\begin{center}
\input{images/oe-transposition-8.tex}
\end{center}
- \caption{Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit acht Eingängen.}
+ \caption{Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit 8~Eingängen.}
\label{fig:odd-even-transposition-08}
\end{figure}
\begin{center}
\input{images/batcher-8.tex}
\end{center}
- \caption{\bs{8}, Batchers \emph{bitones Mergesort}-Netzwerk für acht
- Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von \bs{4} (rot), die beiden
- bitonen Mischer~\bm{4} (blau) und die Komparatoren, die im letzten
- rekursiven Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
+ \caption{\bs{8}, Batchers \emph{bitones Mergesort}-Netzwerk für 8~Eingänge.
+ Markiert sind die beiden Instanzen von \bs{4} (rot), die beiden bitonen
+ Mischer~\bm{4} (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven
+ Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
\label{fig:bitonic-08}
\end{figure}
\begin{center}
\input{images/oe-mergesort-8.tex}
\end{center}
- \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge. Markiert
+ \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für 8~Eingänge. Markiert
sind die Instanzen von $\operatorname{OES}(4)$ (rot), die beiden
\emph{Odd-Even}-Mischer $\operatorname{OEM}(4)$ für gerade und ungerade
Leitungen (blau) und die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügten
In Abbildung~\ref{fig:odd-even-mergesort-08} ist das \oes{8}-Sortiernetzwerk
zu sehen. Rot markiert sind die beiden rekursiven Instanzen
$\operatorname{OES}(4)$. Die anderen Blöcke stellen den
-\emph{Odd-Even}-Mischer für acht Leitungen dar: die beiden blauen Blöcke sind
+\emph{Odd-Even}-Mischer für 8~Leitungen dar: die beiden blauen Blöcke sind
die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
die Komparatoren, die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
zusammenfügen.
Beispielsweise kann die Ausgabe von zwei \emph{bitonen Mergesort-Netzwerken}
-$\operatorname{BS}(8)$ mit je acht Leitungen mit dem
+$\operatorname{BS}(8)$ mit je 8~Leitungen mit dem
\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM(8,8)}$ zu einer sortierten
Gesamtfolge zusammengefügt werden. Das resultierende Sortiernetzwerk besitzt
73~Komparatoren (zum Vergleich: $\operatorname{BS}(16)$ benötigt
\subsection{Selektion}
-Die \emph{Selektion} sorgt dafür, dass bessere Individuen eine größere
-Wahrscheinlichkeit haben zur nächsten Generation beizutragen. Diese
-Ungleichbehandlung von Individuen verschiedener Güte ist der Grund für das
-Streben des Algorithmus nach besseren Lösungen.
+Als \emph{Selektion} wird der Vorgang bezeichnet, der zwei Individuen zufällig
+aus der Population auswählt. Sie werden im folgenden Schritt miteinander
+rekombiniert. Die Auswahl der Individuen erfolgt zufällig, aber nicht
+gleichverteilt. So sorgt die \emph{Selektion} dafür, dass bessere Individuen
+eine größere Wahrscheinlichkeit haben zur nächsten Generation beizutragen.
+Diese Ungleichbehandlung von Individuen verschiedener Güte ist der Grund für
+das Streben des Algorithmus nach besseren Lösungen.
Obwohl dieser Vorteil für gute Individuen intuitiv als sehr gering erscheint,
-ist es sehr häufig, dass die \emph{Exploitation} überhand gewinnt und der
-Algorithmus vorschnell in Richtung eines lokalen Optimums optimiert.
+passiert es häufig, dass die Ausnutzung \emph{(Exploitation)} überhand gewinnt
+und der Algorithmus vorschnell in Richtung eines lokalen Optimums optimiert.
-Die in \textsc{SN-Evolution} implementierte Selektion lässt sich mithilfe von
-Pseudocode wie folgt beschreiben:
+Die in \textsc{SN-Evolution} implementierte Selektion eines Individuums lässt
+sich mit Pseudocode wie folgt beschreiben:
\begin{verbatim}
Gütesumme := 0
Auswahl := (leer)
gib Auswahl zurück
\end{verbatim}
+Diese Auswahl wird zweimal ausgeführt, um zwei Individuen für die
+Rekombination zu erhalten. Das heißt, dass die Individuen bei
+\textsc{SN-Evolution} stochastisch unabhängig voneinander ausgewählt werden.
