischers für zwei aufsteigend sortierte Foglen. Durch das Umbenennen verändert
-sich das Muster der Komparatoren ein wenig: Statt an eine Treppe erinnert das
-Muster nun an einen Trichter.
-
-\subsubsection{Batcher's Bitonic-Mergesort-Netzwerk}
+"`rechten"' Folge, $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass das Resultat in zwei bitone
+Folgen aufteilen lässt: Eine aufsteigende~/ absteigende Folge und eine
+absteigende~/ aufsteigende Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}
+zeigt die Situationen vor und nach diesem Schritt des Mischers.
+
+Um die Folge vollständig zu sortieren, müssen anschließend die beiden
+resultierenden bitonen Folgen sortiert werden. Die geschieht ebenfalls
+mithilfe des bitonen Mischers, mit zwei Instanzen von
+$\operatorname{BM}(\frac{n}{2})$. Diese rekursive Definition endet mit dem
+bitonen Mischer mit zwei Leitungen, $\operatorname{BM}(2)$, der als
+Komparator-Netzwerk mit einem Komparator zwischen den beiden Leitungen
+definiert ist.
+
+Der bitonen Mischer kann auch zwei aufsteigende Folgen sortieren. Dazu ist
+lediglich eine etwas modifizierte Vergleichs-Kaskade im ersten Schritt
+notwendig. Die folgenden, kleineren Mischer erhalten als Eingabe wieder eine
+„echte“ bitone Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das
+Schema des bitonen Mischers für zwei aufsteigend sortierte Foglen. Durch das
+Umdrehen einer Folge verändert sich das Muster der Komparatoren ein wenig:
+Statt an eine Treppe erinnert das Muster nun an einen Trichter.
+
+Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet
+die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden
+$\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus
+$\frac{1}{2} n \log(n) = \mathcal{O}\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
+besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können.
+
+\subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
+
+Ebenso wie der bitone Mischer $\operatorname{BM}(n)$ ist auch das \emph{bitone
+Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(n)$ rekursiv definiert. Es setzt sich
+zusammen aus zwei Instanzen des bitonen Mergesort-Netzwerks halber Größe,
+$\operatorname{BS}(\frac{n}{2})$, für je die Hälfte der Eingänge, sowie dem
+bitonen Mischer für $n$~Leitungen, $\operatorname{BM}(n)$. Das Rekursionsende
+ist das bitone Mergesort-Netzwerk mit nur einer Leitung,
+$\operatorname{BS}(1)$, welches als leeres Komparatornetzwerk definiert ist.
+Entsprechend sind die Komparatornetzwerke $\operatorname{BM}(2)$ und
+$\operatorname{BS}(2)$ identisch.
+
+Bei der Konstruktion kommt die trichterförmige Anordnung der Komparatoren
+(Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter}) gelegen, weil so die beiden
+rekursiven Sortiernetzwerke in die gleiche Richtung sortieren können und so
+alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen.
-Das Sortiernetzwerk $S(n)$ mit $n$~Eingängen besteht aus zwei Instanzen von
-$S(\frac{n}{2})$, dem Netzwerk mit $\frac{n}{2}$~Eingängen und dem bitonen
-Mischer~$M(n)$. Die Rekursion bricht bei ${n = 1}$~ab --~eine einelementige
-Liste ist immer sortiert.
-Das konkrete Netzwerk~$S(8)$ ist in Abbildung~\ref{fig:batcher_08} zu sehen.
-Eingezeichnet sind ebenfalls die beiden Instanzen des Netzwerks~$S(4)$ (rot)
-sowie der bitone Mischer~$M(8)$ (blau).
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/batcher-8.tex}
+ \end{center}
+ \caption{$S(8)$, Batcher's {\em bitone Mergesort-Netzwerk} für acht
+ Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von $S(4)$ (rot), die beiden
+ bitonen Mischer~$M(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven
+ Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
+ \label{fig:batcher_08}
+\end{figure}
+Das konkrete Netzwerk~$\operatorname{BS}(8)$ ist in
+Abbildung~\ref{fig:batcher_08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
+beiden Instanzen des Netzwerks~$\operatorname{BS}(4)$ (rot) sowie der bitone
+Mischer~$\operatorname{BM}(8)$ (blau). Die trichterförmige Komparator-Kaskade,
+die die bitone Eingabefolge in zwei bitone Ausgabefolgen transformiert, ist
+grün hinterlegt.
+Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(8)$ besteht aus
+$\frac{1}{4} n \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}\left(n (log (n))^2\right)$
+Komparatoren, die in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$
+Schichten angeordnet sind.
