\subsubsection{Batcher's Bitonic-Mergesort-Netzwerk}
Das Sortiernetzwerk $S(n)$ mit $n$~Eingängen besteht aus zwei Instanzen von
-$S(\frac{n}{2})$, dem Netzwerk mit $\frac{n}{2}$~Eingängen, und dem bitonen
-Mischer $M(n)$. Die Rekursion bricht bei ${n = 1}$~ab -- eine einelementige
+$S(\frac{n}{2})$, dem Netzwerk mit $\frac{n}{2}$~Eingängen und dem bitonen
+Mischer~$M(n)$. Die Rekursion bricht bei ${n = 1}$~ab --~eine einelementige
Liste ist immer sortiert.
Das konkrete Netzwerk~$S(8)$ ist in Abbildung~\ref{fig:batcher_08} zu sehen.
Eingezeichnet sind ebenfalls die beiden Instanzen des Netzwerks~$S(4)$ (rot)
sowie der bitone Mischer~$M(8)$ (blau).
+
+
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\includegraphics[viewport=115 491 372 782,width=7.5cm]{images/sn-rekursiver-aufbau.pdf}
Da $U$ und $V$ sortiert sind, ist die Anzahl der Nullen in den geraden
Teilfolgen, $U_{\textrm{gerade}}$ bzw. $V_{\textrm{gerade}}$, größer oder
gleich der Anzahl der Nullen in den ungeraden Teilfolgen
-$U_{\textrm{ungerade}}$ bzw. $V_{\textrm{ungerade}}$ -- die Einsen verhalten
+$U_{\textrm{ungerade}}$ bzw. $V_{\textrm{ungerade}}$ --~die Einsen verhalten
sich entsprechend umgekehrt. Das trifft demnach auch auf die Folgen
$W_{\textrm{gerade}}$ und $W_{\textrm{ungerade}}$ entsprechend zu:
\begin{eqnarray}
\subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-Auch beim {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} -- wie beim {\em bitonen
-Mergesort-Netzwerk} -- entsteht das Sortiernetzwerk aus dem {\em
-Odd-Even-Mischer} durch resursives Anwenden auf einen Teil der Eingabe
+Auch beim \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} --~wie beim \emph{bitonen
+Mergesort-Netzwerk}~-- entsteht das Sortiernetzwerk aus dem {\em
+Odd-Even-Mischer} durch rekursives Anwenden auf einen Teil der Eingabe
(üblicherweise die Hälfte der Leitungen) und anschließendes zusammenfügen.
Abbildung~\ref{fig:odd_even_mergesort_08} zeigt das Netzwerk für $8$~Eingänge.
\subsection{Rekombination}
-Bei der Rekombination werden zwei Individuen -- hier Sortiernetzwerke -- zu
+Bei der Rekombination werden zwei Individuen --~hier Sortiernetzwerke~-- zu
einer neuen Lösung kombiniert. Dazu verwenden wir einen Mischer, zum Beispiel
den {\em bitonen Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}) oder den
{\em Odd-Even-Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_odd_even_mischer}), um die
\subsection{Mutation}
-{\em Mutation ist schwierig, weil es die Sortiereigenschaft eben nicht
-erhält.}
+Zu einem vollständigen evolutionären Algorithmus gehört außerdem eine Mutation
+--~eine zufällige Veränderung einer Lösung. Leider ist es nicht möglich ein
+Sortiernetzwerk zufällig zu verändern aber trotzdem die Sortiereigenschaft zu
+erhalten. Selbst das \emph{Hinzufügen} eines zufälligen Komparators kann diese
+Eigenschaft zerstören.
+
+Nach einer Mutation müsste man überprüfen, ob das neue Komparatornetzwerk die
+Sortiereigenschaft noch besitzt. Nach heutigem Wissenstand ist diese
+Überprüfung nur mit exponentiellem Aufwand möglich, etwa durch das
+Ausprobieren aller $2^n$~Bitmuster.