+
\subsection{Rekombination}
\label{sect:sn-evolution:rekombination}
in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als Individuen.
Ein Individuum besteht aus einer Liste von $n$~Zahlen, die entweder 1, $-1$
oder 0 sind. Dieser Werte entsprechen Maximum, Minimum und unbelegt. Bei einem
-$k$-Schnittmuster sind genau $k$ Zahlen nicht Null.
+$k$-Schnittmuster sind genau $k$ Zahlen ungleich Null.
Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Werte des einen
Schnittmusters und die letzten ${n-r}$~Schnitte des zweiten Schnittmusters
\subsection[Bitones Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
\label{sect:sn-evolution-cut:bs}
+Wenn der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit dem \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerk \bs{n} gestartet wird und $k$~Leitungen entfernen soll,
+ergeben die gefundenen Schnittmuster in vielen Fällen effizientere Netzwerke
+als \bs{n-k}. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit \bs{22} und $k
+= 6$ gestartet, resultiert das gefundene Schnittmuster in einem
+Sortiernetzwerk mit 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{16}
+benötigt. Eines der Sortiernetzwerke, die auf diese Art und Weise generiert
+wurde, ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} zu sehen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-bs22.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 67~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk
+ $\operatorname{BS}(22)$ durch das 6-Schnittmuster $\operatorname{MIN}(4,
+ 10, 17)$, $\operatorname{MAX}(7, 15, 20)$ erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-bs22}
+\end{figure}
+
+Eine Übersicht über die Effizienz der Ergebnisse, die mit dem \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerk als Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} erzielt wurden,
+gibt Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency}. \textsc{SN-E\-vo\-lu\-tion-Cut} wurde
+mit \bs{n}, $n = 9 \dots 24$ und $k = 1 \dots (n-8)$ gestartet. Die Konstanten
+der Bewertungsfunktion waren $w_{\mathrm{Basis}} = 0$,
+$w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$ und $w_{\mathrm{Schichten}} = n$. In jeder
+Zeile befinden sich die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk, in den Spalten
+befinden sich die Ergebnisse für eine Leitungszahl $m=n-k$ des
+Ausgabenetzwerks. In den Zellen stehen jeweils die Anzahl der Komparatoren des
+resultierenden Netzwerks. Die letzte Zeile enthält die Anzahl der
+Komparatoren, die \bs{m} benötigt, um die Ergebnisse besser einordnen zu
+können.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+ \hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+ \hline
+ 9 & 21 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 20 & 27 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 20 & 26 & 32 & 39 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & 70 & & & & & & & & \\
+ 17 & 20 & 26 & 32 & 37 & 43 & 50 & 57 & 65 & 74 & & & & & & & \\
+ 18 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 49 & 56 & 63 & 71 & 82 & & & & & & \\
+ 19 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 48 & 55 & 62 & 70 & 79 & 88 & & & & & \\
+ 20 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 86 & 95 & & & & \\
+ 21 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 85 & 94 & 103 & & & \\
+ 22 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 67 & 77 & 84 & 93 & 102 & 112 & & \\
+ 23 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & \\
+ 24 & 20 & 26 & 32 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & 133 \\
+ \hline
+\bs{m} & 24 & 28 & 33 & 39 & 46 & 53 & 61 & 70 & 80 & 85 & 91 & 98 & 106 & 114 & 123 & 133 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
+ Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
+ die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
+ Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-bs-efficiency}
+\end{table}
+
+Zu sehen ist, dass jedes einzelne Ergebnis von \textsc{SN-Evolution-Cut}
+mindestens so effizient wie das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit der
+gleichen Leitungszahl ist. Außerdem enthält jede Spalte (mit Ausnahme von
+$m=23$) ein Ergebnis, das effizienter als \bs{m} ist.
+
+In zahlreichen Fällen reicht das Entfernen einer einzigen Leitung aus, um ein
+effizientes Ergebnis zu erzielen. Das Ergebnis, das \textsc{SN-Evolution-Cut}
+gestartet mit \bs{20} und $k = 1$ erreicht, benötigt mit 95~Komparatoren
+3~weniger als \bs{19}.
