\end{table}
\textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka} zeigen in~\cite{MW2010},
-wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
-durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen
-Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer
-sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
-werden, Komparatoren ein.
-
-Beispielsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
-Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
-konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk be\-nö\-tigt 68~Komparatoren,
-12~weniger als das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk nach Batchers Methode.
-Gegenüber Batchers Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke
-${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren ein.
+wie ein \emph{bitoner Mischer} $\bm{n = 2^d}$, der nach Batchers Methode
+konstruiert wurde, durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen
+ebenfalls bitonen Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert werden
+kann, so dass dieser alternative Mischer im Vergleich zu $\bm{\frac{n}{2} =
+2^{d-1}}$ Komparatoren einspart.
+
+Basierend auf diesen alternativen Mischern geben \textit{Mühlenthaler} und
+\textit{Wanka} eine Konstruktionsvorschrift für Sortiernetzwerke an, die
+gegenüber \bs{n} ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren einspart.
+Beispielsweise wird ein 16-Sortiernetzwerk angegeben, das nur 68~Komparatoren
+benötigt. Dieses Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-muehlenthaler}
+dargestellt.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-muehlenthaler.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde 2010 von \textit{Mühlenthaler} und
+ \textit{Wanka} aus optimierten bitonen Mischern konstruiert und
+ in~\cite{MW2010} veröffentlicht.}
+ \label{fig:16-muehlenthaler}
+\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
29, 30)}$, ${\operatorname{MAX}(2, 4, 13, 19, 24)}$, das durch
\textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
-nachdem das Schnittmuster angewandt und das Netzwerk normalisiert wurde. Eine
-Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist in
-diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des
-Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
+nachdem das Schnittmuster angewendet und das Netzwerk normalisiert wurde.
+% Eine Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist
+% in diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten
+% des Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
\begin{figure}
% 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
\label{fig:32-ec-from-bs64}
\end{figure}
-Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka}, die den bitonen
-Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
-konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
-$\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen
-Größen, beispielsweise wenn man $\operatorname{BS}(64)$ auf ein
-32-Sortiernetzwerk reduziert, kann das Ergebnis sogar noch übertroffen werden,
-wie in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} zu sehen: Ein nach Batchers Methode
-konstruiertes Sortiernetzwerk benötigt 240~Komparatoren, ein aus den
-optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk verbessert die Kosten auf
-208~Komparatoren. Das in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} dargestellte
-Sortiernetzwerk benötigt lediglich 206~Komparatoren. Die Komparatoren aller
-dieser Netzwerke können in 15~Schichten angeordnet werden, so dass die
-Geschwindigkeit dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
-
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
-\hline
-Leitungen & Komparatoren & Schichten & Komparatoren & Schichten \\
- & \textsc{SN-EC} & \textsc{SN-EC} & \bs{n} &
- \bs{n} \\
-\hline
-11 & 37 & 9 & 39 & 10 \\
-12 & 42 & 9 & 46 & 10 \\
-19 & 93 & 13 & 98 & 14 \\
-20 & 102 & 13 & 106 & 14 \\
-% 20: # sn-cut 2:MAX 3:MIN 4:MIN 9:MIN 10:MIN 13:MIN 14:MIN 15:MIN 19:MIN 20:MAX 24:MAX 26:MIN 27:MAX 29:MIN 31:MAX 33:MIN 34:MAX 35:MIN 37:MIN 39:MAX
-21 & 109 & 14 & 114 & 15 \\
-22 & 116 & 14 & 123 & 15 \\
-23 & 124 & 14 & 133 & 15 \\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{center}
-
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/23-ec-from-bs46-fast.tex}
- \end{center}
- \caption{23-Sortiernetzwerk mit 124~Komparatoren in 14~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{46} mit dem
- Schnittmuster $\operatorname{MIN}(2, 4, 9, 12, 20, 22, 28, 30, 32, 33, 37,
- 38, 41)$, $\operatorname{MAX}(1, 5, 16, 19, 21, 24, 25, 35, 36, 43)$
- erzeugt.}
- \label{fig:23-ec-from-bs46}
-\end{figure}
+Wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \bs{64}-Netzwerk und $k = 32$ gestartet
+wird, findet der Algorithmus 32-Sortiernetzwerke, die effizienter sind als
+32-Sortiernetzwerke, die nach \textit{Mühlenthalers} und \textit{Wankas}
+Methode konstruiert werden. Ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{64}
+generiertes 32-Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64}
+dargestellt. Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{32} benötigt
+240~Komparatoren, ein aus den optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk
+verbessert die Effizienz auf 208~Komparatoren. Das Ergebnis von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} kommt mit nur 206~Komparatoren aus. Die
+Geschwindigkeit aller genannten Sortiernetzwerke ist mit 15 parallelen
+Schritten identisch.
