\end{abstract}
\newpage
+\section*{Eidesstattliche Erklärung}
+
+Ich versichere, dass ich die vorliegende wissenschaftliche Arbeit
+selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel
+verwendet habe. Die Stellen der Arbeit, die anderen Werken dem Wortlaut oder
+dem Sinn nach entnommen sind, wurden unter Angabe der Quelle als Entlehnung
+deutlich gemacht. Das Gleiche gilt auch für beigegebene Skizzen und
+Darstellungen. Diese Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form meines Wissene
+nach noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.
+\\[3cm]
+München, den 20.~März 2011,\\
+\\[1cm]
+Florian Forster
+\newpage
+
\tableofcontents
\newpage
erhält man ein {\em Komparatornetzwerk}.
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/einfaches_komparatornetzwerk.tex}
-\end{center}
-\caption{Einfaches Komparatornetzwerk mit vier Ein- beziehungsweise Ausgängen, bestehend
-aus 5~Komparatoren.}
-\label{fig:einfaches_komparatornetzwerk}
+ \begin{center}
+ \input{images/einfaches_komparatornetzwerk.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Einfaches Komparatornetzwerk mit 4~Ein- beziehungsweise Ausgängen,
+ bestehend aus 5~Komparatoren.}
+ \label{fig:einfaches_komparatornetzwerk}
\end{figure}
Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} zeigt ein einfaches
\begin{center}
\input{images/09-e2-c24-allbut1.tex}
\end{center}
- \caption{Ein \emph{Komparatornetzwerk} mit neun Eingängen und
- 24~Komparatoren, die in 8~Schichten angeordnet sind. Das Netzwerk sortiert
- alle Eingaben, bei denen das Minimum nicht auf dem mittleren Eingang liegt.}
+ \caption{Ein \emph{Komparatornetzwerk} mit 9~Eingängen und 24~Komparatoren,
+ die in 8~Schichten angeordnet sind. Das Netzwerk sortiert alle Eingaben, bei
+ denen das Minimum nicht auf dem mittleren Eingang liegt.}
\label{fig:09-e2-c24-allbut1}
\end{figure}
Zu beweisen, dass ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft {\em
Insgesamt gibt es $n!$~Permutationen von $n$~Elementen. Wenn ein
Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft besitzt, bildet es alle diese
Permutationen auf die sortierte Reihenfolge ab. Allerdings wächst $n!$
-über-exponentiell schnell, so dass ein Ausprobieren aller möglichen
-Permutationen schon bei 16~Leitungen praktisch nicht mehr zu bewerkstelligen
+so schnell, dass ein Ausprobieren aller möglichen Permutationen schon bei
+16~Leitungen praktisch nicht mehr zu bewerkstelligen
ist.\footnote{1.307.674.368.000 Permutationen}
\label{sect:0-1-prinzip}
Zahl größer als $a_i$ und eine Zahl kleiner oder gleich $a_i$ verglichen
wurden, liegen jetzt entsprechend eine Null und eine Eins an, die genauso
vertauscht werden oder nicht, wie das bei der Permutation der Fall war. Liegen
-zwei Nullen oder zwei Einsen an, entsprechen sie zwei Zahlen kleiner als $a_i$
-oder zwei Zahlen größer oder gleich $a_i$. Da im Fall der 0-1-Folge zwei
-gleiche Zahlen am Komparator anliegen, dürfen wir davon ausgehen, dass sich
-der Komparator so verhält, wie er sich bei der Permutation verhalten hat --
-ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Entsprechend kommen an den Ausgängen $i-1$
-und $i$ eine Null und eine Eins in der falschen Reihenfolge an. Das steht im
-Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen sortiert werden.
-
-Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was der
-Komplexitätsklasse
-$\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist,
-ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\Theta(2^n)$
-verbunden. Entsprechend ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein
-schnelleres Verfahren ist bisher allerdings nicht bekannt. Um zu überprüfen,
-ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die Sortiereigenschaft besitzt,
-sind mit dieser Methode nur 65.536 Tests notwendig -- eine Zahl, die für
-aktuelle Prozessoren keine Herausforderung darstellt. Für die Überprüfung
-eines Komparatornetzwerks mit 32~Leitungen sind jedoch bereits etwa
-4,3~Milliarden Tests notwendig, die einen Rechner durchaus mehrere Minuten
-beschäftigen.