+
+Bei anderen Größen ergeben erst größere~$k$ effiziente Sortiernetzwerke,
+beispielsweise bei $m = 10$: erst für $n = 18$, $k = 8$ wird ein
+Sortiernetzwerk mit 31~Komparatoren gefunden.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[10-Sortiernetzwerk aus 31~Komparatoren in 8~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{19} erzeugt.]{\input{images/10-ec-from-bs19-fast.tex}\label{fig:10-ec-from-bs19-fast}}
+ \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{18} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-bs18-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-bs18-fast}}
+ \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 42~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{22} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-bs22-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-bs22-fast}}
+ \subfigure[19-Sortiernetzwerk aus 92~Komparatoren in 13~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{37} erzeugt.]{\input{images/19-ec-from-bs37-fast.tex}\label{fig:19-ec-from-bs37-fast}}
+ \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m \in \{10, 11,
+ 12, 19\}$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
+ erzeugen, die \emph{schneller} und \emph{effizienter} als \bs{m} sind.}
+ \label{fig:ec-bs-fast_networks}
+\end{figure}
+
+Bei einigen Werten für die Ziel-Leitungsanzahl $m$ kann der
+\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Ergebnisse erzielen, die schneller als
+das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{m} sind. In
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-speed} sind die Schichten, die die Ergebnisse von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} benötigen, um die Eingabe zu sortieren, aufgelistet.
+Jede Zeile enthält die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n}, jede Spalte
+enthält die Ergebnisse für eine Ziel-Leitungszahl $m = n-k$. Die Zellen
+enthalten die Anzahl der Schichten des jeweiligen Ergebnis-Netzwerks.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
+ 17 & 6 & 8 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
+ 18 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
+ 19 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
+ 20 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
+ 21 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
+ 22 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
+ 23 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
+ 24 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\bs{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
+ Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
+ die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
+ Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-bs-speed}
+\end{table}
+
+Für die Ziel-Leitungszahlen 9, 10 und 11 wurden Schnittmuster gefunden, die
+schnelle Sortiernetzwerke erzeugen. Beispiele für schnelle Sortiernetzwerke,
+die mit den von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenen Schnittmustern erzeugt
+werden können, sind in Abbildung~\ref{fig:ec-bs-fast_networks} dargestellt.
+
+Bei der Betrachtung der Effizienz wurde festgestellt, dass oft schon das
+Entfernen einer einzigen Leitung zu eines effizienteren Ergebnis als \bs{m}
+führt. Bei der Geschwindigkeit ist die Anzahl der Leitungen, die entfernt
+werden müssen, um schnellere Netzwerke zu erzielen, größer. Um eine Schicht
+einzusparen waren bei $m = 10$ und $m = 11$ $k = 6$ Schnitte notwendig. Bei $m
+= 9$ war sogar ein 7-Schnittmuster notwendig, um die Anzahl der Schichten zu
+reduzieren. Für schnelle \emph{und} effiziente Netzwerke musste $k$ teilweise
+noch größer gewählt werden.