+Um das Potenzial einer Mutation abzuschätzen habe ich in den evolutionären
+Algorithmus eine Überprüfung eingebaut. Unmittelbar vor dem Einfügen in die
+Population überprüft das Programm die Notwendigkeit jedes einzelnen
+Komparators. Dazu wurde nacheinander jeder Komparator entfernt und überprüft,
+ob das verbleibende Netzwerk die Sortiereigenschaft noch besitzt.
\begin{itemize}
\item Güte von Sortiernetzwerken (Anzahl der Komparatoren, Anzahl der
\begin{center}
\input{images/08-e2-1237993371.tex}
\end{center}
-\caption{\tt images/08-e2-1237993371.tex}
+\caption{{\tt images/08-e2-1237993371.tex}: 19~Komparatoren in 6~Schichten}
\label{fig:08-e2-1237993371}
\end{figure}
\begin{center}
\input{images/09-e2-1237997073.tex}
\end{center}
-\caption{\tt images/09-e2-1237997073.tex}
+\caption{{\tt images/09-e2-1237997073.tex}: 25~Komparatoren in 8~Schichten}
\label{fig:09-e2-1237997073}
\end{figure}
\begin{center}
\input{images/09-e2-1237999719.tex}
\end{center}
-\caption{\tt images/09-e2-1237999719.tex}
+\caption{{\tt images/09-e2-1237999719.tex}: 25~Komparatoren in 7~Schichten}
\label{fig:09-e2-1237999719}
\end{figure}
\label{fig:10-e2-1239014566}
\end{figure}
+% ============
+
+\section{Shmoo-Äquivalenz}
+
+Die folgenden 16-Eingang-Sortiernetzwerke wurden alle mit dem
+\emph{Algorithmus~1} gefunden. Sie haben alle 63~Komparatoren in 10~Schichten,
+jeweils die selbe Anzahl wie Odd-Even-Mergesort.
+
+Um wiederkehrende Muster in den hinteren Schichten der erzeugten
+Sortiernetzwerke besser untersuchen zu können, wurden die erzeugten Netzwerke
+in Gruppen aufgeteilt. Zwei Netzwerke befinden sich dann in der selben
+Gruppen, wenn die Nullen bzw. Einsen, die auf einer Leitung vorkommen können,
+nach der 5.~Schicht (Schicht~4, da bei Null mit dem Zählen begonnen wird)
+nicht mehr ändert. Das heißt, dass die Schichten 0--4 unterschiedlich
+aufgebaut sind, aber den selben Effekt erziehlen. Die Schichten 5--9 sind
+hingegen innerhalb einer Gruppe austauschbar und oft (immer?) identisch.
+
+Die Anzahl der Netzwerke in den jeweiligen Gruppen ist unterschiedlich. Zur
+Zeit sind in den Gruppen so viele Netzwerke:\\
+\begin{tabular}{|l|r|r|} \hline
+Gruppe~0 & 18 & $48,7\%$ \\
+Gruppe~1 & 9 & $24,3\%$ \\
+Gruppe~2 & 6 & $16,2\%$ \\
+Gruppe~3 & 3 & $8,1\%$ \\
+Gruppe~4 & 1 & $2,7\%$ \\ \hline
+\end{tabular}
+
+Die hinteren Schichten zwischen den Gruppen~1 und~3 schauen so aus, als wären
+sie nur gespiegelt. Warum kommt Gruppe~1 aber viel häufiger vor? Ggf. eine
+Konsequenz aus dem Normieren?
+
+Dito für die Gruppen~2 und~4. Warum ist die eine häufiger?
+
+Ist Gruppe~0 symmetrisch bzgl. der Leitungen?
+
+% Gruppe 0
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group0/16-e1-1258009316.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1258009316.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258009316}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group0/16-e1-1258010866.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1258010866.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258010866}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group0/16-e1-1258011861.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1258011861.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258011861}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group0/16-e1-1259060992.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1259060992.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1259060992}
+\end{figure}
+
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\input{images/16-e1/group0/16-e1-1259061148.tex}
+%\end{center}
+%\caption{{\tt images/16-e1/group0/16-e1-1259061148.tex}: 63~Komparatoren in
+%10~Schichten.}
+%\label{fig:16-e1-1259061148}
+%\end{figure}
+
+% Gruppe 1
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258009982.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258009982.tex}: 63~Komparatoren in 10~Schichten.