+zwei Nullen oder zwei Einsen an, entsprechen sie zwei Zahlen kleiner als
+$a_i$, beziehungsweise zwei Zahlen größer oder gleich $a_i$. Da im Fall der
+0-1-Folge zwei gleiche Zahlen am Komparator anliegen, dürfen wir davon
+ausgehen, dass sich der Komparator so verhält, wie er sich bei der Permutation
+verhalten hat -- ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Entsprechend müssen an den
+Ausgängen $i-1$ und $i$ eine Null und eine Eins in der falschen Reihenfolge
+ankommen. Das steht im Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen
+sortiert werden.
+
+Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was mit dem Aufwand
+$\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ verbunden ist, besitzt
+das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ den Aufwand $\Theta(2^n)$. Entsprechend
+ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein schnelleres Verfahren ist
+bisher allerdings nicht bekannt.
+
+Um zu überprüfen, ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die
+Sortiereigenschaft besitzt, sind mit dieser Methode nur 65.536 Tests notwendig
+-- eine Zahl, die für aktuelle Prozessoren keine Herausforderung darstellt.
+Für die Überprüfung eines Komparatornetzwerks mit 32~Leitungen sind jedoch
+bereits etwa 4,3~Milliarden Tests notwendig, die einen Rechner durchaus
+mehrere Stunden beschäftigen. Das ist deshalb problematisch, weil die im
+Folgenden vorgestellten \emph{Evolutionären Algorithmen} eine entsprechende
+Überprüfung in jeder Iteration durchführen müssten. Wenn die Überprüfung eines
+Zwischenergebnisses drei Stunden in Anspruch nimmt, sind für eine Million
+Iterationen etwa 340~Jahre Rechenzeit notwendig. Selbst wenn die Berechnung
+auf 1000~Computern mit je 4~Prozessoren verteilt wird, wird etwa ein Monat für
+einen Lauf benötigt.
\subsubsection{Evolutionäre Algorithmen}
Viele {\em kombinatorische Optimierungsprobleme} sind schwer zu lösen -- die
entsprechenden Entscheidungsprobleme liegen oft in der Komplexitätsklasse
-$\mathcal{NP}$. Das heißt, dass keine Verfahren bekannt sind, die diese
-Probleme effizient exakt lösen. Sollte sich herausstellen, dass diese Probleme
-außerhalb der Komplexitätsklasse~$\mathcal{P}$ liegen, wäre eine Konsequenz,
-dass es effiziente exakte Algorithmen für diese Probleme nicht gibt. Falls
-sich hingegen herausstellt, dass diese Probleme neben $\mathcal{NP}$ auch in
-der Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen, gibt es effiziente Algorithmen. Es
-ist jedoch wahrscheinlich, dass die Zeitkonstanten solcher Algorithmen sehr
-groß sein würden, so dass der praktische Nutzen fraglich bleibt.
-
-Aus diesem Grund besteht die Notwendigkeit einen Kompromiss einzugehen: Statt
-die \emph{optimale Lösung}, beziehungsweise eine der \emph{optimalen
-Lösungen}, als einzige Ausgabe des Algorithmus zuzulassen, wird eine
-"`möglichst gute"' Lösung ausgegeben. Viele dieser Optimierungsalgorithmen
-orientieren sich an Vorgängen in der Natur. Beispielsweise imitieren die
-„Ameisenalgorithmen“ das Verhalten von Ameisen auf der Futtersuche, um kurze
-Rundreisen auf Graphen zu berechnen.
+$\mathcal{NP}$-vollständig. Das heißt, dass keine Verfahren bekannt sind, die
+diese Probleme effizient exakt lösen. Sollte sich herausstellen, dass diese
+Probleme außerhalb der Komplexitätsklasse~$\mathcal{P}$ liegen, wäre eine
+Konsequenz, dass es für diese Probleme keine effizienten exakten Algorithmen
+gibt. Stellt sich hingegen heraus, dass diese Probleme neben
+$\mathcal{NP}$-vollständig auch in der Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen,
+gibt es effiziente Algorithmen. Es ist jedoch wahrscheinlich, dass die
+Zeitkonstanten solcher Algorithmen sehr groß wären, so dass der praktische
+Nutzen fraglich bleibt.
