-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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+\tikzstyle{vertex active minimum maximum} = [vertex,color=violet!50, fill=violet!50]
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\newpage
\tableofcontents
-\newpage
+\newpage
\section{Motivation und Einleitung}
\subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
Mutation \textit{(vermutlich)} nicht (effizient) möglich.
\end{itemize}
+\newpage
\section{Bekannte konstruktive Sortiernetzwerke}
Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
Schichten, zum Beispiel $\mathcal{O}(\log n)$, angeordnet sind.
Das Interessante am OET-Netzwerk ist seine einfache Konstruktion. Einige der
-folgenden Algorithmen benötigen ein (einfaches) Sortiernetzwerk als
+folgenden Algorithmen benötigen ein möglichst einfaches Sortiernetzwerk als
Starteingabe, auf dessen Basis sie versuchen optimierte Sortiernetzwerke zu
finden. Häufig dient $\operatorname{OET}(n)$ als Eingabe für diese
Algorithmen.
Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk ($\operatorname{BS}(n)$) ist ein
Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{Kenneth~E. Batcher} in~\cite{B1968}
veröffentlicht wurde. Es ist deutlich effizienter als das
-Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk -- sowohl in Bezug auf die Anzahl der
+Odd-Even-Transposi\-tionsort-Netzwerk -- sowohl in Bezug auf die Anzahl der
Komparatoren als auch bezüglich der benötigten Zeit, also der Anzahl der
Schichten.
verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
-Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl eine Zweierpotenz ist,
-$\operatorname{BS}(n = 2^t)$.
+Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist.
+Es ist jedoch möglich das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen.
\subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
\subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht, --~wie
-das \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
+Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht --~wie
+das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even-Mischer}. Die
effizientesten Sortiernetzwerke in Bezuf auf Komparator- und Schichtzahl
entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
$k(n)$ in $\mathcal{O}\left(n \left(\log (n)\right)^2\right)$ enthalten ist.
Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist, kann die
-Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{K.~Batcher}
-zeigt in seiner Arbeit\footnote{\todo{Referenz!}}, dass in diesem Fall
+Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{Kenneth
+Batcher} zeigt in~\cite{B1968}, dass in diesem Fall
\begin{displaymath}
k(n = 2^t) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1
\end{displaymath}
%\item Pairwise sorting-network
%\end{itemize}
+\newpage
\section{Transformation von Sortiernetzwerken}
\subsection{Komprimieren}
\emph{Odd-Even-Mischer} erhält man ein Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das
80~Komparatoren in 11~Schichten benötigt -- $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
82~Komparatoren in 13~Schichten. Damit ist das resultierende Netzwerk so
-schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das \textit{Baddar} und
-\textit{Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step Sorting Network for 18~Elements“
-vorstellen, benötigt aber 6~Komparatoren weniger.
+schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das \textit{Sherenaz~W.
+Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step
+Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber
+6~Komparatoren weniger.
% 9 9
% 9 18
Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem
Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
-$n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können wir auf diese Art und
-Weise einen Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen wieder auf ein Sortiernetzwerk
-mit $n$~Eingängen reduzieren. Das Anwenden mehrerer Minimum- und
-Maximum-Schnitte bezeichnen wir als \emph{Schnittmuster}.
+$n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können auf diese Art und
+Weise einen Sortiernetzwerke mit $2n$~Eingängen wieder auf Sortiernetzwerke
+mit $n$~Eingängen reduziert werden. Mehrere Minimum- und Maximum-Schnitte, die
+gleichzeitig angewendet werden, bezeichnen wir als \emph{Schnittmuster}.
Zwei Schnittmuster heißen \emph{äquivalent} bezüglich~$S$, wenn ihre Anwendung
auf das Sortiernetzwerk~$S$ das selbe Ergebnis liefert. Ansonsten heißen die
auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um
ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein $m$-Sortiernetzwerk zu reduzieren, ergeben
sich insgesamt
-\begin{displaymath}
+\begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster}
\prod_{i=n}^{m+1} 2i = 2^{n-m} \frac{n!}{m!}
\quad (n > m)
-\end{displaymath}
+\end{equation}
\emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
unterschiedlich. Legt man beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung
und das Maximum auf die oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks,
Eingänge unterscheiden, wird anschließend der Komparator entfernt, so dass
sich die Resultate auch in der ersten Schicht nicht unterscheiden.
