erhält man ein {\em Komparatornetzwerk}.
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/einfaches_komparatornetzwerk.tex}
-\end{center}
-\caption{Einfaches Komparatornetzwerk mit vier Ein- beziehungsweise Ausgängen, bestehend
-aus 5~Komparatoren.}
-\label{fig:einfaches_komparatornetzwerk}
+ \begin{center}
+ \input{images/einfaches_komparatornetzwerk.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Einfaches Komparatornetzwerk mit 4~Ein- beziehungsweise Ausgängen,
+ bestehend aus 5~Komparatoren.}
+ \label{fig:einfaches_komparatornetzwerk}
\end{figure}
Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} zeigt ein einfaches
\begin{center}
\input{images/09-e2-c24-allbut1.tex}
\end{center}
- \caption{Ein \emph{Komparatornetzwerk} mit neun Eingängen und
- 24~Komparatoren, die in 8~Schichten angeordnet sind. Das Netzwerk sortiert
- alle Eingaben, bei denen das Minimum nicht auf dem mittleren Eingang liegt.}
+ \caption{Ein \emph{Komparatornetzwerk} mit 9~Eingängen und 24~Komparatoren,
+ die in 8~Schichten angeordnet sind. Das Netzwerk sortiert alle Eingaben, bei
+ denen das Minimum nicht auf dem mittleren Eingang liegt.}
\label{fig:09-e2-c24-allbut1}
\end{figure}
Zu beweisen, dass ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft {\em
Insgesamt gibt es $n!$~Permutationen von $n$~Elementen. Wenn ein
Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft besitzt, bildet es alle diese
Permutationen auf die sortierte Reihenfolge ab. Allerdings wächst $n!$
-über-exponentiell schnell, so dass ein Ausprobieren aller möglichen
-Permutationen schon bei 16~Leitungen praktisch nicht mehr zu bewerkstelligen
+so schnell, dass ein Ausprobieren aller möglichen Permutationen schon bei
+16~Leitungen praktisch nicht mehr zu bewerkstelligen
ist.\footnote{1.307.674.368.000 Permutationen}
\label{sect:0-1-prinzip}
Zahl größer als $a_i$ und eine Zahl kleiner oder gleich $a_i$ verglichen
wurden, liegen jetzt entsprechend eine Null und eine Eins an, die genauso
vertauscht werden oder nicht, wie das bei der Permutation der Fall war. Liegen
-zwei Nullen oder zwei Einsen an, entsprechen sie zwei Zahlen kleiner als $a_i$
-oder zwei Zahlen größer oder gleich $a_i$. Da im Fall der 0-1-Folge zwei
-gleiche Zahlen am Komparator anliegen, dürfen wir davon ausgehen, dass sich
-der Komparator so verhält, wie er sich bei der Permutation verhalten hat --
-ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Entsprechend kommen an den Ausgängen $i-1$
-und $i$ eine Null und eine Eins in der falschen Reihenfolge an. Das steht im
-Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen sortiert werden.
-
-Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was der
-Komplexitätsklasse
-$\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist,
-ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\Theta(2^n)$
-verbunden. Entsprechend ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein
-schnelleres Verfahren ist bisher allerdings nicht bekannt. Um zu überprüfen,
-ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die Sortiereigenschaft besitzt,
-sind mit dieser Methode nur 65.536 Tests notwendig -- eine Zahl, die für
-aktuelle Prozessoren keine Herausforderung darstellt. Für die Überprüfung
-eines Komparatornetzwerks mit 32~Leitungen sind jedoch bereits etwa
-4,3~Milliarden Tests notwendig, die einen Rechner durchaus mehrere Minuten
-beschäftigen.
+zwei Nullen oder zwei Einsen an, entsprechen sie zwei Zahlen kleiner als
+$a_i$, beziehungsweise zwei Zahlen größer oder gleich $a_i$. Da im Fall der
+0-1-Folge zwei gleiche Zahlen am Komparator anliegen, dürfen wir davon
+ausgehen, dass sich der Komparator so verhält, wie er sich bei der Permutation
+verhalten hat -- ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Entsprechend müssen an den
+Ausgängen $i-1$ und $i$ eine Null und eine Eins in der falschen Reihenfolge
+ankommen. Das steht im Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen
+sortiert werden.
+
+Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was mit dem Aufwand
+$\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ verbunden ist, besitzt
+das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ den Aufwand $\Theta(2^n)$. Entsprechend
+ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein schnelleres Verfahren ist
+bisher allerdings nicht bekannt.
+
+Um zu überprüfen, ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die
+Sortiereigenschaft besitzt, sind mit dieser Methode nur 65.536 Tests notwendig
+-- eine Zahl, die für aktuelle Prozessoren keine Herausforderung darstellt.