+
+Wenn die Leitungszahl des Eingabenetzwerks keine Zweierpotenz ist, kann
+\textsc{SN-Evo\-lu\-tion-Cut} auch 16-Sortiernetzwerke erzeugen, die diese
+Effizienz unterbieten. Das geht aus den Daten in
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency} hervor. Ein 16-Sortiernetzwerk mit
+67~Komparatoren, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} generiert wurde, ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} dargestellt.
Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
Mergesort}-Netzwerks leicht invertieren lassen, ist eine Fallunterscheidung --
mehr Minimum- oder mehr Maximumschnitte -- nicht notwendig.
-Dass die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution-Cut} keine erkennbare Struktur
-haben, ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere
-von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
-\emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} $\operatorname{OET}(n)$ und
+Dass die Sortiernetzwerke, die mit den Schnittmustern von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} entstehen, keine erkennbare Struktur haben, ist
+jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere von der
+Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(n)$ und
$k$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
$\operatorname{OET}(n-k)$-Netzwerk.
\subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
\label{sect:sn-evolution-cut:oes}
+Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+\oes{n} gestartet, gibt der Algorithmus meist Sortiernetzwerke zurück, die
+genauso effizient und schnell wie das entsprechende
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{m} sind. Die Effizienz der
+Sortiernetzwerke, die mit Schnittmustern von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus
+\oes{n} entstehen können, zeigt Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-efficiency}
+tabellarisch.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 19 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 19 & 26 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 19 & 26 & 31 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 19 & 26 & 31 & 37 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
+ 17 & 19 & 26 & 31 & 38 & 41 & 48 & 53 & 59 & 63 & & & & & & & \\
+ 18 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & & & & & & \\
+ 19 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & & & & & \\
+ 20 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & & & & \\
+ 21 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & & & \\
+ 22 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & & \\
+ 23 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & \\
+ 24 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & 122 \\
+\hline
+\end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-oes-efficiency}
+\end{table}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 38~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{17} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-oes17-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-oes17-fast}}
+ \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{18} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-oes18-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes18-fast}}
+ \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m = 10$ und $m =
+ 11$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
+ erzeugen, die \emph{schneller} aber weniger \emph{effizient} als \oes{m}
+ sind.}
+ \label{fig:ec-oes-fast_networks}
+\end{figure}
+
+Die Bewertungsfunktion, die \textsc{SN-Evolution-Cut} verwendet, bevorzugt
+schnelle Sortiernetzwerke. Dadurch kann es vorkommen, dass ein
+$m$-Sortiernetzwerk, das durch ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenes
+Schnittmuster entsteht, schneller als \oes{m} ist. Diese Geschwindigkeit
+war allerdings in allen beobachteten Fällen nur dann möglich, wenn
+zusätzliche Komparatoren in Kauf genommen wurden. In den
+Tabellen~\ref{tbl:ec-oes-efficiency} und~\ref{tbl:ec-oes-speed} ist dieser
+Fall für $m = 11$ und $k \geqq 6$, beziehungsweise $m = 12$ und $k \geqq 6$ zu
+beobachten. Die entsprechenden schnellen Sortiernetzwerke sind in
+Abbildung~\ref{fig:ec-oes-fast_networks} dargestellt.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
+ 17 & 6 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
+ 18 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
+ 19 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
+ 20 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
+ 21 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
+ 22 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
+ 23 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
+ 24 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\oes{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-oes-speed}
+\end{table}
+
In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster die konstruktiven Sortiernetzwerke
$\operatorname{OES}(32)$, $\operatorname{BS}(32)$ und $\operatorname{PS}(32)$
Sortiernetzwerk ist insbesondere, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} mit der
Eingabe \bs{46} ein besseres Ergebnis liefert als mit der Eingabe \oes{46}. In
beiden Fällen wird ein Sortiernetzwerk zurückgegeben, das im Vergleich zu
-\bs{23} beziehungsweise \oes{23} eine Schicht einspart. Allerdings ist das
-Sortiernetzwerk auf Basis von \bs{46} (Abbildung~\ref{fig:23-ec-from-bs46})
-effizienter, da es nur 124~Komparatoren benötigt.
+\bs{23} beziehungsweise \oes{23} eine Schicht einspart.
\begin{figure}
\begin{center}
Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \ps{n} an, jede
Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
Ausgabenetzwerks.}
- \label{tbl:ec-ps-fast}
+ \label{tbl:ec-ps-speed}
\end{table}
Das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} $\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian
projects / diplomarbeit.git / blobdiff