+
+Aus diesem Grund besteht die Notwendigkeit, einen Kompromiss einzugehen: Statt
+die \emph{optimale Lösung}, beziehungsweise eine der \emph{optimalen Lösungen}
+als einzige Ausgabe des Algorithmus zuzulassen, wird eine "`möglichst gute"'
+Lösung ausgegeben. Dafür verringert sich die Laufzeit des Algorithmus. Viele
+dieser Optimierungsalgorithmen orientieren sich an Vorgängen in der Natur.
+Beispielsweise imitieren die „Ameisenalgorithmen“ das Verhalten von Ameisen
+auf der Futtersuche, um kurze Rundreisen auf Graphen zu berechnen.
Bei {\em Evolutionären Algorithmen} stand die Evolution Pate. Die Grundidee
ist, bekannte Lösungen zu neuen -- unter Umständen besseren -- Lösungen zu
erforscht der Algorithmus den Lösungsraum in viele Richtungen. Dieses
\textit{Exploration} (Englisch für „Erforschung“) genannte Verhalten sorgt
zwar dafür, dass der Algorithmus langsamer auf ein Optimum zusteuert, dafür
-findet er aber in der Regel bessere Lösungen.
+findet er aber in der Regel bessere Lösungen. Die Rolle, die
+\textit{Exploitation} und \textit{Exploration} bei evolutionären
+Optimierungsalgorithmen spielen, wird von \textit{Eiben} und
+\textit{Schippers} in~\cite{ES1998} untersucht.
Die Parameter evolutionärer Algorithmen so einzustellen, dass sich ein guter
Mittelweg zwischen den beiden Extremen einstellt, ist eine Aufgabe, die sich
nur experimentell lösen lässt. Die genauen Parameter hängen nicht nur vom
eigentlichen Algorithmus, sondern auch vom konkreten Problem ab, so dass sich
beispielsweise bei der Optimierung von Sortiernetzwerken die Parameter
-zwischen verschiedenen Leitungszahlen stark unterscheiden.
+zwischen verschiedenen Leitungszahlen stark unterscheiden. Einen Überblick
+geben \textit{Kalyanmoy Deb} und \textit{Samir Agrawal} in~\cite{DA1998}.
Die Erforschung (\textit{Exploration}) kann von einem weiteren Mechanismus
unterstützt werden, der ebenfalls der Evolutionslehre entliehen ist, der
in Abschnitt~\ref{sect:tranformation} beschrieben, ein Algorithmus, der
Mutation einsetzt, wird in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut} vorgestellt.
-\begin{figure} \begin{center} \input{images/16-hillis.tex} \end{center}
-\caption{Das 16-Sortiernetzwerk, das \textit{Hillis} in~\cite{H1990} angibt.
-Es besteht aus 61~Komparatoren in 11~Schichten.} \label{fig:16-hillis}
-\end{figure} Evolutionäre Algorithmen wurden bereits mehrfach eingesetzt, um
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-hillis.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das 16-Sortiernetzwerk, das \textit{Hillis} in~\cite{H1990} angibt.
+ Es besteht aus 61~Komparatoren in 11~Schichten.}
+ \label{fig:16-hillis}
+\end{figure}
+Evolutionäre Algorithmen wurden bereits mehrfach eingesetzt, um
Sortiernetzwerke zu untersuchen. \textit{W.~Daniel Hillis} verwendete
\emph{Co-Evolution} um neben Komparatornetzwerken auch „schwierige Eingaben“
zu optimieren~\cite{H1990}. Diese \emph{Parasiten} genannten Eingaben wurden
gelang es \textit{Hillis} ein 16-Sortiernetzwerk mit 61~Komparatoren
anzugeben, das in Abbildung~\ref{fig:16-hillis} zu sehen ist.