-\subsubsection{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
-\label{sect:sn-evolution-cut}
-
-Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
-Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
-Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
-möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
-von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem
-Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
-gute Schnittmuster gesucht.
-
-Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster}
-als Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten
-$r$~Schnitte des einen Schnittmusters verwendet und die letzten
-${c-r}$~Schnitte des zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit
-$0 \leqq r \leqq c$.
-
-Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
-auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
-Schnitt-Richtung.
-
-% bitones Mergesort-Netzwerk
-
-In \cite{MW2010} zeigen \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka},
-wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
-durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen
-Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer
-sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
-werden, Komparatoren ein.
-
-Beispeilsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
-Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
-konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk benötigt 68~Komparatoren, 12~weniger
-als das bitone Mergesort-Netzwerk nach Batchers Methode. Gegenüber Batchers
-Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$
-Komparatoren ein.
-
\begin{figure}
\begin{center}
- \input{images/16-ec-1277186619.tex}
+ \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/count-cuts-16.pdf}
\end{center}
- \caption{{\tt images/16-ec-1277186619.tex}: Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen
- und 68~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem
- Algorithmus \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
- $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
- \label{fig:16-ec-1277186619}
+ \caption{Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerke, die durch
+ 8-Schnittmuster aus $\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und
+ $\operatorname{PS}(16)$ hervorgegangen sind. Die Anzahl der
+ unterschiedlichen Netzwerke nach $10^6$~Iterationen ist 3519 für das
+ \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}, 4973 für das \emph{bitone
+ Mergesort-Netzwerk} und 18764 für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}.}
+ \label{fig:count-cuts-16}
\end{figure}
-Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk
-$\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
-Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
-16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in
-Abbildung~\ref{fig:16-ec-1277186619} zu sehen.
-
-% Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk
-
-Betrachtet man das Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:16-ec-1277186619}, so
-ist keine Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$
-erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des Netzwerks scheinen rein
-zufällig zu sein. Dies ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern
-hängt insbesondere von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut}
-beispielsweise mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
-$\operatorname{OET}(n)$ und $m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis
-immer das $\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk.
+Um die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster abschätzen zu können,
+wurden je eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke
+$\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und $\operatorname{PS}(16)$
+angewandt. Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} trägt die Anzahl der
+\emph{unterschiedlichen} Schnittmuster gegen die Anzahl der zufälligen
+Schnittmuster auf. Klar zu sehen ist, dass sich die Anzahl der erzeugten
+Sortiernetzwerke nach $500.000$~Iterationen nur noch gering verändert und der
+Wert nach $1.000.000$~Iterationen allem Anschein nach dem Endwert schon sehr
+nahe ist.
+
+Die Anzahl der 8-Schnittmuster ist entsprechend der
+Formel~\ref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen Schnittmuster
+führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerken: 3519
+($\approx 0,1\%$) im Fall des \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerks}, 4973
+($\approx 0,15\%$) beim \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk} und 18764 ($\approx
+0,57\%$) beim \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}. Zwar ist es möglich, dass mehr
+Iterationen die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster noch wachsen lässt.
+Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der
+Annahme, dass die Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster
+vernachlässigbar klein ist.
+
+Bedingt durch die sehr große Anzahl möglicher Schnittmuster ist dieses
+Experiment für größere Sortiernetzwerke leider nicht sinnvoll durchführbar. Um
+die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu können,
+kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten
+\emph{Monte-Carlo-Methode}. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von
+$k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster
+zufällig erzeugt und überprüft, ob sie sich in der Menge~$S$ enthalten sind.