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\label{fig:bms_rekursiver_aufbau}
%\end{figure}
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/batcher-8.tex}
- \end{center}
- \caption{$S(8)$, Batcher's {\em bitone Mergesort-Netzwerk} für acht
- Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von $S(4)$ (rot), die beiden
- bitonen Mischer~$M(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven
- Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
- \label{fig:batcher_08}
-\end{figure}
-
-\subsection{Odd-Even-Mergesort}
+\subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-Obwohl der Name ähnlich klingt, haben {\em Odd-Even-Mergesort} (OEM) und
-{\em Odd-Even-Transpositionsort} (OET, siehe
-Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Auch dieses
-Netzwerk ist von K.~Batcher gefunden worden und wird rekursiv durch einen
-"`Mischer"' definiert.
+Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+(OES) und das \emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} (siehe
+Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Vielmehr ist
+OES dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}, das im vorherigen Abschnitt
+vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
+\textit{K.~Batcher} gefunden worden und wird rekursiv durch einen Mischer
+definiert.
\subsubsection{Der Odd-Even-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}
-Der {\em Odd-Even-Mischer} ist ein Komperatornetzwerk, dass zwei sortierte
-Folgen zu einer sortierten Ausgabe zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit
-weniger Vergleichen aus als der {\em bitone Mischer}, der im
-Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer} vorgestellt wurde.
+Der \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(n,m)$ ist ein
+Komperatornetzwerk, dass zwei sortierte Folgen mit $n$ beziehungsweise $m$
+Elementen zu einer sortierten Ausgabefolge mit $N = n+m$~Elementen
+zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
+\emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}
+vorgestellt wurde. Allerdings benötigt der \emph{Odd-Even-Mischer} unter
+Umständen mehr Schichten als der \emph{bitone Mischer}.\footnote{Knuth,
+“Bitonic Sorting”, Seite~230}
-Der {\em Odd-Even-Mischer} selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
+Der \emph{Odd-Even-Mischer} selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
sortierten Folgen $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}\right)$ und
$V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die gesamte Eingabe sei
\label{fig:oe-merge}
\end{figure}
-Diese werden jetzt in insgesamt vier sortierte Folgen aufgeteilt, je eine
-Liste der geraden Indizes und je eine Liste der ungeraden Indizes.
+Diese werden in insgesamt vier sortierte Folgen aufgeteilt, je eine Liste der
+geraden Indizes und je eine Liste der ungeraden Indizes.
\begin{eqnarray}
U_{\textrm{gerade}} &=& \left(u_0, u_2, u_4, \ldots\right) \\
U_{\textrm{ungerade}} &=& \left(u_1, u_3, u_5, \ldots\right) \\
\end{itemize}
Dass die resultierende Folge sortiert ist, lässt sich mit dem
-{\em 0-1-Prinzip} leicht zeigen:
+{\em 0-1-Prinzip} zeigen:
Da $U$ und $V$ sortiert sind, ist die Anzahl der Nullen in den geraden
Teilfolgen, $U_{\textrm{gerade}}$ bzw. $V_{\textrm{gerade}}$, größer oder
gleich der Anzahl der Nullen in den ungeraden Teilfolgen
Daraus folgt, dass $W_{\textrm{gerade}}$ $0$, $1$ oder $2$ Nullen mehr enthält
als $W_{\textrm{ungerade}}$. In den ersten beiden Fällen ist die "`verzahnte"'
Ausgabe der beiden kleineren Mischer bereits sortiert. Nur im letzten Fall,
-wenn $W_{\textrm{gerade}}$ $2$~Nullen mehr enthählt als
-$W_{\textrm{ungerade}}$, muss eine Vertauschung stattfinden, um die Ausgabe zu
-sortieren. Die jeweiligen Situationen sind in
-Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
+wenn $W_{\textrm{gerade}}$ zwei Nullen mehr enthählt als
+$W_{\textrm{ungerade}}$, muss genau eine Vertauschung stattfinden, um die
+Ausgabe zu sortieren. Diese wird von den Komparatoren, die benachbarte
+Leitungen miteinander vergleichen, ausgeführt. Die jeweiligen Situationen sind
+in Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
\begin{figure}
\centering
\label{fig:oe-post-recursive}
\end{figure}
+Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden,
+bricht die Rekursion nach $\mathcal{O}\left(\log (n) + \log (m)\right)$
+Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit
+Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der Längeren der beiden
+Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$.
+
+Die Anzahl der Komparatoren $K(n,m)$, die $\operatorname{OEM}(n,m)$ im
+allgemeinen Fall verwendet, ist Gemäß der rekursiven Definition in
+Abhängigkeit der Länge der Eingabefolgen, $n$ und $m$:
+\begin{displaymath}
+ K(n,m) = \left\{ \begin{array}{ll}
+ nm, & \mathrm{falls} \quad nm \leqq 1 \\
+ K\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil, \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil\right)
+ + K\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor\right)
+ + \left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor & \mathrm{falls} \quad nm > 1
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form
+anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
+dass $K(n,m)$ in $\mathcal{O}(N \log (N))$ enthalten ist.