+\textit{Michael~L. Harrison} und \textit{James~A. Foster} nutzten ebenfalls
+\emph{Co-Evolution} in~\cite{HF2004}, um die Stabilität von Sortiernetzwerken
+zu erhöhen. Die zweite Population bestand aus \emph{Fehlern} -- der
+Information, welche Komparatoren defekt, beziehungsweise inaktiv sind. So
+generierte Sortiernetzwerke können auch dann noch für viele Eingaben eine
+korrekt sortierte Ausgabe erzeugen, wenn ein oder mehrere Komparatoren
+(zufällig) entfernt werden.
+
\begin{figure}
\centering
\subfigure{\input{images/13-juille-0.tex}}
"`Mischer"' in der Literatur sehr weit verbreitet ist, werden diese Begriffe
in dieser Arbeit trotzdem verwendet.}, bilden die Grundlage für die
beschriebenen evolutionären Algorithmen beziehungsweise dienen als initiale
-Eingabe. Im Folgenden werden daher vier Konstruktionsverfahren vorgestellt.
-
-% \todo{Drei oder vier Verfahren?}
+Eingabe. Im Folgenden werden daher drei Konstruktionsverfahren vorgestellt.
\subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
\label{sect:odd_even_transpositionsort}
verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
-Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist.
+Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist.
Es ist jedoch möglich, das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen.
\subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
dass $K(n,m)$ in $\Theta(N \log (N))$ enthalten ist.
-Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$ beträgt, lässt sich die
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{d-1}$ beträgt, lässt sich die
Anzahl der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der
erste Rekursionsschritt der OEM-Konstruktion fügt
$\left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor = \frac{N}{2} - 1$
\end{displaymath}
Komparatoren eingespart. Damit ergibt sich
\begin{displaymath}
- K\left(n = 2^{t-1}, n = 2^{t-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1
+ K\left(n = 2^{d-1}, n = 2^{d-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1
\end{displaymath}
-für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^t)$
+für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^d)$
benötigt werden.
\subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
ist allerdings bekannt, dass $k(n)$ in $\Theta\left(n \left(\log
(n)\right)^2\right)$ enthalten ist.
-Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist, kann die
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, kann die
Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{Kenneth
Batcher} zeigt in~\cite{B1968}, dass in diesem Fall
\begin{displaymath}
- k(n = 2^t) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1
+ k(n = 2^d) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1
\end{displaymath}
gilt.
-% gnuplot:
-% oem(n,m) = ((n*m) <= 1) ? (n*m) : oem(ceil(.5*n), ceil(.5*m)) + oem(floor(.5*n), floor(.5*m)) + floor(.5*(n+m-1.0))
-% oem1(n) = oem(ceil(.5*n),floor(.5*n))
-% oes(n) = (n <= 1.0) ? 0 : oes(ceil(0.5*n)) + oes(floor(0.5*n)) + oem1(n)
-
-%\begin{itemize}
-%\item Pairwise sorting-network
-%\end{itemize}
-
-\subsection{Das Pairwise-Sorting-Netzwerk}
-
-Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} ist eine Konstruktionsvorschrift
-für Sortiernetzwerke, die 1992 von \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
-Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert wurde. Wenn die Anzahl der
-Leitungen $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, hat das
-\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk die selbe Effizienz und Geschwindigkeit wie
-das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk.
+%\subsection{Das Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+%
+%Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} ist eine Konstruktionsvorschrift
+%für Sortiernetzwerke, die 1992 von \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
+%Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert wurde. Wenn die Anzahl der
+%Leitungen $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, hat das
+%\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk die selbe Effizienz und Geschwindigkeit wie
+%das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk.
\newpage
\section{Transformation von Sortiernetzwerken}
\emph{Schichten}, in die sich ein Sortiernetzwerk unterteilen lässt.
Diese Anzahl ist insbesondere beim automatisierten Bewerten von
-Komparatornetzwerken interessant, wie in Abschnitt~\ref{sect:bewertung}
+Komparatornetzwerken interessant, wie in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution:bewertung}
beschrieben. Die Anzahl der Schichten kann künstlich vergrößert werden, indem
Komparatoren später angewendet werden. Deshalb sollte vor einer Bewertung, die
die Anzahl der Schichten als Bewertungskriterium verwendet, immer eine
beziehungsweise der Geschwindigkeit (die Anzahl der Schichten) eines „kleinen“
Sortiernetzwerks, übertragen sich direkt auf das resultierende Gesamtnetzwerk.
Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(9)$ benötigt
-beispielsweise 26~Komparatoren, die in neun Schichten angeordnet sind. Es sind
-allerdings Sortiernetzwerke mit neun Eingängen bekannt, die lediglich
-25~Komparatoren in sieben Schichten benötigen. Kombiniert man zwei dieser
-Netzwerke mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer erhält man ein Sortiernetzwerk mit
-18~Eingängen, das 80~Komparatoren in 11~Schichten benötigt.
-$\operatorname{OES}(18)$ benötigt 82~Komparatoren in 13~Schichten. Damit ist
-das resultierende Netzwerk genauso schnell wie das Sortiernetzwerk mit
-18~Eingängen, das \textit{Sherenaz~W. Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E.
-Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step Sorting Network for
-18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber 6~Komparatoren weniger.
+beispielsweise 26~Komparatoren, die in 9~Schichten angeordnet sind. Es sind
+allerdings Sortiernetzwerke mit 9~Eingängen bekannt, die lediglich
+25~Komparatoren in 7~Schichten benötigen. Wenn zwei dieser Netzwerke mit dem
+\emph{Odd-Even}-Mischer kombiniert werden, entsteht ein 18-Sortiernetzwerk,
+das aus 80~Komparatoren in 11~Schichten besteht. Damit ist das resultierende
+Netzwerk genauso schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das
+\textit{Sherenaz~W. Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer
+Arbeit „An 11-Step Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen,
+benötigt aber 6~Komparatoren weniger. $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
+82~Komparatoren in 13~Schichten.
Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
(Abschnitt~\ref{sect:konstruktive_netzwerke}) und Schnittmuster
(Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen}) verwendet, um „möglichst gute“
Sortiernetzwerke zu erzeugen. Was ein „gutes“ Sortiernetzwerk ausmacht, wird
-in Abschnitt~\ref{sect:bewertung} behandelt.
+in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution:bewertung} behandelt. Informationen zur Implementierung
+von \textsc{SN-Evolution} befinden sich in
+Abschnitt~\ref{sect:implementierung}.
-\subsection{Bewertungsfunktion}\label{sect:bewertung}
+\subsection{Bewertungsfunktion}\label{sect:sn-evolution:bewertung}
Um Sortiernetzwerke überhaupt optimieren zu können, muss zunächst die
{\em Güte} eines Netzwerks definiert werden. Prinzipiell gibt es zwei Ziele,
\begin{figure}
\centering
- \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von \textit{M.~W. Green} konstruiert und 1969 in \todo{Referenz} veröffentlicht.]{\input{images/16-green.tex}\label{fig:16-green}}
- \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 61~Komparatoren in 9~Schichten. Das Netzwerk wurde von \textit{D. Van~Voorhis} veröffentlicht.]{\input{images/16-voorhis.tex}\label{fig:16-voorhis}}
+ \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textit{M.~W. Green} konstruiert und 1969 in~\cite{G1972}
+ veröffentlicht.]{\input{images/16-green.tex}\label{fig:16-green}}
+ \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 61~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textit{D. Van~Voorhis} 1974 in~\cite{V1974}
+ veröffentlicht.]{\input{images/16-voorhis.tex}\label{fig:16-voorhis}}
\caption{Das effizienteste und das schnellste Sortiernetzwerk für
16~Leitungen, das derzeit bekannt ist.}
\label{fig:16-best-known}
16-Sortiernetzwerk besteht aus 61~Komparatoren in nur 9~Schichten und ist in
Abbildung~\ref{fig:16-voorhis} zu sehen.
-Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`effizient"' und "`schnell"'
-berücksichtigen kann, hat die folgende allgemeine Form:
+\textsc{SN-Evolution} verwendet eine Gütefunktion, die die beiden Ziele
+"`effizient"' und "`schnell"' berücksichtigen kann. Sie hat die folgende
+generelle Form:
\begin{equation}
\operatorname{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}}
+ w_{\mathrm{Komparatoren}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Komparatoren}
gesamten Lösungsraums, begünstigt. Wählt man $w_{\mathrm{Basis}}$ hingegen
klein -- in Abhängigkeit von den anderen beiden Parametern sind auch negative
Werte möglich -- werden die relativen Unterschiede groß. Dadurch wird die {\em
-Exploitation}, das Finden (lokaler) Optima, bevorzugt.