+Für die Überprüfung eines Komparatornetzwerks mit 32~Leitungen sind jedoch
+bereits etwa 4,3~Milliarden Tests notwendig, die einen Rechner durchaus
+mehrere Minuten beschäftigen. Das ist deshalb problematisch, weil die im
+Folgenden vorgestellten \emph{Evolutionären Algorithmen} eine entsprechende
+Überprüfung in jeder Iteration durchführen müssten. Wenn die Überprüfung eines
+Zwischenergebnisses fünf Minuten in Anspruch nimmt, sind für eine Million
+Iterationen fast zehn Jahre Rechenzeit notwendig. Selbst wenn die Berechnung
+auf 1000~Computern mit je 4~Prozessoren verteilt wird, werden über 20~Stunden
+für einen Lauf benötigt.
\subsubsection{Evolutionäre Algorithmen}
beziehungsweise der Geschwindigkeit (die Anzahl der Schichten) eines „kleinen“
Sortiernetzwerks, übertragen sich direkt auf das resultierende Gesamtnetzwerk.
Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(9)$ benötigt
-beispielsweise 26~Komparatoren, die in neun Schichten angeordnet sind. Es sind
-allerdings Sortiernetzwerke mit neun Eingängen bekannt, die lediglich
-25~Komparatoren in sieben Schichten benötigen. Kombiniert man zwei dieser
-Netzwerke mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer erhält man ein Sortiernetzwerk mit
-18~Eingängen, das 80~Komparatoren in 11~Schichten benötigt.
-$\operatorname{OES}(18)$ benötigt 82~Komparatoren in 13~Schichten. Damit ist
-das resultierende Netzwerk genauso schnell wie das Sortiernetzwerk mit
-18~Eingängen, das \textit{Sherenaz~W. Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E.
-Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step Sorting Network for
-18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber 6~Komparatoren weniger.
+beispielsweise 26~Komparatoren, die in 9~Schichten angeordnet sind. Es sind
+allerdings Sortiernetzwerke mit 9~Eingängen bekannt, die lediglich
+25~Komparatoren in 7~Schichten benötigen. Wenn zwei dieser Netzwerke mit dem
+\emph{Odd-Even}-Mischer kombiniert werden, entsteht ein 18-Sortiernetzwerk,
+das aus 80~Komparatoren in 11~Schichten besteht. Damit ist das resultierende
+Netzwerk genauso schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das
+\textit{Sherenaz~W. Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer
+Arbeit „An 11-Step Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen,
+benötigt aber 6~Komparatoren weniger. $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
+82~Komparatoren in 13~Schichten.
Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
Bei einigen Werten für die Ziel-Leitungsanzahl $m$ kann der
\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Ergebnisse erzielen, die schneller als
das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{m} sind. In
-Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-speed} sind die Schichten, die die Ergebnisse von
-\textsc{SN-Evolution-Cut} benötigen, um die Eingabe zu sortieren, aufgelistet.
-Jede Zeile enthält die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n}, jede Spalte
-enthält die Ergebnisse für eine Ziel-Leitungszahl $m = n-k$. Die Zellen
-enthalten die Anzahl der Schichten des jeweiligen Ergebnis-Netzwerks.
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-speed} ist die Anzahl der Schichten, die die Ergebnisse
+von \textsc{SN-Evolution-Cut} benötigen, um die Eingabe zu sortieren,
+aufgelistet. Jede Zeile enthält die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n},
+jede Spalte enthält die Ergebnisse für eine Ziel-Leitungszahl $m = n-k$. Die
+Zellen enthalten die Anzahl der Schichten des jeweiligen Ergebnis-Netzwerks.
\begin{table}
\begin{center}
beobachten. Die entsprechenden schnellen Sortiernetzwerke sind in
Abbildung~\ref{fig:ec-oes-fast_networks} dargestellt.
+Wie beim \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk reicht auch beim
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk ein einziger Schnitt nicht aus, um die
+Geschwindigkeit gegenüber \oes{m} zu verbessern. Bei $m = 11$ und $m = 12$ war
+jeweils mindestens ein 6-Schnittmuster notwendig, um eine höhere
+Geschwindigkeit zu erreichen.
+
+In Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-19} sind die Ergebnisse von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} für \oes{n}, $n = 20$ und $m = 19$ ($k = 1 \dots
+19$) aufgelistet. Mit $k = 10$ wird das erste mal ein schnelles
+19-Sortiernetzwerk mit 13~Schichten ausgegeben. Mit $k \geqq 11$ sind die
+resultierenden Netzwerke mit 93~Komparatoren effizienter als das Ergebnis mit
+$k = 10$, das 95~Komparatoren benötigt. Das Ergebnis, das auf Basis des
+\emph{bitonen Mergesort}-Netzwerks erreicht wurde (92~Komparatoren in
+13~Schichten, siehe Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-19}), wird nicht erreicht.