+
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$, lässt sich die Anzahl
+der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der erste
+Rekursionsschritt der OEM-Konstruktion fügt
+$\left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor = \frac{N}{2} - 1$
+Komparatoren ein -- einen Komparator weniger als der \emph{bitone Mischer} in
+diesem Schritt. Das selbe gilt für die rekursiv verwendeten kleineren Mischer,
+$\operatorname{OEM}(\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$ und so weiter bis
+einschließlich $\operatorname{OEM}(2, 2)$, von denen es $2, 4, \dots,
+\frac{N}{4} = 2^{\log(N)-2}$ Instanzen gibt. Insgesamt werden
+\begin{displaymath}
+ \sum_{i=0}^{\log(N)-2} 2^i = 2^{\log(N) - 1} - 1 = \frac{N}{2} - 1 = n - 1
+\end{displaymath}
+Komparatoren eingespart. Damit ergibt sich
+\begin{displaymath}
+ K\left(n = 2^{t-1}, n = 2^{t-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1
+\end{displaymath}
+für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^t)$
+benötigt werden.
+
\subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-Auch beim \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} --~wie beim \emph{bitonen
-Mergesort-Netzwerk}~-- entsteht das Sortiernetzwerk aus dem {\em
-Odd-Even-Mischer} durch rekursives Anwenden auf einen Teil der Eingabe
-(üblicherweise die Hälfte der Leitungen) und anschließendes zusammenfügen.
-Abbildung~\ref{fig:odd_even_mergesort_08} zeigt das Netzwerk für $8$~Eingänge.
+Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht, --~wie
+das \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
+sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even-Mischer}. Die
+effizientesten Sortiernetzwerke in Bezuf auf Komparator- und Schichtzahl
+entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
+$\operatorname{OES}(n)$ aus
+$\operatorname{OES}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)$,
+$\operatorname{OES}\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$
+und $\operatorname{OEM}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil,
+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$. Die Rekursion endet mit
+$\operatorname{OES}(1)$ und $\operatorname{OES}(0)$, die als leere
+Komparatornetzwerke definiert sind.
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/oe-mergesort-8.tex}
-\end{center}
-\caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge.}
-\label{fig:odd_even_mergesort_08}
+ \begin{center}
+ \input{images/oe-mergesort-8.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge. Markiert
+ sind die Instanzen von $\operatorname{OES}(4)$ (rot), die beiden
+ \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(4)$ für gerade und ungerade
+ Leitungen (blau) und die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügten
+ Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen (grün).}
+ \label{fig:odd-even-mergesort-08}
\end{figure}
-\begin{itemize}
-\item Odd-Even-Transpositionsort
-\item Bitonic-Mergesort
-\item Odd-Even-Mergesort
-\item Pairwise sorting-network
-\end{itemize}
+In Abbildung~\ref{fig:odd-even-mergesort-08} ist das konkrete Sortiernetzwerk
+$\operatorname{OES}(8)$ zu sehen. Rot markiert sind die beiden rekursiven
+Instanzen $\operatorname{OES}(4)$. Die blauen und der grüne Block stellen den
+\emph{Odd-Even-Mischer} für acht Leitungen dar: Die beiden blauen Blöcke sind
+die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
+die Komparatoren, die in ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
+
+Im Allgemeinen ist die Anzahl der Komparatoren, die vom
+\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} verwendet wird, $k(n)$, direkt aus der
+Definition beziehungsweise der Konstruktionsanleitung abzulesen:
+\begin{displaymath}
+ k(n) = k\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)
+ + k\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
+ + K\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil, \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
+\end{displaymath}
+Eine geschlossene Form dieser Formel ist schon alleine deshalb schwierig, weil
+sie für $K(n,m)$ schwierig anzugeben ist. Es ist allerdings bekannt, dass
+$k(n)$ in $\mathcal{O}\left(n \left(\log (n)\right)^2\right)$ enthalten ist.
+
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist, kann die
+Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{K.~Batcher}
+zeigt in seiner Arbeit\footnote{\todo{Referenz!}}, dass in diesem Fall
+\begin{displaymath}
+ k(n = 2^t) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1
+\end{displaymath}
+gilt.
+
+% gnuplot:
+% oem(n,m) = ((n*m) <= 1) ? (n*m) : oem(ceil(.5*n), ceil(.5*m)) + oem(floor(.5*n), floor(.5*m)) + floor(.5*(n+m-1.0))
+% oem1(n) = oem(ceil(.5*n),floor(.5*n))
+% oes(n) = (n <= 1.0) ? 0 : oes(ceil(0.5*n)) + oes(floor(0.5*n)) + oem1(n)
+
+%\begin{itemize}
+%\item Pairwise sorting-network
+%\end{itemize}
\section{Transformation von Sortiernetzwerken}
-\begin{itemize}
-\item Komprimieren (Alle Komparatoren so früh wie möglich anwenden).