+Exploitation}, das Streben zu (lokalen) Optima, verstärkt. In~\cite{WW2002}
+geben \textit{Karsten und Nicole Weicker} einen Überblick über
+Selektionsmethoden und Rekombinationsmöglichkeiten.
Diese Parameter haben einen großen Einfluss auf die Geschwindigkeit, mit der
der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus konvergiert und ob er tatsächlich gute
Als guter Standardansatz für \textsc{SN-Evolution} haben sich die folgenden
Werte herausgestellt:
\begin{eqnarray*}
-w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
-w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 1 \\
-w_{\mathrm{Schichten}} &=& \left|S\right|_\mathrm{Leitungen}
+ w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
+ w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 1 \\
+ w_{\mathrm{Schichten}} &=& \left|S\right|_\mathrm{Leitungen}
+\end{eqnarray*}
+Sofern nicht anders angegeben, werden diese Werte im Folgenden zur Bewertung
+von Sortiernetzwerken verwendet. Die Bewertungsfunktion bevorzugt mit diesen
+Konstanten \emph{schnelle} Sortiernetzwerke, da das Einsparen einer Schicht
+ein höheres Gewicht als das Einsparen von Komparatoren hat.
+
+Wenn der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus nach \emph{effizienten}
+Sortiernetzwerken suchen soll, werden alternative Werte für die Konstanten der
+Bewertungsfunktion verwendet. Die Werte
+\begin{eqnarray*}
+ w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
+ w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 2 \\
+ w_{\mathrm{Schichten}} &=& 1
\end{eqnarray*}
+geben dem Einsparen eines Komparators ein höheres Gewicht als dem Einsparen
+einer Schicht.
\subsection{Selektion}
\subsection[Bitoner Mischer]{Versuche mit dem bitonen Mischer}
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/16-e1-bitonic-1296542566.tex}
- \end{center}
- \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 67~Komparatoren in
- 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
- erzeugt.}
- \label{fig:16-e1-bitonic-1296542566}
-\end{figure}
-
Wenn \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk
als Eingabe gestartet wird und in der Rekombinationsphase den \emph{bitonen
-Mischer} verwendet, gibt der Algorithmus Sortiernetzwerke wie das in
-Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte zurück.
-
-Viele der Sortiernetzwerke, die von \textsc{SN-Evolution} in dieser
-Konfiguration gefunden werden, sind effizienter als das \emph{bitone
-Mergesort}-Netzwerk \bs{n}, das ebenfalls auf dem \emph{bitonen
-Merge}-Netzwerk \bm{n} beruht. Das in
-Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte 16-Sortiernetzwerk
-benötigt 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{n}.
-
-Wenn die Gütefunktion so gewählt ist, dass sie schnelle Sortiernetzwerke
-bevorzugt, können Netzwerke zurückgegeben werden, die schneller als \bs{n}
-sind. Viele der schnellen Sortiernetzwerke sind außerdem effizienter als
-\bs{n}. Das Sortiernetzwerk mit $n = 23$ Leitungen benötigt mit
-134~Komparatoren jedoch einen Komparator mehr als \bs{23}. Die Daten von
-schnellen Sortiernetzwerken, die \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{bitonen
-Merge}-Netzwerk erzeugt hat, sind in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-bm-fast}
-aufgelistet.
+Mischer} verwendet, gibt der Algorithmus \emph{effiziente} und in einigen
+Fällen \emph{schnelle} Sortiernetzwerke aus. Die Ergebnisse des
+\textsc{SN-Evolution}-Algorithmus unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
+sind in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-bm-fast} zusammengefasst.