+Schichten 4--9 identisch zu 16-e1-1258030047 (Gruppe~1).}
+\label{fig:16-e1-1258009982}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258010023.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258010023.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258010023}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258029734.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258029734.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258029734}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258030047.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258030047.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258030047}
+\end{figure}
+
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\input{images/16-e1/group1/16-e1-1258034768.tex}
+%\end{center}
+%\caption{{\tt images/16-e1/group1/16-e1-1258034768.tex}: 63~Komparatoren in
+%10~Schichten.}
+%\label{fig:16-e1-1258034768}
+%\end{figure}
+
+% Gruppe 2
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group2/16-e1-1258029063.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1258029063.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258029063}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group2/16-e1-1258034821.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1258034821.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258034821}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group2/16-e1-1259054993.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1259054993.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1259054993}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group2/16-e1-1259058588.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1259058588.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1259058588}
+\end{figure}
+
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\input{images/16-e1/group2/16-e1-1259063485.tex}
+%\end{center}
+%\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1259063485.tex}: 63~Komparatoren in
+%10~Schichten.}
+%\label{fig:16-e1-1259063485}
+%\end{figure}
+
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\input{images/16-e1/group2/16-e1-1259063618.tex}
+%\end{center}
+%\caption{{\tt images/16-e1/group2/16-e1-1259063618.tex}: 63~Komparatoren in
+%10~Schichten.}
+%\label{fig:16-e1-1259063618}
+%\end{figure}
+
+% Gruppe 3
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group3/16-e1-1258012027.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group3/16-e1-1258012027.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258012027}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group3/16-e1-1258037039.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group3/16-e1-1258037039.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1258037039}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group3/16-e1-1259065042.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group3/16-e1-1259065042.tex}: 63~Komparatoren in
+10~Schichten.}
+\label{fig:16-e1-1259065042}
+\end{figure}
+
+% Gruppe 4
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group4/16-e1-1259060520.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group4/16-e1-1259060520.tex}: 63~Komparatoren in 10~Schichten.
+(Gruppe~4).}
+\label{fig:16-e1-1259060520}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-e1/group4/16-e1-1259067171.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-e1/group4/16-e1-1259067171.tex}: 63~Komparatoren in 10~Schichten.
+(Gruppe~4).}
+\label{fig:16-e1-1259067171}
+\end{figure}
+
\subsection{Güte}
\begin{itemize}
\item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke.
\end{itemize}
+\section{Optimierung der Schnitte}
+
+Der \emph{evolution-cut}-Algorithmus nimmt ein gegebenes Sortiernetzwerk mit
+$n$~Leitungen und sucht die beste Sequenz von $c$~Min- und Max-Schnitten um
+ein ${(n-c)}$-Sortiernetzwerk zu erhalten.
+
+Bei diesem Algorithmus werden die \emph{Schnitt-Sequenzen} als Individuen
+verwendet. Eine \emph{Schnitt-Sequenz} ist eine Liste mit $c$~Schnitten, die
+jeweils durch die Start-Leitung und die Richtung \textit{Min} beziehungsweise
+\textit{Max} gegeben ist. Der Algorithmus wendet jeden Schnitt einzeln an, so
+dass eine Leitungsnummer mehrfach in einer Schnittsequenz vorkommen kann. Die
+höchste zulässige Leitungsnummer ist abhängig von der Position des Schnitts in
+der Sequenz. Der Schnitt an Position~$i$ darf höchstens die
+Leitungsnummer~${n-i-1}$ enthalten.\footnote{Die niedrigste Leitungsnummer ist
+$0$, die höchste Leitungsnummer eines $n$-Sortiernetzwerks ist $n-1$.}
+
+Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte der einen
+Schnitt-Sequenz verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte der zweiten
+Sequenz. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$.
+
+Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
+auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
+Schnitt-Richtung.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/16-ec-1277186619.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/16-ec-1277186619.tex}: Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen
+ und 68~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \emph{evolution-cut} aus dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk $M(32)$ durch
+ 16~Schnitte erzeugt.}
+\label{fig:16-ec-1277186619}
+\end{figure}
+
+Wendet man den \emph{evolution-cut}-Algorithmus auf das
+Bitonic-Mergesort-Netzwerk $M(n)$ an und setzt die Anzahl der Schnitte~$c$ auf
+$\frac{n}{2}$, so erhält man Sortiernetzwerke, die weniger Komparatoren
+benötigen als $M(\frac{n}{2})$.