-\item Normalisieren (Transformation zu Standard-Sortiernetzwerken).
-\end{itemize}
+\subsection{Komprimieren}
+
+\todo{Aus theoretischer Sicht eigentlich eine Trivialität. Rausschmeißen?}
+
+Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
+gleichzeitig ausgewertet werden, wie bereits in
+Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} beschrieben. Unter
+\emph{Komprimieren} wird eine (Neu-)Gruppierung in die kleinstmögliche Anzahl
+von \emph{Schichten} verstanden.
+
+Diese Anzahl ist insbesondere beim automatisierten Bewerten von
+Komparatornetzwerken interessant. \dots
+
+\subsection{Normalisieren}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[$S(8)$ (nach Konstruktion)]{\input{images/batcher-8-nonstd.tex}\label{fig:bitonic-nonstd}}
+ \subfigure[$S(8)$ (normalisiert)]{\input{images/batcher-8-std.tex}\label{fig:bitonic-std}}
+ \caption{Jedes Sortiernetzwerk kann in ein Standard-Sortiernetzwerk
+ transformiert werden. Gezeigt ist das bitone Sortiernetzwerk nach der
+ intuitiven Konstruktion und die normalisierte Variante.}
+ \label{fig:beispiel_normalisieren}
+\end{figure}
+
+Ein \emph{Standard-Sortiernetzwerk} oder \emph{normalisiertes Sortiernetzwerk}
+ist ein Sortiernetzwerk, dessen Komparatoren alle in die selbe Richtung
+zeigen. Jedes Sortiernetzwerk kann in eine normaliesierte Variante
+transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise \emph{Knuth} (\todo{Verweis})
+einen Algorithmus an.
+
+Abbildung~\ref{fig:beispiel_normalisieren} zeigt das das
+bitone Sortiernetzwerk in zwei Varianten. Abbildung~\ref{fig:bitonic-nonstd}
+zeigt das Netzwerk nach der Konstruktionsvorschrift, siehe auch
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}: In den ersten drei Schichten werden
+die unter und die obere Hälfte gegenläufig sortiert. Das heißt dass nach drei
+Schritten die eine Hälfte auf- und die andere Hälfte absteigend sortiert ist.
+In den Schichten~4 bis~6 folgt der bitone Mischer entsprechend der rekursiven
+Definition.
+
+In Abbildung~\ref{fig:bitonic-std} ist die normalisierte Version des bitonen
+Mergesort-Netzwerks zu sehen. Alle Komparatoren zeigen hier in die gleiche
+Richtung. Statt dem typischen "`Treppenmuster"' sind abwechselnd das Treppen-
+und das Trichtermuster zu sehen.
\subsection{Zwei Netzwerke kombinieren}
\subsection{Leitungen entfernen}\label{sect:leitungen_entfernen}
+Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass es mithilfe von
+\emph{Mischern} möglich ist, aus zwei Sortiernetzwerken mit je $n$~Eingängen
+ein neues Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen zu erzeugen. Für einen
+beabsichtigen \emph{evolutionären Algorithmus} ist es jedoch notwendig, dass
+sich die Anzahl der Eingänge nicht verändert. Das heißt, dass wir wieder ein
+Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen erhalten müssen.
+
Man kann ein gegebenes Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen auf ein
Sortiernetzwerk mit $(n-1)$~Leitungen verkleinern, indem man eine Leitung
-entfernt. Zunächst wird angenommen, dass das Minimum oder das Maximum an einem
-der Eingänge anliegt. Der Weg durch das Netzwerk zum entsprechenden Ausgang
-ist dadurch fest vorgegeben, insbesondere welche Komparatoren dafür sorgen,
-dass die Leitung gewechselt wird und welche nicht.
+„eliminiert“. Dazu nehmen wir an, dass das Minimum oder das Maximum an einem
+bestimmten Eingang anliegt. Der Weg, den das Minimum beziehungsweise das Maxim
+durch das Sortiernetzwerk nimmt, ist eindeutig bestimmt und endet an einem der
+„Ränder“, also auf der Leitung mit dem höchsten oder dem niedrigsten Index.
+Insbesondere ist bekannt, welche Komparatoren „berührt“ werden und welche
+dafür sorgen, dass der Wert die Leitung gewechselt, da das Minimum jeden
+Vergleich „verliert“ und das Maximum jeden Vergleich „gewinnt“. Die
Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} zeigt den Weg eines Maximums durch
das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}.
-Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht bzw.
-ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der Leitung geführt
-haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in
-Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} grün markiert. Die Komparatoren, die
-zum Wechsel der Leitung geführt haben, werden durch sich kreuzende Leitungen
-ersetzt. Das Resultat zeigt Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut1}. Wenn
-man die Maximum-Leitung entfernt (Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2}),
-erhält man ein Sortiernetzwerk für $(n-1)$~Leitungen.