+
+Die Effizienz und Geschwindigkeit der Sortiernetzwerke, die von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk erzeugten
+werden, ist für $m = 19$ und $n = 20 \dots 38$ ($k = 1 \dots 19$) in
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-19} aufgelistet. Erst, wenn $k \geqq 6$ ist, wird im
+Vergleich zu \bs{19} eine Schicht eingespart. Für $n = 36$ ($k = 17$) und $n =
+37$ ($k = 18$) werden Sortiernetzwerke ausgegeben, die schneller als \bs{19}
+und \oes{19} sind und nur einen Komparator mehr als \oes{19} benötigen. Ein
+Beispiel für ein solches Netzwerk ist in
+Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} zu sehen.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|r|r|}
+ \hline
+ $n$ & Komp. & Schichten \\
+ \hline
+ 20 & 95 & 14 \\
+ 21 & 94 & 14 \\
+ 22 & 93 & 14 \\
+ 23 & 93 & 14 \\
+ 24 & 93 & 14 \\
+ 25 & 96 & 13 \\
+ 26 & 96 & 13 \\
+ 27 & 96 & 13 \\
+ 28 & 96 & 13 \\
+ 29 & 95 & 13 \\
+ 30 & 96 & 13 \\
+ 31 & 95 & 13 \\
+ 32 & 96 & 13 \\
+ 33 & 93 & 13 \\
+ 34 & 94 & 13 \\
+ 35 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 36 & 92 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ 37 & 92 & 13 \\
+ 38 & 93 & 13 \\
+ \hline
+ \bs{19} & 98 & 14 \\
+ \oes{19} & 91 & 14 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von 19-Sortiernetzwerken, die
+ von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{n}, $n = 20, \dots, 38$ erzeugt
+ wurden. Für $k \geqq 6$ ergeben sich Sortiernetzwerke, die schneller als
+ \bs{19} sind. Mit $k \in \{14, 16, 19\}$ erreichen die Ergebnisse mit
+ 13~Schichten die Effizienz der vorherigen
+ Ergebnisse mit 14~Schichten, mit $k = 17$ und $k = 18$ wird diese
+ Effizienz noch übertroffen. Ein 19-Sortiernetzwerk, das aus \bs{37}
+ auf diese Art erzeugt wurde, ist in
+ Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} dargestellt.}
+ \label{tbl:ec-bs-19}
+\end{table}
+
\textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka} zeigen in~\cite{MW2010},
-wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
-durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen
-Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer
-sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
-werden, Komparatoren ein.
-
-Beispielsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
-Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
-konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk be\-nö\-tigt 68~Komparatoren,
-12~weniger als das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk nach Batchers Methode.
-Gegenüber Batchers Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke
-${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren ein.
+wie ein \emph{bitoner Mischer} $\bm{n = 2^d}$, der nach Batchers Methode
+konstruiert wurde, durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen
+ebenfalls bitonen Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert werden
+kann, so dass dieser alternative Mischer im Vergleich zu $\bm{\frac{n}{2} =
+2^{d-1}}$ Komparatoren einspart.
+
+Basierend auf diesen alternativen Mischern geben \textit{Mühlenthaler} und
+\textit{Wanka} eine Konstruktionsvorschrift für Sortiernetzwerke an, die
+gegenüber \bs{n} ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren einspart.
+Beispielsweise wird ein 16-Sortiernetzwerk angegeben, das nur 68~Komparatoren
+benötigt. Dieses Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-muehlenthaler}
+dargestellt.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-muehlenthaler.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde 2010 von \textit{Mühlenthaler} und
+ \textit{Wanka} aus optimierten bitonen Mischern konstruiert und
+ in~\cite{MW2010} veröffentlicht.}
+ \label{fig:16-muehlenthaler}
+\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
29, 30)}$, ${\operatorname{MAX}(2, 4, 13, 19, 24)}$, das durch
\textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
-nachdem das Schnittmuster angewandt und das Netzwerk normalisiert wurde. Eine
-Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist in
-diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des
-Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
+nachdem das Schnittmuster angewendet und das Netzwerk normalisiert wurde.
+% Eine Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist
+% in diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten
+% des Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
\begin{figure}
% 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
\label{fig:32-ec-from-bs64}
\end{figure}
-Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka}, die den bitonen
-Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
-konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
-$\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen
-Größen, beispielsweise wenn man $\operatorname{BS}(64)$ auf ein
-32-Sortiernetzwerk reduziert, kann das Ergebnis sogar noch übertroffen werden,
-wie in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} zu sehen: Ein nach Batchers Methode
-konstruiertes Sortiernetzwerk benötigt 240~Komparatoren, ein aus den
-optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk verbessert die Kosten auf
-208~Komparatoren. Das in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} dargestellte
-Sortiernetzwerk benötigt lediglich 206~Komparatoren. Die Komparatoren aller
-dieser Netzwerke können in 15~Schichten angeordnet werden, so dass die
-Geschwindigkeit dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
+Wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \bs{64}-Netzwerk und $k = 32$ gestartet
+wird, findet der Algorithmus 32-Sortiernetzwerke, die effizienter sind als
+32-Sortiernetzwerke, die nach \textit{Mühlenthalers} und \textit{Wankas}
+Methode konstruiert werden. Ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{64}
+generiertes 32-Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64}
+dargestellt. Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{32} benötigt
+240~Komparatoren, ein aus den optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk
+verbessert die Effizienz auf 208~Komparatoren. Das Ergebnis von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} kommt mit nur 206~Komparatoren aus. Die
+Geschwindigkeit aller genannten Sortiernetzwerke ist mit 15 parallelen
+Schritten identisch.