\begin{table}\label{tbl:sn-ev-bm-fast}
\begin{center}
\cline{2-5}
($n$) & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
\hline
- 8 & \gcell 20 & 6 & 24 & 6 \\
- 9 & \Gcell 26 & 8 & 28 & 8 \\
- 10 & \gcell 31 & \gcell 8 & 33 & 9 \\
- 11 & \Gcell 37 & \Gcell 9 & 39 & 10 \\
- 12 & \gcell 42 & \gcell 9 & 46 & 10 \\
- 13 & \Gcell 48 & 10 & 53 & 10 \\
- 14 & \gcell 54 & 10 & 61 & 10 \\
- 15 & \Gcell 61 & 10 & 70 & 10 \\
- 16 & \gcell 67 & 10 & 80 & 10 \\
- 17 & \Gcell 76 & 12 & 85 & 12 \\
- 18 & \gcell 87 & \gcell 12 & 91 & 13 \\
- 19 & \Gcell 93 & \Gcell 13 & 98 & 14 \\
- 20 & \gcell 104 & \gcell 13 & 106 & 14 \\
- 21 & \Gcell 109 & \Gcell 14 & 114 & 15 \\
- 22 & \gcell 118 & \gcell 14 & 123 & 15 \\
- 23 & 134 & \Gcell 14 & \Gcell 133 & 15 \\
- 24 & \gcell 133 & 15 & 144 & 15 \\
+ 8 & \gcell 20 & 6 & 24 & 6 \\
+ 9 & \Gcell 26 & 8 & 28 & 8 \\
+ 10 & \gcell 31 & \gcell 8 & 33 & 9 \\
+ 11 & \Gcell 37 & \Gcell 9 & 39 & 10 \\
+ 12 & \gcell 42 & \gcell 9 & 46 & 10 \\
+ 13 & \Gcell 48 & 10 & 53 & 10 \\
+ 14 & \gcell 54 & 10 & 61 & 10 \\
+ 15 & \Gcell 61 & 10 & 70 & 10 \\
+ 16 & \gcell 67 & 10 & 80 & 10 \\
+ 17 & \Gcell 76 & 12 & 85 & 12 \\
+ 18 & \gcell 87 & \gcell 12 & 91 & 13 \\
+ 19 & \Gcell 93 & \Gcell 13 & 98 & 14 \\
+ 20 & \gcell 104 & \gcell 13 & 106 & 14 \\
+ 21 & \Gcell 109 & \Gcell 14 & 114 & 15 \\
+ 22 & \gcell 118 & \gcell 14 & 123 & 15 \\
+ 23 & \Gcell 129 & \Gcell 14 & 133 & 15 \\
+ 24 & \gcell 133 & 15 & 144 & 15 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
\end{center}
\end{table}
-\subsection[Odd-Even-Mischer]{Versuche mit dem Odd-Even-Mischer}
+Alle Sortiernetzwerke, die von \textsc{SN-Evolution} in dieser Konfiguration
+gefunden wurden, waren \emph{effizienter} als das \emph{bitone
+Mergesort}-Netzwerk \bs{n}, das ebenfalls auf dem \emph{bitonen
+Merge}-Netzwerk \bm{n} beruht. Zum Beispiel benötigt das in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte 16-Sortiernetzwerk
+67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{n}.
\begin{figure}
\begin{center}
- \input{images/16-e1-oddeven-1296543330.tex}
+ \input{images/16-e1-bitonic-1296542566.tex}
\end{center}
- \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 67~Komparatoren in
10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers
+ \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
erzeugt.}
- \label{fig:16-e1-oddeven-1296543330}
+ \label{fig:16-e1-bitonic-1296542566}
\end{figure}
+Wenn die Gütefunktion so gewählt ist, dass sie schnelle Sortiernetzwerke
+bevorzugt, werden in einigen Fällen Netzwerke zurückgegeben, die
+\emph{schneller} und \emph{effizienter} als \bs{n} sind. Das
+19-Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:19-e1-bm-fast} besitzt beispielsweise
+nur 13~Schichten und benötigt damit einen parallelen Schritt weniger als
+\bs{19}.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/19-e1-bm-fast.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 93~Komparatoren in
+ 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
+ unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers} erzeugt.}
+ \label{fig:19-e1-bm-fast}
+\end{figure}
+
+\subsection[Odd-Even-Mischer]{Versuche mit dem Odd-Even-Mischer}
+
+Die folgenden Ergebnisse wurden erzielt, indem \textsc{SN-Evolution} mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk als Eingabe gestartet wurde und in
+der Rekombinationsphase das \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk verwendete. So
+erzeugt der Algorithmus entweder Sortiernetzwerke, die genauso schnell und
+effizient wie das \oes{n}-Netzwerk, oder Sortiernetzwerke, die schneller aber
+weniger effizient als das \oes{n}-Netzwerk sind. Die Ergebnisse von
+\textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer sind in
+Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-oem-fast} zusammengefasst.
