-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{fancyhdr}
\tikzstyle{diredge} = [draw,thick,->]
\tikzstyle{prob} = [font=\tiny]
+\tikzstyle{edge minimum} = [edge,color=blue!20]
+\tikzstyle{edge maximum} = [edge,color=red!20]
+\tikzstyle{vertex active minimum} = [vertex,color=blue!50, fill=blue!50]
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+
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\subsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk ($\operatorname{BS}(n)$) ist ein
-Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{K.~E.~Batcher} veröffentlicht wurde. Es
-ist deutlich effizienter als das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk -- sowohl
-in Bezug auf die Anzahl der Komparatoren als auch bezüglich der benötigten
-Zeit, also der Anzahl der Schichten.
+Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{Kenneth~E. Batcher} in~\cite{B1968}
+veröffentlicht wurde. Es ist deutlich effizienter als das
+Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk -- sowohl in Bezug auf die Anzahl der
+Komparatoren als auch bezüglich der benötigten Zeit, also der Anzahl der
+Schichten.
Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl eine Zweierpotenz ist,
$\operatorname{BS}(n = 2^t)$.
-Ein Netzwerk von K.~E.~Batcher. Siehe:
-K.E. Batcher: Sorting Networks and their Applications. Proc. AFIPS Spring
-Joint Comput. Conf., Vol. 32, 307-314 (1968)
-\todo{Bibtex!}
-
\subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
\begin{center}
\input{images/batcher-8.tex}
\end{center}
- \caption{$S(8)$, Batcher's {\em bitone Mergesort-Netzwerk} für acht
- Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von $S(4)$ (rot), die beiden
- bitonen Mischer~$M(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven
- Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
- \label{fig:batcher_08}
+ \caption{$\operatorname{BS}(8)$, Batchers {\em bitones Mergesort-Netzwerk}
+ für acht Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von
+ $\operatorname{BS}(4)$ (rot), die beiden bitonen
+ Mischer~$\operatorname{BM}(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten
+ rekursiven Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
+ \label{fig:bitonic-08}
\end{figure}
Das konkrete Netzwerk~$\operatorname{BS}(8)$ ist in
-Abbildung~\ref{fig:batcher_08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
beiden Instanzen des Netzwerks~$\operatorname{BS}(4)$ (rot) sowie der bitone
Mischer~$\operatorname{BM}(8)$ (blau). Die trichterförmige Komparator-Kaskade,
die die bitone Eingabefolge in zwei bitone Ausgabefolgen transformiert, ist
Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Vielmehr ist
OES dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}, das im vorherigen Abschnitt
vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
-\textit{K.~Batcher} gefunden worden und wird rekursiv durch einen Mischer
-definiert.
+\textit{Kenneth~E. Batcher} gefunden worden und ist ebenfalls in~\cite{B1968}
+beschrieben und initial analysiert worden. Eine weitere Gemeinsamkeit besteht
+darin, dass es ebenfalls rekursiv durch einen Mischer definiert ist.
\subsubsection{Der Odd-Even-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}
zusätzliche Komparator vor dem $\textrm{OET}(7)$ hat keinen Einfluss auf die
Ausgabe und kann entfernt werden.
+\subsubsection{Anzahl möglicher und unterschiedlicher Schnittmuster}
+\label{sect:anzahl_schnittmuster}
+
Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem
Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
$n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können wir auf diese Art und
Weise einen Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen wieder auf ein Sortiernetzwerk
-mit $n$~Eingängen reduzieren.
+mit $n$~Eingängen reduzieren. Das Anwenden mehrerer Minimum- und
+Maximum-Schnitte bezeichnen wir als \emph{Schnittmuster}.
-\subsubsection{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
+Zwei Schnittmuster heißen \emph{äquivalent} bezüglich~$S$, wenn ihre Anwendung
+auf das Sortiernetzwerk~$S$ das selbe Ergebnis liefert. Ansonsten heißen die
+Schnittmuster \emph{unterschiedlich} bezüglich~$S$.
Bei einem Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen gibt es $2n$~Möglichkeiten eine
Leitung zu entfernen: Auf jeder der $n$~Leitungen kann sowohl das Minimum als
\prod_{i=n}^{m+1} 2i = 2^{n-m} \frac{n!}{m!}
\quad (n > m)
\end{displaymath}
-Möglichkeiten. Diese Möglichkeiten sind nicht alle unterschiedlich. Legt man
-beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung und das Maximum auf die
-oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks, führen beide Reihenfolgen zum
-selben Ergebnis.
+\emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
+unterschiedlich. Legt man beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung
+und das Maximum auf die oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks,
+führen beide Reihenfolgen zum selben Ergebnis.
\textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit (\todo{Referenz}), dass
es möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise
-Maximum vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnitte
-reduziert, die Menge der erreichbaren Sortiernetzwerke bleibt aber
-unverändert. Die Anzahl der möglichen „Schnittmuster“ setzt sich zusammen aus
+Maximum vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster
+reduziert, die Menge der so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber
+unverändert. Die Anzahl der möglichen Schnittmuster setzt sich zusammen aus
der Anzahl von Möglichkeiten, $n-m$~Leitungen aus $n$ Leitungen auszuwählen,
und die möglichen Minimum-~/ Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende
-Formel:
+Formel für die Anzahl der Schnittmuster:
\begin{displaymath}
2^{n-m} \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ n-m \end{array} \right)
= 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{(n-m)! m!}
\quad (n > m)
\end{displaymath}
-Die Anzahl der möglichen Schnitte wird mit der Anzahl der zu entfernenden
+Die Anzahl der möglichen Schnittmuster wird mit der Anzahl der zu entfernenden
Leitungen sehr schnell sehr groß. Um ein Sortiernetzwerk mit 32~Eingängen auf
-ein Sortiernetzwerk mit 16~Ein\-gängen zu reduzieren sind 16~Schnitte notwendig,
-für die es bereits etwa ${3,939 \cdot 10^{13}}$ Möglichkeiten gibt. Ein
-Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für große Netzwerke nicht oder nur unter
-erheblichem Ressourcenaufwand möglich.
+ein Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen zu reduzieren, ist ein Schmittmuster mit
+16~Schnitten notwendig, für das es bereits etwa ${3,939 \cdot 10^{13}}$
+Möglichkeiten gibt. Ein Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für große
+Netzwerke nicht oder nur unter erheblichem Ressourcenaufwand möglich.
+
+Die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster ist allerdings kleiner
+als die Anzahl der möglichen Schnittmuster. Für jeden Komparator auf der
+ersten Stufe gibt es neun verschiedene Eingangskonfigurationen: Für beide
+Eingänge gibt es drei mögliche Eingangswerte, Minimum, Maximum und
+unspezifiziert. Es gibt drei Konfigurationen, bei denen an beiden Eingängen
+der gleiche Wert angelegt wird, und sechs Konfigurationen, bei denen sich die
+Werte unterscheiden.
+
+Bei diesen letzten sechs Konfigurationen werden je zwei auf das selbe
+Ausgangmuster abgebildet, weil die Position des Minimums beziehungsweise des
+Maximums durch den Komparator vorgegeben wird. Das heißt, dass die neun
+unterschiedlichen Eingangsmuster nur sechs unterschiedliche Ausgangsmuster
+erzeugen. In der zweiten und allen folgenden Schichten kann man diesen
+Unterschied nicht mehr erkennen. In allen sechs Fällen, in denen sich die
+Eingänge unterscheiden, wird anschließend der Komparator entfernt, so dass
+sich die Resultate auch in der ersten Schicht nicht unterscheiden.
+
+\subsubsection{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
+\label{sect:sn-evolution-cut}
Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
gute Schnittmuster gesucht.
-Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die
-\emph{Schnitt-Sequenzen} als Individuen. Eine \emph{Schnitt-Sequenz} ist eine
-Liste mit $c$~Schnitten, die jeweils durch die Start-Leitung und die Richtung
-\textit{Min} beziehungsweise \textit{Max} gegeben ist. Der Algorithmus wendet
-jeden Schnitt einzeln an, so dass eine Leitungsnummer mehrfach in einer
-Schnittsequenz vorkommen kann. Die höchste zulässige Leitungsnummer ist
-abhängig von der Position des Schnitts in der Sequenz. Der Schnitt an
-Position~$i$ darf höchstens die Leitungsnummer~${n-i-1}$
-enthalten.\footnote{Die niedrigste Leitungsnummer ist $0$, die höchste
-Leitungsnummer eines $n$-Sortiernetzwerks ist $n-1$.}
-
-Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte der einen
-Schnitt-Sequenz verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte der zweiten
-Sequenz. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$.
+Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster}
+als Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten
+$r$~Schnitte des einen Schnittmusters verwendet und die letzten
+${c-r}$~Schnitte des zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit
+$0 \leqq r \leqq c$.
Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
Schnitt-Richtung.
-In ihrer Arbeit \textit{“Improving Bitonic Sorting by Wire Elimination”}
-zeigen \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka}, wie man einen
-bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde, durch
-systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen Mischer mit
-der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer sparen im
-Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert werden,
-Komparatoren ein.
+% bitones Mergesort-Netzwerk
+
+In \cite{MW2010} zeigen \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka},
+wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
+durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen
+Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer
+sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
+werden, Komparatoren ein.
Beispeilsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
\begin{figure}
\begin{center}
- \input{images/16-ec-1277186619.tex}
+ \input{images/16-ec-from-bs32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}
+ $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-bs32}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-bs32-normalized.tex}
\end{center}
- \caption{{\tt images/16-ec-1277186619.tex}: Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen
- und 68~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem
- Algorithmus \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
$\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
- \label{fig:16-ec-1277186619}
+ \label{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
\end{figure}
Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk
$\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
-16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in
-Abbildung~\ref{fig:16-ec-1277186619} zu sehen.
+16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in den
+Abbildungen~\ref{fig:16-ec-from-bs32} und~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
+zu sehen. Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} zeigt $\operatorname{BS}(32)$
+und das
+${\operatorname{MIN}(0,5,9,11,15,17,20,22,26,29,30)}$-${\operatorname{MAX}(2,4,13,19,24)}$-Schnittmuster,
+das durch \textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
+nachdem das Schnittmuster angewandt und das Netzwerk normalisiert wurde. Eine
+Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist in
+diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des
+Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
+
+\begin{figure}
+ % 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
+ % 23:MIN 24:MAX 25:MAX 30:MIN 31:MIN 32:MAX 34:MAX 36:MIN 37:MAX 40:MAX
+ % 43:MAX 46:MIN 47:MAX 48:MAX 49:MAX 54:MIN 55:MAX 56:MAX 58:MIN 60:MAX
+ % 63:MAX
+ \begin{center}
+ \input{images/32-ec-from-bs64.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen und 206~Komparatoren in
+ 15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+ $\operatorname{BS}(64)$ durch 32~Schnitte erzeugt. Das zugehörige
+ Schnittmuster ist
+ $\operatorname{MIN}(4, 14, 23, 30, 31, 36, 46, 54, 58)$,
+ $\operatorname{MAX}(0, 1, 6, 9, 11, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 32, 34, 37,
+ 40, 43, 47, 48, 49, 55, 56, 60, 63)$.}
+ \label{fig:32-ec-from-bs64}
+\end{figure}
+
+Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} von \textit{Wanka}, die den bitonen
+Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
+konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
+$\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen
+Größen, beispielsweise wenn man $\operatorname{BS}(64)$ auf ein
+32-Sortiernetzwerk reduziert, kann das Ergebnis sogar noch übertroffen werden,
+wie in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} zu sehen: Ein nach Batchers Methode
+konstruiertes Sortiernetzwerk benötigt 240~Komparatoren, ein aus den
+optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk verbessert die Kosten auf
+208~Komparatoren. Das in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} dargestellte
+Sortiernetzwerk benötigt lediglich 206~Komparatoren. Die Komparatoren aller
+dieser Netzwerke können in 15~Schichten angeordnet werden, so dass die
+Verzögerung dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
+
+Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
+unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
+gute Schnittmuster anzugeben.
+
+Entscheidend für das Ergebnis eines Schnittmusters scheint beim bitonen
+Mergesort-Netzwerk die Aufteilung der Minimum- und Maximumschnitte zu sein.
+Von Hundert 16-Schnittmustern für $\operatorname{BS}(32)$, die in
+Sortiernetzwerken mit 68~Komparatoren in 10~Schichten resultieren, hatten 73
+ein Verhältnis von $5/11$, 13 hatten ein Verhältnis von $4/12$ und 14 hatten
+ein Verhältnis von $3/13$ Minimum- beziehungsweise Maximumschnitten. Da sich
+die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des bitonen Mergesort-Netzwerks
+leicht invertieren lassen, werden der Fall, dass es mehr Minimumschnitte, und
+der Fall, dass es mehr Maximumschnitte gibt, nicht unterschieden.
+
+
+
+% Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk
+
+Dass die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution-Cut} keine erkennbare Struktur
+haben, ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere
+von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} $\operatorname{OET}(n)$ und
+$m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
+$\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk.
\begin{figure}
\begin{center}
\label{fig:16-ec-from-ps32}
\end{figure}
-Betrachtet man das Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:16-ec-1277186619}, so
-ist keine Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$
-erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des Netzwerks scheinen rein
-zufällig zu sein. Dies ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern
-hängt insbesondere von der Eingaben. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut}
-beispielsweise mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
-$\operatorname{OET}(n)$ und $m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis
-immer das $\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk.
+% Pairwise-Sorting-Netzwerk
Anders verhält sich das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
$\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
-Pairwise Sorting Network“ definiert. Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit
-$\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe, 16~Leitungen zu entfernen, erhält man
-ein Sortiernetzwerk, dass die gleiche Anzahl an Komparatoren und Schichten hat
-wie $\operatorname{PS}(16)$ und $\operatorname{OES}(16)$. Der Algorithmus gibt
-auch nach zahlreichen Versuchen nur eines von zwei Sortiernetzwerken zurück,
-die beide sehr symmetrisch sind und eine saubere Struktur aufweisen. Eines der
-beiden Sortiernetzwerke ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32}
-dargestellt, das andere Sortiernetzwerk unterscheidet sich lediglich dadurch,
-dass die zweite und dritte Schicht vertauscht sind.
+Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert. Startet man
+\textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
+16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, dass die gleiche
+Anzahl an Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
+$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even-Mischer} nicht
einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist der
$\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzerke, die
-strukturell identisch zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- die Schichten~1 und~2
-sowie 4~und~5 sind vertauscht, was jeweils zum selben Ergebnis nach dem
-Schichtenpaar führt.
+strukturell identisch zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
+Schichten~1 und~2 sowie 4~und~5 sind vertauscht.
+
+\begin{displaymath}
+\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
+ -\infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{0, 6\} \\
+ \infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{2, 4\} \\
+ ? & \quad \mathrm{sonst}
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
+ \end{center}
+ \caption{PS(32) mit 16 Schnitten zu PS(16).}
+ \label{fig:ps16-from-ps32}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-pairwise.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
+ ($\operatorname{MIN}(0,2,4,6), \operatorname{MAX}(9,11,13,15)$). Das
+ resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
+ \label{fig:16-pairwise}
+\end{figure}
Wendet man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf $\operatorname{PS}(16)$ an, so kann
man $\operatorname{OES}(8)$ erhalten.
+% Odd-Even-Mergesort-Netzwerk
+
+\todo{Schreibe noch etwas zum Odd-Even-Mergesort-Netzwerk.}
+
\begin{itemize}
\item Beispiel: Moritz und Rolfs Optimierung für Bitonic-Sort.
\item Wie gut kann man durch wegschneiden werden?
- \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk?
+ \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk? Oder andersrum: Wieviele
+ unterschiedliche Netzwerke kann ich erhalten? Wieviele Nachfolger hat ein
+ Netzwerk / Knoten in der Markov-Kette?
\item Abschnitt „Optimierung der Schnitte“ hier einbauen.
\end{itemize}
Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`klein"' und "`schnell"'
berücksichtigen kann, hat die folgende allgemeine Form:
\begin{equation}
- \mathit{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}}
+ \operatorname{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}}
+ w_{\mathrm{Komparatoren}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Komparatoren}
+ w_{\mathrm{Schichten}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Schichten}
\end{equation}
\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \em{Mischer} ab.
\end{itemize}
-\section{Markov-Kette}
+\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
-Der evolutionäre Algorithmus aus dem vorherigen Abschnitt verwendete immer
-zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus einer Population. Da die
-beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt werden, kann es
-vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal verwendet und mit sich
-selbst kombiniert wird.
+Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
+Abschnitt verwendete immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
+einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
+ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
+verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, indem man \emph{immer} das
aktuelle Netzwerk mit sich selbst kombiniert und anschließend die Hälfte aller
ist, das heißt dass man $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
selbst erzeugen kann.
+Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben ist die Anzahl
+(unterschiedlichen) Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger sehr
+groß. Wenn $S_0$ ein Sortiernetzwerk mit $n$~Leitungen ist, so hat $S_0$ bis
+zu
+\begin{displaymath}
+ 2^n \cdot \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)
+\end{displaymath}
+Nachfolger.
+
Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Graph einen zufälligen Weg
(englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem gegebenen
Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu gelangen
\begin{figure}
\begin{center}
- \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-16.pdf}
+ \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 12~Leitungen),
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+ \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 40)$ mit $k = 8,267$ und $\theta = 0,962$.}
+ \label{fig:markov-comparators-12}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+ \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
+ \label{fig:markov-comparators-14}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
\end{center}
- \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen), die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden.}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+ \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
\label{fig:markov-comparators-16}
\end{figure}
\todo{In den Abschnitt "`Leitungen entfernen"' einbauen.}
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/32-ec-1277190372.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/32-ec-1277190372.tex}: Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen
- und 206~Komparatoren in 15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk $BS(64)$ durch
- 32~Schnitte erzeugt.}
-\label{fig:32-ec-1277190372}
-\end{figure}
-
-Abbildung~\ref{fig:32-ec-1277190372} zeigt ein 32-Sortiernetzwerk, dass vom
+Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} zeigt ein 32-Sortiernetzwerk, dass vom
\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus aus dem $BS(64)$-Netzwerk erzeugt wurde.
Es besteht aus 206~Komparatoren in 15~Schichten -- 34~Komparatoren weniger als
$BS(32)$ und zwei Komparatoren weniger als das Netzwerk, das nach Mühlenthaler
Das würde mir noch einfallen$\ldots$
-%\bibliography{references}
-%\bibliographystyle{plain}
+\bibliography{references}
+\bibliographystyle{plain}
%\listoffigures