-
\begin{figure}
\centering
\subfigure[foo]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}}
letzten Abbildung ist $\textrm{OET}(7)$ markiert.}
\end{figure}
+Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht bzw.
+ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der Leitung geführt
+haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in
+Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} grün markiert. Die Komparatoren, die
+zum Wechsel der Leitung geführt haben, werden durch sich kreuzende Leitungen
+ersetzt. Das Resultat ist eine Leitung, auf der das Minimum beziehungsweise
+das Maximum angenommen wird, die an unterster oder oberster Stelle endet und
+auf die keine Komparatoren mehr berührt
+(Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut1}).
+
+Die Werte auf den verbleibenden $(n-1)$~Leitungen müssen vom restlichen
+Komparatornetzwerk immernoch sortiert werden: Wir haben lediglich die Position
+des Minimums oder des Maximums angenommen. Ein Sortiernetzwerk muss die
+Eingabe sortieren, egal auf welcher Leitung das Minimum~/ das Maximum liegt.
+Wir haben lediglich angefangen, das Sortiernetzwerk unter diese Annahme
+auszuwerten -- über die verbleibenden Eingänge haben wir keine Aussage
+getroffen. Entsprechend müssen die verbleibenden Ausgänge eine sortierte Liste
+mit $(n-1)$~Elementen darstellen.
+
+Wenn wir die Minimum- beziehungsweise Maximum-Leitung entfernen
+(Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2}), bleibt das Sortiernetzwerk für
+$(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung ein Minimum oder ein
+Maximum angenommen wird, bezeichnen wir das eliminieren einer Leitung als
+\emph{Minimum-Schnitt} beziehungsweise \emph{Maximum-Schnitt}.
+
Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das
Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot
markierten Komparatoren wurden verschoben, so dass sich eine kompaktere
zusätzliche Komparator vor dem $\textrm{OET}(7)$ hat keinen Einfluss auf die
Ausgabe und kann entfernt werden.
+Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem
+Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
+$n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können wir auf diese Art und
+Weise einen Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen wieder auf ein Sortiernetzwerk
+mit $n$~Eingängen reduzieren.
+
+Bei einem Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen gibt es $2n$~Möglichkeiten eine
+Leitung zu entfernen: Auf jeder der $n$~Leitungen kann sowohl das Minimum als
+auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um
+ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein $m$-Sortiernetzwerk zu reduzieren, ergeben
+sich insgesamt
+\begin{displaymath}
+ \prod_{i=n}^{m+1} 2i = 2^{n-m} \frac{n!}{m!}
+ \quad (n > m)
+\end{displaymath}
+Möglichkeiten. Diese Möglichkeiten sind nicht alle unterschiedlich. Legt man
+beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung und das Maximum auf die
+oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks, führen beide Reihenfolgen zum
+selben Ergebnis.
+
+\textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit (\todo{Referenz}), dass
+es möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise
+Maximum vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnitte
+reduziert, die Menge der erreichbaren Sortiernetzwerke bleibt aber
+unverändert. Die Anzahl der möglichen „Schnittmuster“ setzt sich zusammen aus
+der Anzahl von Möglichkeiten, $n-m$~Leitungen aus $n$ Leitungen auszuwählen,
+und die möglichen Minimum-~/ Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende
+Formel:
+\begin{displaymath}
+ 2^{n-m} \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ n-m \end{array} \right)
+ = 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{(n-m)! m!}
+ = 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{m!} \cdot \frac{1}{(n-m)!}
+ \quad (n > m)
+\end{displaymath}
+
+Die Anzahl der möglichen Schnitte wird mit der Anzahl der zu entfernenden
+Leitungen sehr schnell sehr groß. Um ein Sortiernetzwerk mit 32~Eingängen auf
+ein Sortiernetzwerk mit 16~Ein\-gängen zu reduzieren sind 16~Schnitte notwendig,
+für die es bereits etwa ${3,939 \cdot 10^{13}}$ Möglichkeiten gibt. Ein
+Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für große Netzwerke nicht oder nur unter
+erheblichem Ressourcenaufwand möglich.
+
+Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
+Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
+Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
+möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
+von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem
+Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
+gute Schnittmuster gesucht.
+
+Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die
+\emph{Schnitt-Sequenzen} als Individuen. Eine \emph{Schnitt-Sequenz} ist eine
+Liste mit $c$~Schnitten, die jeweils durch die Start-Leitung und die Richtung
+\textit{Min} beziehungsweise \textit{Max} gegeben ist. Der Algorithmus wendet
+jeden Schnitt einzeln an, so dass eine Leitungsnummer mehrfach in einer
+Schnittsequenz vorkommen kann. Die höchste zulässige Leitungsnummer ist
+abhängig von der Position des Schnitts in der Sequenz. Der Schnitt an
+Position~$i$ darf höchstens die Leitungsnummer~${n-i-1}$
+enthalten.\footnote{Die niedrigste Leitungsnummer ist $0$, die höchste
+Leitungsnummer eines $n$-Sortiernetzwerks ist $n-1$.}
+
+Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte der einen
+Schnitt-Sequenz verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte der zweiten
+Sequenz. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$.