+
+Wenn die Leitungszahl des Eingabenetzwerks keine Zweierpotenz ist, kann
+\textsc{SN-Evo\-lu\-tion-Cut} auch 16-Sortiernetzwerke erzeugen, die diese
+Effizienz unterbieten. Das geht aus den Daten in
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency} hervor. Ein 16-Sortiernetzwerk mit
+67~Komparatoren, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} generiert wurde, ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} dargestellt.
Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
Mergesort}-Netzwerks leicht invertieren lassen, ist eine Fallunterscheidung --
mehr Minimum- oder mehr Maximumschnitte -- nicht notwendig.
-\begin{figure}
- \centering
- \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 9~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{22} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-bs22-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-bs22-fast}}
- \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 42~Komparatoren in 9~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{24} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-bs24-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-bs24-fast}}
- \caption{Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \bs{22} und \bs{24}, kann
- der Algorithmus schnelle Sortiernetzwerke ausgeben.}
- \label{fig:11-12-ec-from-bs22-bs24}
-\end{figure}
+Dass die Sortiernetzwerke, die mit den Schnittmustern von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} entstehen, keine erkennbare Struktur haben, ist
+jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere von der
+Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(n)$ und
+$k$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
+$\operatorname{OET}(n-k)$-Netzwerk.
-Verwendet man als Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} Instanzen des
-\emph{bitonen Mergesort}-Netzwerks, deren Leitungszahl keine Zweierpotenz ist,
-können Sortiernetzwerke zurückgegeben werden, die sowohl schneller als auch
-effizienter als das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk sind. Die
-folgende Tabelle listet einige interessante Fälle auf. Die Eingabe für
-\textsc{SN-Evolution-Cut} war jeweils das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit
-der doppelten Leitungszahl. Die Abbildungen~\ref{fig:11-12-ec-from-bs22-bs24}
-und~\ref{fig:23-ec-from-bs46} zeigen beispielhaft ein 11-, 12- und
-23-Sortiernetzwerk, die aus \bs{22}, \bs{24} und \bs{46} generiert wurden.
+\subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+\label{sect:sn-evolution-cut:oes}
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+\oes{n} gestartet, gibt der Algorithmus meist Sortiernetzwerke zurück, die
+genauso effizient und schnell wie das entsprechende
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{m} sind. Die Effizienz der
+Sortiernetzwerke, die mit Schnittmustern von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus
+\oes{n} entstehen können, zeigt Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-efficiency}
+tabellarisch.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
\hline
-Leitungen & Komparatoren & Schichten & Komparatoren & Schichten \\
- & \textsc{SN-EC} & \textsc{SN-EC} & \bs{n} &
- \bs{n} \\
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
\hline
-11 & 37 & 9 & 39 & 10 \\
-12 & 42 & 9 & 46 & 10 \\
-19 & 93 & 13 & 98 & 14 \\
-20 & 102 & 13 & 106 & 14 \\
-% 20: # sn-cut 2:MAX 3:MIN 4:MIN 9:MIN 10:MIN 13:MIN 14:MIN 15:MIN 19:MIN 20:MAX 24:MAX 26:MIN 27:MAX 29:MIN 31:MAX 33:MIN 34:MAX 35:MIN 37:MIN 39:MAX
-21 & 109 & 14 & 114 & 15 \\
-22 & 116 & 14 & 123 & 15 \\
-23 & 124 & 14 & 133 & 15 \\
+ 9 & 19 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 19 & 26 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 19 & 26 & 31 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 19 & 26 & 31 & 37 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
+ 17 & 19 & 26 & 31 & 38 & 41 & 48 & 53 & 59 & 63 & & & & & & & \\
+ 18 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & & & & & & \\
+ 19 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & & & & & \\
+ 20 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & & & & \\
+ 21 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & & & \\
+ 22 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & & \\
+ 23 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & \\
+ 24 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & 122 \\
\hline
\end{tabular}
-\end{center}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-oes-efficiency}
+\end{table}
\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/23-ec-from-bs46-fast.tex}
- \end{center}
- \caption{23-Sortiernetzwerk mit 124~Komparatoren in 14~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{46} mit dem
- Schnittmuster $\operatorname{MIN}(2, 4, 9, 12, 20, 22, 28, 30, 32, 33, 37,
- 38, 41)$, $\operatorname{MAX}(1, 5, 16, 19, 21, 24, 25, 35, 36, 43)$
- erzeugt.}
- \label{fig:23-ec-from-bs46}
+ \centering
+ \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 38~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{17} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-oes17-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-oes17-fast}}
+ \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{18} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-oes18-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes18-fast}}
+ \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m = 10$ und $m =
+ 11$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
+ erzeugen, die \emph{schneller} aber weniger \emph{effizient} als \oes{m}
+ sind.}
+ \label{fig:ec-oes-fast_networks}
\end{figure}
-Dass die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution-Cut} keine erkennbare Struktur
-haben, ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere
-von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
-\emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} $\operatorname{OET}(n)$ und
-$m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
-$\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk.