+Unter der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in $S$
+enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der
+unterschiedlichen Schnittmuster ingesamt entspricht, kann man die Anzahl der
+unterschiedlichen Schnittmuster abschätzen.
\begin{figure}
\begin{center}
- \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-10000-1000000-32.pdf}
\end{center}
- \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
- 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
- $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
- \label{fig:16-ec-from-ps32}
+ \caption{Abschnätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der
+ \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{OES}(32)$ und
+ $\operatorname{BS}(32)$.}
+ \label{fig:collisions-10000-1000000-32}
\end{figure}
-% Pairwise-Sorting-Netzwerk
-
-Anders verhält sich das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
-$\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
-Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert. Startet man
-\textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
-16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, dass die gleiche
-Anzahl an Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
-$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
-Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
-
-Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even-Mischer} nicht
-einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist der
-$\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
-Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
-den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzerke, die
-strukturell identisch zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- die Schichten~1 und~2
-sowie 4~und~5 sind vertauscht, was jeweils zum selben Ergebnis nach dem
-Schichtenpaar führt.
-
-\begin{displaymath}
-\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
- -\infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{0, 6\} \\
- \infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{2, 4\} \\
- ? & \quad \mathrm{sonst}
- \end{array} \right.
-\end{displaymath}
-
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
- \end{center}
- \caption{PS(32) mit 16 Schnitten zu PS(16).}
- \label{fig:ps16-from-ps32}
-\end{figure}
+In Abbildung~\ref{fig:collisions-10000-1000000-32} ist das Ergebnis des
+Monte-Carlo-Algorithmus für 16-Schnittmuster zu sehen, die auf
+$\operatorname{OES}(32)$ und $\operatorname{BS}(32)$ angewandt wurden: Von
+jedem Sortiernetzwerk wurden zunächst eine Menge~$S$ von 10.000
+\emph{unterschiedlichen} Schnittmustern erzeugt. Anschließend wurden 1.000.000
+zufällige Schnittmuster erzeugt und der Anteil der zufälligen Schnittmuster,
+die \emph{äquivalent} zu einem in~$S$ enthalten Schnittmuster sind, berechnet.
+Für $\operatorname{OES}(32)$ war dieser Anteil etwa $0,19 \%$, für
+$\operatorname{BS}(32)$ etwa $0,29 \%$. Das ergibt eine Abschätzung von $5,2
+\cdot 10^6$ unterschiedlichen Schnittmustern für $\operatorname{OES}(32)$ und
+$3,4 \cdot 10^6$ für $\operatorname{BS}(32)$.
\begin{figure}
\begin{center}
- \input{images/16-pairwise.tex}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-100000-1000000-32-ps.pdf}
\end{center}
- \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
- ($\operatorname{MIN}(0,2,4,6), \operatorname{MAX}(9,11,13,15)$). Das
- resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
- \label{fig:16-pairwise}
+ \caption{Abschnätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der
+ \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{PS}(32)$. 385 von 1.000.000
+ zufälligen Schnittmustern waren äquivalent zu einem Schnittmuster in einer
+ Menge von 100.000. Daraus ergibt sich eine Schätzung von $2,6 \cdot 10^8$
+ unterschiedlichen Schnittmustern.}
+ \label{fig:collisions-100000-1000000-32-ps}
\end{figure}
-Wendet man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf $\operatorname{PS}(16)$ an, so kann
-man $\operatorname{OES}(8)$ erhalten.
-
-% Odd-Even-Mergesort-Netzwerk
-
-\todo{Schreibe noch etwas zum Odd-Even-Mergesort-Netzwerk.}
-
-\begin{itemize}
- \item Beispiel: Moritz und Rolfs Optimierung für Bitonic-Sort.
- \item Wie gut kann man durch wegschneiden werden?
- \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk? Oder andersrum: Wieviele
- unterschiedliche Netzwerke kann ich erhalten? Wieviele Nachfolger hat ein
- Netzwerk / Knoten in der Markov-Kette?
- \item Abschnitt „Optimierung der Schnitte“ hier einbauen.