+
\begin{table}
\begin{center}
\rowcolors{2}{black!5}{}
\label{tbl:ec-oes-speed}
\end{table}
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|r|r|}
+ \hline
+ $n$ & Komp. & Schichten \\
+ \hline
+ 20 & 91 & 14 \\
+ 21 & 91 & 14 \\
+ 22 & 91 & 14 \\
+ 23 & 91 & 14 \\
+ 24 & 91 & 14 \\
+ 25 & 91 & 14 \\
+ 26 & 91 & 14 \\
+ 27 & 91 & 14 \\
+ 28 & 91 & 14 \\
+ 29 & 95 & 13 \\
+ 30 & 93 & 13 \\
+ 31 & 93 & 13 \\
+ 32 & 93 & 13 \\
+ 33 & 93 & 13 \\
+ 34 & 93 & 13 \\
+ 35 & 93 & 13 \\
+ 36 & 93 & 13 \\
+ 37 & 93 & 13 \\
+ 38 & 93 & 13 \\
+ \hline
+ \bs{19} & 98 & 14 \\
+ \oes{19} & 91 & 14 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Komparatoren und Schichten von Sortiernetzwerken, die von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \oes{n} und $k = n - 19$ ermittelt wurden. Erst mit $k = 10$
+ ist es möglich gegenüber \oes{19} eine Schicht einzusparen. Dafür ist die
+ Effizienz von 91~Komparatoren nicht mehr erreichbar.}
+ \label{tbl:ec-oes-19}
+\end{table}
+
In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
-viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster die konstruktiven Sortiernetzwerke
-$\operatorname{OES}(32)$, $\operatorname{BS}(32)$ und $\operatorname{PS}(32)$
-besitzen. Eines der Ergebnisse war, dass von diesen Sortiernetzwerken das
-\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk die wenigsten unterschiedlichen
-16-Schnittmuster besitzt -- nur etwa $5,2$~Millionen. Entsprechend ist es
-wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} gestartet mit
-$\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell\footnote{Auf dem Computer, auf dem diese
-Arbeit geschrieben wurde, dauerte es in den meisten Fällen weniger als eine
-Sekunde bis ein entsprechendes Schnittmuster gefunden wurde.} ein gutes
-16-Schnittmuster findet.
+viele \emph{unterschiedliche} 16-Schnittmuster die konstruierten
+Sortiernetzwerke $\operatorname{OES}(32)$, $\operatorname{BS}(32)$ und
+$\operatorname{PS}(32)$ besitzen. Eines der Ergebnisse war, dass von diesen
+Sortiernetzwerken das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk die wenigsten
+unterschiedlichen 16-Schnittmuster besitzt -- nur etwa $5,2$~Millionen.
+Entsprechend ist es wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut}
+gestartet mit $\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell\footnote{Ein
+entsprechendes Ergebnis wird meist nach 20.000 bis 100.000 Iterationen
+geliefert. Bei dieser Problemgröße erreicht die Implementierung (siehe
+Abschnitt~\ref{sect:implementierung}) etwa 20.000 Iterationen pro Sekunde auf
+derzeitigen Computern.} ein gutes 16-Schnittmuster findet.
Eines der 16-Schnittmuster für \oes{32}, die ein Sortiernetzwerk erzeugen, das
bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch ist zu \oes{16}, ist
\input{images/16-ec-from-oes32-cut.tex}
\end{center}
\caption{Visualisierung eines 16-Schnittmusters, das auf
- $\operatorname{OES}(32)$ angewendet wieder ein schnelles und effizientes
- Sortiernetzwerk ergibt.}
+ $\operatorname{OES}(32)$ angewendet ein Sortiernetzwerk ergibt, das
+ bezüglich Geschwindigkeit und Effizienz identisch zu \oes{16} ist. Das
+ resultierende Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32}
+ dargestellt.}
\label{fig:16-ec-from-oes32-cut}
\end{figure}
\input{images/16-ec-from-oes32.tex}
\end{center}
\caption{16-Sortiernetzwerk mit 63~Komparatoren in 10~Schichten.
- Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
- \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(32)$ durch
- 16~Schnitte erzeugt.}
+ Das Netzwerk wurde aus dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{32} mit
+ einem 16-Schnittmuster erzeugt, das von \textsc{SN-Evolution-Cut}
+ berechnet wurde. Das Schnittmuster ist in
+ Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} dargestellt.}
\label{fig:16-ec-from-oes32}
\end{figure}
projects / diplomarbeit.git / blobdiff