-
-\subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-\label{sect:sn-evolution-cut:oes}
+Die Bewertungsfunktion, die \textsc{SN-Evolution-Cut} verwendet, bevorzugt
+schnelle Sortiernetzwerke. Dadurch kann es vorkommen, dass ein
+$m$-Sortiernetzwerk, das durch ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenes
+Schnittmuster entsteht, schneller als \oes{m} ist. Diese Geschwindigkeit
+war allerdings in allen beobachteten Fällen nur dann möglich, wenn
+zusätzliche Komparatoren in Kauf genommen wurden. In den
+Tabellen~\ref{tbl:ec-oes-efficiency} und~\ref{tbl:ec-oes-speed} ist dieser
+Fall für $m = 11$ und $k \geqq 6$, beziehungsweise $m = 12$ und $k \geqq 6$ zu
+beobachten. Die entsprechenden schnellen Sortiernetzwerke sind in
+Abbildung~\ref{fig:ec-oes-fast_networks} dargestellt.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
+ 17 & 6 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
+ 18 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
+ 19 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
+ 20 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
+ 21 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
+ 22 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
+ 23 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
+ 24 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\oes{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-oes-speed}
+\end{table}
In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster die konstruktiven Sortiernetzwerke
Sortiernetzwerk ist insbesondere, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} mit der
Eingabe \bs{46} ein besseres Ergebnis liefert als mit der Eingabe \oes{46}. In
beiden Fällen wird ein Sortiernetzwerk zurückgegeben, das im Vergleich zu
-\bs{23} beziehungsweise \oes{23} eine Schicht einspart. Allerdings ist das
-Sortiernetzwerk auf Basis von \bs{46} (Abbildung~\ref{fig:23-ec-from-bs46})
-effizienter, da es nur 124~Komparatoren benötigt.
+\bs{23} beziehungsweise \oes{23} eine Schicht einspart.
\begin{figure}
\begin{center}
ist bei dem Netzwerk in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} nicht ersichtlich,
wie und warum es jede beliebige Eingabe sortiert.
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 20 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 20 & 28 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 20 & 28 & 32 & 38 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
+ 17 & 21 & 29 & 32 & 39 & 43 & 51 & 57 & 64 & 68 & & & & & & & \\
+ 18 & 22 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & & & & & & \\
+ 19 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & & & & & \\
+ 20 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & 97 & & & & \\
+ 21 & 20 & 30 & 34 & 38 & 44 & 51 & 57 & 64 & 74 & 82 & 87 & 96 & 102 & & & \\
+ 22 & 20 & 30 & 34 & 38 & 46 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & & \\
+ 23 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 66 & 72 & 83 & 89 & 97 & 102 & 112 & 119 & \\
+ 24 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & 119 & 127 \\
+\hline
+\ps{m}&19 & 27 & 32 & 38 & 42 & 48 & 53 & 59 & 63 & 79 & 88 & 97 & 103 & 112 & 119 & 127 \\
+\hline
+\end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \ps{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-ps-speed}
+\end{table}
+
Das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} $\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian
Parberry} in seiner Arbeit „The Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992}
definiert, verhält sich anders. Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit
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