+
+Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
+auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
+Schnitt-Richtung.
+
+In ihrer Arbeit \textit{“Improving Bitonic Sorting by Wire Elimination”}
+zeigen \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka}, wie man einen
+bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde, durch
+systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen Mischer mit
+der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer sparen im
+Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert werden,
+Komparatoren ein.
+
+Beispeilsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
+Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
+konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk benötigt 68~Komparatoren, 12~weniger
+als das bitone Mergesort-Netzwerk nach Batchers Methode. Gegenüber Batchers
+Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$
+Komparatoren ein.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-1277186619.tex}
+ \end{center}
+ \caption{{\tt images/16-ec-1277186619.tex}: Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen
+ und 68~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem
+ Algorithmus \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+ $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-1277186619}
+\end{figure}
+
+Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+$\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
+Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
+16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-1277186619} zu sehen.
+
\begin{itemize}
-\item Min-Richtung
-\item Max-Richtung
+ \item Beispiel: Moritz und Rolfs Optimierung für Bitonic-Sort.
+ \item Wie gut kann man durch wegschneiden werden?
+ \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk?
+ \item Abschnitt „Optimierung der Schnitte“ hier einbauen.
\end{itemize}
\section{Der evolutionäre Ansatz}
Um einen evolutionären Algorithmus für Sortiernetzwerke zu entwickeln, werden
die vorgestellten Methoden kombiniert.
-\subsection{Bewertungsfunktion}
+\subsection{Bewertungsfunktion}\label{sect:bewertung}
Um Sortiernetzwerke überhaupt optimieren zu können, muss zunächst die
{\em Güte} eines Netzwerkes definiert werden. Prinzipiell gibt es zwei Ziele,
\label{fig:10-e2-1239014566}
\end{figure}
-% ============
-
-\section{Shmoo-Äquivalenz}
-
-Die folgenden 16-Eingang-Sortiernetzwerke wurden alle mit dem
-\emph{Algorithmus~1} gefunden. Sie haben alle 63~Komparatoren in 10~Schichten,
-jeweils die selbe Anzahl wie Odd-Even-Mergesort.
-
-Um wiederkehrende Muster in den hinteren Schichten der erzeugten
-Sortiernetzwerke besser untersuchen zu können, wurden die erzeugten Netzwerke
-in Gruppen aufgeteilt. Zwei Netzwerke befinden sich dann in der selben
-Gruppen, wenn die Nullen bzw. Einsen, die auf einer Leitung vorkommen können,
-nach der 5.~Schicht (Schicht~4, da bei Null mit dem Zählen begonnen wird)
-nicht mehr ändert. Das heißt, dass die Schichten 0--4 unterschiedlich
-aufgebaut sind, aber den selben Effekt erziehlen. Die Schichten 5--9 sind
-hingegen innerhalb einer Gruppe austauschbar und oft (immer?) identisch.
-
-Die Anzahl der Netzwerke in den jeweiligen Gruppen ist unterschiedlich. Zur
-Zeit sind in den Gruppen so viele Netzwerke:\\
-\begin{tabular}{|l|r|r|} \hline
-Gruppe~0 & 18 & $48,7\%$ \\
-Gruppe~1 & 9 & $24,3\%$ \\
-Gruppe~2 & 6 & $16,2\%$ \\
-Gruppe~3 & 3 & $8,1\%$ \\
-Gruppe~4 & 1 & $2,7\%$ \\ \hline
-\end{tabular}
-
-Die hinteren Schichten zwischen den Gruppen~1 und~3 schauen so aus, als wären
-sie nur gespiegelt. Warum kommt Gruppe~1 aber viel häufiger vor? Ggf. eine
-Konsequenz aus dem Normieren?
-
-Dito für die Gruppen~2 und~4. Warum ist die eine häufiger?
-
-Ist Gruppe~0 symmetrisch bzgl. der Leitungen?
-
-% Gruppe 0
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group0/16-e1-1258009316.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1258009316.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258009316}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group0/16-e1-1258010866.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1258010866.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258010866}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group0/16-e1-1258011861.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1258011861.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258011861}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group0/16-e1-1259060992.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1259060992.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1259060992}
-\end{figure}
-
-%\begin{figure}
-%\begin{center}
-%\input{images/16-e1/group0/16-e1-1259061148.tex}
-%\end{center}
-%\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1259061148.tex}: 63~Komparatoren in
-%10~Schichten.}
-%\label{fig:16-e1-1259061148}
-%\end{figure}
-
-% Gruppe 1
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258009982.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258009982.tex}: 63~Komparatoren in 10~Schichten.