-\end{itemize}
+Im vorherigen Abschnitt wurde das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+$\operatorname{PS}(32)$ nicht betrachtet, da es für dieses Netzwerk viel mehr
+unterschiedliche 16-Schnittmuster gibt als für $\operatorname{OES}(32)$ und
+$\operatorname{BS}(32)$. In Anbetracht der Tatsache, dass die Anzahl der
+unterschiedlichen 8-Schnittmuster für $\operatorname{PS}(16)$ in
+Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} bereits mehr als dreimal größer war als die
+Anzahl für $\operatorname{OES}(16)$ beziehungsweise $\operatorname{BS}(16)$,
+ist dieser Umstand wenig verwunderlich. In einem kombinierten Graphen hätte
+man keine Details mehr erkennen können. Aufgrund der hohen Anzahl
+unterschiedlicher Schnittmuster, wurde für das gleiche Experiment mit
+$\operatorname{PS}(32)$ eine initiale Menge von 100.000 unterschiedilchen
+Schnittmustern erzeugt. Trotzdem wurden nach 1.000.000 Iterationen nur 385
+Schnittmuster gefunden, die zu einem Schnittmuster in der Menge äquivalent
+sind. Daraus ergibt sich eine Abschätzung von $2,6 \cdot 10^8$
+unterschiedlichen Schnittmustern -- zwei Zehnerpotenzen mehr als bei den
+vorherigen Sortiernetzwerken, aber immernoch fünf Zehnerpotenzen kleiner als
+die Anzahl der \emph{möglichen} Schnittmuster.
+\newpage
\section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus}
Um einen evolutionären Algorithmus für Sortiernetzwerke zu entwickeln, werden
\begin{itemize}
\item So gut kann man mindestens werden {\em ($\rightarrow$ Bitonic-Mergesort, vermute ich)}.
\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \em{Mischer} ab.
+\item Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.
+\end{itemize}
+
+%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
+
+\newpage
+\section{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
+\label{sect:sn-evolution-cut}
+
+Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
+Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
+Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
+möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
+von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem
+Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
+gute Schnittmuster gesucht.
+
+Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster}
+als Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten
+$r$~Schnitte des einen Schnittmusters verwendet und die letzten
+${c-r}$~Schnitte des zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit
+$0 \leqq r \leqq c$.
+
+Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
+auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
+Schnitt-Richtung.
+
+\subsection{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
+
+In \cite{MW2010} zeigen \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka},
+wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
+durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen
+Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer
+sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
+werden, Komparatoren ein.
+
+Beispeilsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
+Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
+konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk benötigt 68~Komparatoren, 12~weniger
+als das bitone Mergesort-Netzwerk nach Batchers Methode. Gegenüber Batchers
+Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$
+Komparatoren ein.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-bs32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}
+ $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-bs32}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-bs32-normalized.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+ $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
+\end{figure}
+
+Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+$\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
+Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
+16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in den
+Abbildungen~\ref{fig:16-ec-from-bs32} und~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
+zu sehen. Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} zeigt $\operatorname{BS}(32)$
+und das
+${\operatorname{MIN}(0,5,9,11,15,17,20,22,26,29,30)}$-${\operatorname{MAX}(2,4,13,19,24)}$-Schnittmuster,
+das durch \textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
+nachdem das Schnittmuster angewandt und das Netzwerk normalisiert wurde. Eine
+Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist in
+diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des
+Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
+
+\begin{figure}
+ % 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
+ % 23:MIN 24:MAX 25:MAX 30:MIN 31:MIN 32:MAX 34:MAX 36:MIN 37:MAX 40:MAX
+ % 43:MAX 46:MIN 47:MAX 48:MAX 49:MAX 54:MIN 55:MAX 56:MAX 58:MIN 60:MAX
+ % 63:MAX
+ \begin{center}
+ \input{images/32-ec-from-bs64.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen und 206~Komparatoren in
+ 15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+ $\operatorname{BS}(64)$ durch 32~Schnitte erzeugt. Das zugehörige
+ Schnittmuster ist
+ $\operatorname{MIN}(4, 14, 23, 30, 31, 36, 46, 54, 58)$,
+ $\operatorname{MAX}(0, 1, 6, 9, 11, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 32, 34, 37,
+ 40, 43, 47, 48, 49, 55, 56, 60, 63)$.}
+ \label{fig:32-ec-from-bs64}
+\end{figure}
+
+Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} von \textit{Wanka}, die den bitonen
+Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
+konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
+$\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen
+Größen, beispielsweise wenn man $\operatorname{BS}(64)$ auf ein
+32-Sortiernetzwerk reduziert, kann das Ergebnis sogar noch übertroffen werden,
+wie in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} zu sehen: Ein nach Batchers Methode
+konstruiertes Sortiernetzwerk benötigt 240~Komparatoren, ein aus den
+optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk verbessert die Kosten auf
+208~Komparatoren. Das in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} dargestellte
+Sortiernetzwerk benötigt lediglich 206~Komparatoren. Die Komparatoren aller
+dieser Netzwerke können in 15~Schichten angeordnet werden, so dass die
+Verzögerung dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
+
+Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
+unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
+gute Schnittmuster anzugeben.
