35 & 93 & 13 \\
\rowcolor{green!10}
36 & 92 & 13 \\
- \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
37 & 92 & 13 \\
38 & 93 & 13 \\
\hline
\subsection[Pairwise-Sorting-Netzwerk]{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+Eine weitere interessante Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} ist das
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n}, das \textit{Ian
+Parberry} in seiner Arbeit „The Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992}
+definiert. Einerseits wurde in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster}
+gezeigt, dass es für \ps{n} sehr viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster
+gibt. Andererseits sind die Sortiernetzwerke, die nach \textit{Parberrys}
+Methode erzeugt werden, genauso schnell und effizient wie das
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, wenn die Leitungszahl $n = 2^d$ eine
+Zweierpotenz ist.
+
% Effizienz
+Für viele Kombinationen von \ps{n} und $k$ sind die Sortiernetzwerke, die
+\textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, weniger effizient als das entsprechende
+\ps{m}-Netzwerk. Für einige Kombinationen werden jedoch auch effizientere
+Netzwerke generiert, beispielsweise für $m = 11$ und $m = 20$. Die Effizienz
+der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution-Cut} auf Basis des
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks berechnet, ist tabellarisch in
+Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-efficiency} dargestellt.
+
\begin{table}
\begin{center}
\rowcolors{2}{black!5}{}
% Beispiel Effizienz
+Zwei Ergebnisse, die effizienter als die entsprechenden
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerke sind, zeigt
+Abbildung~\ref{fig:ec-ps-efficient_networks}. Sie erreichen die
+Geschwindigkeit und Effizienz des \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks mit der
+entsprechenden Leitungszahl. Bei größeren Netzwerken, beispielsweise $m = 19$,
+ist dies mit der in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-efficiency} dargestellten Größe der
+Schnittmuster noch nicht zu beobachten.
+
\begin{figure}
\centering
\subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 10~Schichten. Das
\label{fig:ec-ps-efficient_networks}
\end{figure}
+% Wie viele Schnitte man braucht.
+
+Bei welchen Parametern \textsc{SN-Evolution-Cut} effiziente
+19-Sortiernetzwerke findet, ist Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-19} zu entnehmen. Für
+$n = 31$, $k = 12$ und $n = 32$, $k = 13$ werden 19-Sortiernetzwerke mit der
+selben Effizienz und Geschwindigkeit wie \oes{19} erzeugt. Das
+19-Sortiernetzwerk, das auf diese Art und Weise aus \ps{32} erzeugt wurde, ist
+in Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-ps32} dargestellt.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|r|r|}
+ \hline
+ $n$ & Komp. & Schichten \\
+ \hline
+ 20 & 97 & 15 \\
+ 21 & 96 & 15 \\
+ 22 & 96 & 15 \\
+ 23 & 97 & 14 \\
+ 24 & 96 & 14 \\
+ 25 & 93 & 14 \\
+ 26 & 92 & 14 \\
+ 27 & 94 & 14 \\
+ 28 & 94 & 14 \\
+ 29 & 92 & 14 \\
+ 30 & 92 & 14 \\
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ 31 & 91 & 14 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 32 & 91 & 14 \\
+ 33 & 101 & 15 \\
+ 34 & 104 & 15 \\
+ 35 & 106 & 15 \\
+ 36 & 107 & 15 \\
+ 37 & 106 & 15 \\
+ 38 & 102 & 15 \\
+ \hline
+ \ps{19} & 97 & 15 \\
+ \oes{19} & 91 & 14 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von 19-Sortiernetzwerken, die
+ von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \ps{n}, $n = 20, \dots, 38$ erzeugt
+ wurden.}
+ \label{tbl:ec-ps-19}
+\end{table}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/19-ec-from-ps32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 91~Komparatoren in
+ 14~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
+ $\operatorname{PS}(32)$ erzeugt.}
+ \label{fig:19-ec-from-ps32}
+\end{figure}
+
+An den Daten in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-19} fällt auf, dass die Effizienz und
+Geschwindigkeit der Ergebnisse für $n > 32$ schlechter werden. Das
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk ist Leitungszahlen, die Zweierpotenzen sind,
+besonders effizient und schnell. Um der Vermutung nachzugehen, dass der
+\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus für $\ps{n = 2^d}$ besonders effiziente
+Schnittmuster findet, wurde \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \ps{32} und $k = 1
+\dots 16$ gestartet. Die Ergebnisse sind in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-32}
+zusammengefasst. \todo{Tabelle einfügen.}
+
% Geschwindigkeit
+Die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} für das
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk berechnet, können zu schnelleren
+Sortiernetzwerken als \ps{m} führen. Beispielsweise konnte aus \ps{24} ein
+18-Sortiernetzwerk erzeugt werden, das mit 13~Schichten zwei parallele
+Schritte im Vergleich zu \ps{18} einspart. Eine Darstellung dieses
+Sortiernetzwerks befindet sich in Abbildung~\ref{fig:18-ec-from-ps24}. Für
+andere $m$ wurde die Geschwindigkeit des \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks
+nicht übertroffen und im Fall von $m = 16$ wurde die Geschwindigkeit nicht
+einmal erreicht.
+
\begin{table}
\begin{center}
\rowcolors{2}{black!5}{}
ist bei dem Netzwerk in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} nicht ersichtlich,
wie und warum es jede beliebige Eingabe sortiert.
-Das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} $\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian
-Parberry} in seiner Arbeit „The Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992}
-definiert, verhält sich anders. Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit
-$\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe, 16~Leitungen zu entfernen, erhält man
-ein Sortiernetzwerk, das die gleiche Anzahl Komparatoren und Schichten hat wie
-$\operatorname{PS}(16)$ und $\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser
-Sortiernetzwerke ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
+Bei dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk $\ps{n=2^d}$ ist das anders. Startet
+man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
+16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, das die gleiche
+Anzahl Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
+$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
\begin{figure}
\begin{center}
\label{fig:16-ec-from-ps32}
\end{figure}
-Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
+Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist das
\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
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