-Schichten 4--9 identisch zu 16-e1-1258030047 (Gruppe~1).}
-\label{fig:16-e1-1258009982}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258010023.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258010023.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258010023}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258029734.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258029734.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258029734}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258030047.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258030047.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258030047}
-\end{figure}
-
-%\begin{figure}
-%\begin{center}
-%\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258034768.tex}
-%\end{center}
-%\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258034768.tex}: 63~Komparatoren in
-%10~Schichten.}
-%\label{fig:16-e1-1258034768}
-%\end{figure}
-
-% Gruppe 2
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group2/16-e1-1258029063.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1258029063.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258029063}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group2/16-e1-1258034821.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1258034821.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258034821}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group2/16-e1-1259054993.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1259054993.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1259054993}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group2/16-e1-1259058588.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1259058588.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1259058588}
-\end{figure}
-
-%\begin{figure}
-%\begin{center}
-%\input{images/16-e1/group2/16-e1-1259063485.tex}
-%\end{center}
-%\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1259063485.tex}: 63~Komparatoren in
-%10~Schichten.}
-%\label{fig:16-e1-1259063485}
-%\end{figure}
-
-%\begin{figure}
-%\begin{center}
-%\input{images/16-e1/group2/16-e1-1259063618.tex}
-%\end{center}
-%\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1259063618.tex}: 63~Komparatoren in
-%10~Schichten.}
-%\label{fig:16-e1-1259063618}
-%\end{figure}
-
-% Gruppe 3
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group3/16-e1-1258012027.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group3/16-e1-1258012027.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258012027}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group3/16-e1-1258037039.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group3/16-e1-1258037039.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1258037039}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group3/16-e1-1259065042.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group3/16-e1-1259065042.tex}: 63~Komparatoren in
-10~Schichten.}
-\label{fig:16-e1-1259065042}
-\end{figure}
-
-% Gruppe 4
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group4/16-e1-1259060520.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group4/16-e1-1259060520.tex}: 63~Komparatoren in 10~Schichten.
-(Gruppe~4).}
-\label{fig:16-e1-1259060520}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-e1/group4/16-e1-1259067171.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-e1/group4/16-e1-1259067171.tex}: 63~Komparatoren in 10~Schichten.
-(Gruppe~4).}
-\label{fig:16-e1-1259067171}
-\end{figure}
-
\subsection{Güte}
\begin{itemize}
\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \em{Mischer} ab.
\end{itemize}
-\subsection{Vom evolutionären Algorithmus zu einer Markov-Kette}
+\section{Markov-Kette}
+
+Der evolutionäre Algorithmus aus dem vorherigen Abschnitt verwendete immer
+zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus einer Population. Da die
+beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt werden, kann es
+vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal verwendet und mit sich
+selbst kombiniert wird.
+
+Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, indem man \emph{immer} das
+aktuelle Netzwerk mit sich selbst kombiniert und anschließend die Hälfte aller
+Leitungen eliminiert, lassen sich einige interessante Beobachtungen anstellen.
+Netzwerke, die aus einem Netzwerk $S_0$ durch die beschriebene Kombination von
+$S_0$ mit sich selbst und anschließendem Eliminieren der Hälfte der Leitungen
+hervorgehen können, heißen \emph{Nachfolger} von $S_0$.
+
+Beim beschriebenen Vorgehen kann man die Sortiernetzwerke als Knoten in einem
+gerichteten Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
+Sortiernetzwerke $S_0$ und $S_1$ repräsentieren, sind genau dann mit einer
+Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von $S_0$
+ist, das heißt dass man $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
+selbst erzeugen kann.
+
+Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Graph einen zufälligen Weg
+(englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem gegebenen
+Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu gelangen
+rekombiniert er das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich selbst und erhält so
+einen zufälligen Nachfolger.
\begin{itemize}
-\item Kombiniere immer das aktuelle Netzwerk mit sich selbst.
-\item Kann die Mindestgüte immernoch erreicht werden? ({\em Ich denke schon.})
-\item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke.
+ \item $n \leftarrow \mathrm{Input}$
+ \item \texttt{while} \textit{true}
+ \begin{itemize}
+ \item $n \leftarrow \operatorname{recombine} (n, n)$
+ \end{itemize}
\end{itemize}
-\section{Optimierung der Schnitte}
-
-Der \emph{evolution-cut}-Algorithmus nimmt ein gegebenes Sortiernetzwerk mit
-$n$~Leitungen und sucht die beste Sequenz von $c$~Min- und Max-Schnitten um
-ein ${(n-c)}$-Sortiernetzwerk zu erhalten.