+
+Das Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:16-ec-1277186619} ist entstanden,
+indem der Algorithmus \emph{evolution-cut} auf das $M(32)$-Sortiernetzwerk
+angewendet wurde. Der Algorithmus fand eine Schnitt-Sequenz aus 16~Schnitten,
+die ein Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in 10~Schichten
+erzeugt. Das $M(16)$-Sortiernetzwerk besteht aus 80~Komparatoren in
+10~Schichten.
+
+Dieses Ergebnis deckt sich mit dem Sortiernetzwerk, dass
+\emph{Moritz Mühlenthaler} und \emph{Rolf Wanka} in ihrer Veröffentlichung
+„Improving Bitonic Sorting by Wire Elimination“ vorstellen. Sie verwenden
+Schnitte, um Komparatoren beim bitonen $(n,n)$-Mischer enizusparen. Ein
+sukzessive aus optimieren Mischern aufgebautes Sortiernetzwerk spart
+--~verglichen mit dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk~-- $\frac{1}{4}n(\log n - 1)$
+Komparatoren ein. Bei einem Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen also
+12~Komparatoren -- 68 statt 80.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/32-ec-1277190372.tex}
+\end{center}
+\caption{{\tt images/32-ec-1277190372.tex}: Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen
+ und 206~Komparatoren in 15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \emph{evolution-cut} aus dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk $M(64)$ durch
+ 32~Schnitte erzeugt.}
+\label{fig:32-ec-1277190372}
+\end{figure}
+
+Abbildung~\ref{fig:32-ec-1277190372} zeigt ein 32-Sortiernetzwerk, dass vom
+\emph{evolution-cut}-Algorithmus aus dem $M(64)$-Netzwerk erzeugt wurde. Es
+besteht aus 206~Komparatoren in 15~Schichten -- 34~Komparatoren weniger als
+$M(32)$ und zwei Komparatoren weniger als das Netzwerk, das nach Mühlenthaler
+und Wankas Methode konstruiert wird. Die Anzahl der Schichten ist bei allen
+Netzwerken gleich.
+
+\textbf{TODO:} $M(128) \rightarrow n=64$: 584~Komparatoren in 21~Schichten
+möglich (nach ca. 600k Iterationen). Moritz und Rolf: $672-80=592$
+Komparatoren; $M(64)$: 672~Komparatoren.
+
+Schnitt-Sequenz:
+MIN( 92)
+MAX( 80)
+MIN(100)
+MAX( 54)
+MAX(102)
+MAX( 53)
+MAX(105)
+MAX( 6)
+MAX( 99)
+MAX( 79)
+MAX( 26)
+MIN(111)
+MAX( 12)
+MIN( 22)
+MAX( 61)
+MAX( 72)
+MAX( 68)
+MIN( 80)
+MAX( 80)
+MAX( 99)
+MAX(105)
+MAX( 0)
+MIN( 8)
+MAX( 40)
+MAX( 74)
+MAX( 40)
+MAX( 40)
+MIN( 56)
+MAX( 27)
+MAX( 13)
+MAX( 1)
+MAX( 81)
+MAX( 17)
+MAX( 4)
+MIN( 36)
+MIN( 22)
+MAX( 13)
+MIN( 72)
+MAX( 24)
+MAX( 5)
+MIN( 10)
+MAX( 59)
+MIN( 37)
+MAX( 65)
+MAX( 46)
+MAX( 73)
+MAX( 58)
+MAX( 29)
+MAX( 65)
+MIN( 23)
+MAX( 56)
+MAX( 11)
+MIN( 75)
+MIN( 51)
+MIN( 46)
+MIN( 34)
+MAX( 32)
+MAX( 6)
+MAX( 37)
+MIN( 4)
+MIN( 28)
+MIN( 20)
+MAX( 33)
+MAX( 34)
+
+% images/32-ec-1277190372.tex
+
\section{Empirische Beobachtungen}
\begin{itemize}
projects / diplomarbeit.git / blobdiff