+
+Entscheidend für das Ergebnis eines Schnittmusters scheint beim bitonen
+Mergesort-Netzwerk die Aufteilung der Minimum- und Maximumschnitte zu sein.
+Von Hundert 16-Schnittmustern für $\operatorname{BS}(32)$, die in
+Sortiernetzwerken mit 68~Komparatoren in 10~Schichten resultieren, hatten 73
+ein Verhältnis von $5/11$, 13 hatten ein Verhältnis von $4/12$ und 14 hatten
+ein Verhältnis von $3/13$ Minimum- beziehungsweise Maximumschnitten. Da sich
+die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des bitonen Mergesort-Netzwerks
+leicht invertieren lassen, werden der Fall, dass es mehr Minimumschnitte, und
+der Fall, dass es mehr Maximumschnitte gibt, nicht unterschieden.
+
+Dass die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution-Cut} keine erkennbare Struktur
+haben, ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere
+von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} $\operatorname{OET}(n)$ und
+$m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
+$\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+ $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-ps32}
+\end{figure}
+
+\subsection{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+
+Anders verhält sich das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+$\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
+Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert. Startet man
+\textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
+16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, dass die gleiche
+Anzahl an Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
+$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
+
+Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even-Mischer} nicht
+einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist der
+$\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
+den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzerke, die
+strukturell identisch zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
+Schichten~1 und~2 sowie 4~und~5 sind vertauscht.
+
+\begin{displaymath}
+\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
+ -\infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{0, 6\} \\
+ \infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{2, 4\} \\
+ ? & \quad \mathrm{sonst}
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
+ \end{center}
+ \caption{PS(32) mit 16 Schnitten zu PS(16).}
+ \label{fig:ps16-from-ps32}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-pairwise.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
+ ($\operatorname{MIN}(0,2,4,6), \operatorname{MAX}(9,11,13,15)$). Das
+ resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
+ \label{fig:16-pairwise}
+\end{figure}
+
+Wendet man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf $\operatorname{PS}(16)$ an, so kann
+man $\operatorname{OES}(8)$ erhalten.
+
+\subsection{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+
+\todo{Schreibe noch etwas zum Odd-Even-Mergesort-Netzwerk.}
+
+\begin{itemize}
+ \item Beispiel: Moritz und Rolfs Optimierung für Bitonic-Sort.
+ \item Wie gut kann man durch wegschneiden werden?
+ \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk? Oder andersrum: Wieviele
+ unterschiedliche Netzwerke kann ich erhalten? Wieviele Nachfolger hat ein
+ Netzwerk / Knoten in der Markov-Kette?
+ \item Abschnitt „Optimierung der Schnitte“ hier einbauen.
\end{itemize}
+\newpage
\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
hervorgehen können, heißen \emph{Nachfolger} von $S_0$.
Beim beschriebenen Vorgehen kann man die Sortiernetzwerke als Knoten in einem
-gerichteten Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
+(gerichteten) Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
Sortiernetzwerke $S_0$ und $S_1$ repräsentieren, sind genau dann mit einer
-Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von $S_0$
-ist, das heißt dass man $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
+Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von
+$S_0$ ist, das heißt dass man $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
selbst erzeugen kann.
Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben ist die Anzahl
-(unterschiedlichen) Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger sehr
+(unterschiedlicher) Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger sehr
groß. Wenn $S_0$ ein Sortiernetzwerk mit $n$~Leitungen ist, so hat $S_0$ bis
zu
\begin{displaymath}
\end{displaymath}
Nachfolger.
-Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Graph einen zufälligen Weg
-(englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem gegebenen
-Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu gelangen
-rekombiniert er das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich selbst und erhält so
-einen zufälligen Nachfolger.
+Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
+zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem
+gegebenen Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu
+gelangen, rekombiniert der Algorithmus das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich
+selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger.
\begin{itemize}
\item $n \leftarrow \mathrm{Input}$
\begin{figure}
\begin{center}
- \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-16.pdf}
+ \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}
\end{center}
- \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen), die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden.}
- \label{fig:markov-comparators-16}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 12~Leitungen),
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+ \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 40)$ mit $k = 8,267$ und $\theta = 0,962$.}
+ \label{fig:markov-comparators-12}
\end{figure}
-%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
-
-\section{Optimierung der Schnitte}
-
-\todo{In den Abschnitt "`Leitungen entfernen"' einbauen.}
-
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/32-ec-1277190372.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/32-ec-1277190372.tex}: Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen
- und 206~Komparatoren in 15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem Bitonic-Mergesort-Netzwerk $BS(64)$ durch
- 32~Schnitte erzeugt.}
-\label{fig:32-ec-1277190372}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+ \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
+ \label{fig:markov-comparators-14}
\end{figure}
-Abbildung~\ref{fig:32-ec-1277190372} zeigt ein 32-Sortiernetzwerk, dass vom
-\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus aus dem $BS(64)$-Netzwerk erzeugt wurde.
-Es besteht aus 206~Komparatoren in 15~Schichten -- 34~Komparatoren weniger als
-$BS(32)$ und zwei Komparatoren weniger als das Netzwerk, das nach Mühlenthaler
-und Wankas Methode konstruiert wird. Die Anzahl der Schichten ist bei allen
-Netzwerken gleich.
-
-\textbf{TODO:} $BS(128) \rightarrow n=64$: 584~Komparatoren in 21~Schichten
-möglich (nach ca. 600k Iterationen). Moritz und Rolf: $672-80=592$
-Komparatoren; $BS(64)$: 672~Komparatoren.
-
-Schnitt-Sequenz:
-MIN( 92)
-MAX( 80)
-MIN(100)
-MAX( 54)
-MAX(102)
-MAX( 53)
-MAX(105)
-MAX( 6)
-MAX( 99)
-MAX( 79)
-MAX( 26)
-MIN(111)
-MAX( 12)
-MIN( 22)
-MAX( 61)
-MAX( 72)
-MAX( 68)
-MIN( 80)
-MAX( 80)
-MAX( 99)
-MAX(105)
-MAX( 0)
-MIN( 8)
-MAX( 40)
-MAX( 74)
-MAX( 40)
-MAX( 40)
-MIN( 56)
-MAX( 27)
-MAX( 13)
-MAX( 1)
-MAX( 81)
-MAX( 17)
-MAX( 4)
-MIN( 36)
-MIN( 22)
-MAX( 13)
-MIN( 72)
-MAX( 24)
-MAX( 5)
-MIN( 10)
-MAX( 59)
-MIN( 37)
-MAX( 65)
-MAX( 46)
-MAX( 73)
-MAX( 58)
-MAX( 29)
-MAX( 65)
-MIN( 23)
-MAX( 56)
-MAX( 11)
-MIN( 75)
-MIN( 51)
-MIN( 46)
-MIN( 34)
-MAX( 32)
-MAX( 6)
-MAX( 37)
-MIN( 4)
-MIN( 28)
-MIN( 20)
-MAX( 33)
-MAX( 34)
-
-% images/32-ec-1277190372.tex
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+ \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
+ \label{fig:markov-comparators-16}
+\end{figure}
+\newpage
\section{Empirische Beobachtungen}
\begin{itemize}
\item $\ldots$
\end{itemize}
+\newpage
\section{Ausblick}
Das würde mir noch einfallen$\ldots$
+\newpage
+\section{Implementierung}
+
+So habe ich die ganzen Versuche durchgeführt.
+
+\newpage
\bibliography{references}
\bibliographystyle{plain}
projects / diplomarbeit.git / blobdiff