-
-Bei diesem Algorithmus werden die \emph{Schnitt-Sequenzen} als Individuen
-verwendet. Eine \emph{Schnitt-Sequenz} ist eine Liste mit $c$~Schnitten, die
-jeweils durch die Start-Leitung und die Richtung \textit{Min} beziehungsweise
-\textit{Max} gegeben ist. Der Algorithmus wendet jeden Schnitt einzeln an, so
-dass eine Leitungsnummer mehrfach in einer Schnittsequenz vorkommen kann. Die
-höchste zulässige Leitungsnummer ist abhängig von der Position des Schnitts in
-der Sequenz. Der Schnitt an Position~$i$ darf höchstens die
-Leitungsnummer~${n-i-1}$ enthalten.\footnote{Die niedrigste Leitungsnummer ist
-$0$, die höchste Leitungsnummer eines $n$-Sortiernetzwerks ist $n-1$.}
-
-Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte der einen
-Schnitt-Sequenz verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte der zweiten
-Sequenz. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$.
-
-Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
-auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
-Schnitt-Richtung.
+\begin{itemize}
+ \item Beste erreichte Netzwerke (gleich zu \emph{OE-Mergesort}).
+ \item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke.
+ \item Anzahl der Komparatoren und Anzahl der Schichten der durchlaufenen
+ Netzwerke. (Abbildung~\ref{fig:markov-comparators-16})
+\end{itemize}
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/16-ec-1277186619.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/16-ec-1277186619.tex}: Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen
- und 68~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \emph{evolution-cut} aus dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk $M(32)$ durch
- 16~Schnitte erzeugt.}
-\label{fig:16-ec-1277186619}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-16.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen), die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden.}
+ \label{fig:markov-comparators-16}
\end{figure}
-Wendet man den \emph{evolution-cut}-Algorithmus auf das
-Bitonic-Mergesort-Netzwerk $M(n)$ an und setzt die Anzahl der Schnitte~$c$ auf
-$\frac{n}{2}$, so erhält man Sortiernetzwerke, die weniger Komparatoren
-benötigen als $M(\frac{n}{2})$.
-
-Das Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:16-ec-1277186619} ist entstanden,
-indem der Algorithmus \emph{evolution-cut} auf das $M(32)$-Sortiernetzwerk
-angewendet wurde. Der Algorithmus fand eine Schnitt-Sequenz aus 16~Schnitten,
-die ein Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in 10~Schichten
-erzeugt. Das $M(16)$-Sortiernetzwerk besteht aus 80~Komparatoren in
-10~Schichten.
-
-Dieses Ergebnis deckt sich mit dem Sortiernetzwerk, dass
-\emph{Moritz Mühlenthaler} und \emph{Rolf Wanka} in ihrer Veröffentlichung
-„Improving Bitonic Sorting by Wire Elimination“ vorstellen. Sie verwenden
-Schnitte, um Komparatoren beim bitonen $(n,n)$-Mischer enizusparen. Ein
-sukzessive aus optimieren Mischern aufgebautes Sortiernetzwerk spart
---~verglichen mit dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk~-- $\frac{1}{4}n(\log n - 1)$
-Komparatoren ein. Bei einem Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen also
-12~Komparatoren -- 68 statt 80.
+%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
+
+\section{Optimierung der Schnitte}
+
+\todo{In den Abschnitt "`Leitungen entfernen"' einbauen.}
\begin{figure}
\begin{center}
\end{center}
\caption{{\tt images/32-ec-1277190372.tex}: Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen
und 206~Komparatoren in 15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \emph{evolution-cut} aus dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk $M(64)$ durch
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk $BS(64)$ durch
32~Schnitte erzeugt.}
\label{fig:32-ec-1277190372}
\end{figure}
Abbildung~\ref{fig:32-ec-1277190372} zeigt ein 32-Sortiernetzwerk, dass vom
-\emph{evolution-cut}-Algorithmus aus dem $M(64)$-Netzwerk erzeugt wurde. Es
-besteht aus 206~Komparatoren in 15~Schichten -- 34~Komparatoren weniger als
-$M(32)$ und zwei Komparatoren weniger als das Netzwerk, das nach Mühlenthaler
+\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus aus dem $BS(64)$-Netzwerk erzeugt wurde.
+Es besteht aus 206~Komparatoren in 15~Schichten -- 34~Komparatoren weniger als
+$BS(32)$ und zwei Komparatoren weniger als das Netzwerk, das nach Mühlenthaler
und Wankas Methode konstruiert wird. Die Anzahl der Schichten ist bei allen
Netzwerken gleich.
-\textbf{TODO:} $M(128) \rightarrow n=64$: 584~Komparatoren in 21~Schichten
+\textbf{TODO:} $BS(128) \rightarrow n=64$: 584~Komparatoren in 21~Schichten
möglich (nach ca. 600k Iterationen). Moritz und Rolf: $672-80=592$
-Komparatoren; $M(64)$: 672~Komparatoren.
+Komparatoren; $BS(64)$: 672~Komparatoren.
Schnitt-Sequenz:
MIN( 92)
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