+
+\begin{table}\label{tbl:sn-ev-oem-fast}
+\begin{center}
+\rowcolors{4}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+\hline
+Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \oem{n}} & \multicolumn{2}{|l|}{\oes{n}} \\
+\cline{2-5}
+ & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
+\hline
+ 8 & 19 & 6 & 19 & 6 \\
+ 9 & 26 & 8 & 26 & 8 \\
+ 10 & 31 & 9 & 31 & 9 \\
+ 11 & 38 & \Gcell 9 & \Gcell 37 & 10 \\
+ 12 & 43 & \gcell 9 & \gcell 41 & 10 \\
+ 13 & 48 & 10 & 48 & 10 \\
+ 14 & 53 & 10 & 53 & 10 \\
+ 15 & 59 & 10 & 59 & 10 \\
+ 16 & 63 & 10 & 63 & 10 \\
+ 17 & 74 & 12 & 74 & 12 \\
+ 18 & 82 & 13 & 82 & 13 \\
+ 19 & 93 & \Gcell 13 & \Gcell 91 & 14 \\
+ 20 & 97 & 14 & 97 & 14 \\
+ 21 & 108 & \Gcell 14 & \Gcell 107 & 15 \\
+ 22 & 117 & \gcell 14 & \gcell 114 & 15 \\
+ 23 & 127 & \Gcell 14 & \Gcell 122 & 15 \\
+ 24 & 128 & 15 & \gcell 127 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
+ unter Verwendung des \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks \oem{n}. Der
+ Algorithmus wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n}
+ gestartet und nach 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion
+ nutzte die Konstanten $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} =
+ 1$, $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
+\end{center}
+\end{table}
+
Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass der
\textsc{SN-Evolution}-Algorithmus unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
Sortiernetzwerke erzeugen kann, die effizienter als das rekursiv aus dem
\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks findet, erreichen das
\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk bezüglich Effizienz, übertreffen es aber
nicht. Ein Beispiel für ein entsprechendes Sortiernetzwerk ist in
-Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen.
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-oem-fast} dargestellt.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-e1-oem-fast.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers
+ erzeugt.}
+ \label{fig:16-e1-oem-fast}
+\end{figure}
Mit einer Gütefunktion, die schnelle Sortiernetzwerke bevorzugt, ist es auch
mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer möglich, dass \textsc{SN-Evolution}
-Sortiernetzwerke zurück gibt, die schneller als \oes{n} sind. Dies geschieht
-beispielsweise bei $n = 11$ und $n = 12$: für diese Leitungszahlen gibt
-\textsc{SN-Evolution} Sortiernetzwerke aus, die nur 9~Schicten benötigen.
-\oes{11} und \oes{12} benötigen jeweils 10~Schichten. Eine Auflistung der
-Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer befindet
-sich in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-oem-fast}.
+Sortiernetzwerke zurück gibt, die schneller als \oes{n} sind. Beispielsweise
+benötigt das 19-Sortiernetzwerk, das in Abbildung~\ref{fig:19-e1-oem-fast}
+dargestellt ist, nur 13~Schichten, während \oes{19} 14~Schichten benötigt.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/19-e1-oem-fast.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 93~Komparatoren in
+ 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
+ unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers erzeugt.}
+ \label{fig:19-e1-oem-fast}
+\end{figure}
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\label{fig:10-e2-1239014566}
%\end{figure}
-\begin{table}\label{tbl:sn-ev-oem-fast}
-\begin{center}
-\rowcolors{4}{black!5}{}
-\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
-\hline
-Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \oem{n}} & \multicolumn{2}{|l|}{\oes{n}} \\
-\cline{2-5}
- & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
-\hline
- 8 & 19 & 6 & 19 & 6 \\
- 9 & 26 & 8 & 26 & 8 \\
- 10 & 31 & 9 & 31 & 9 \\
- 11 & 38 & \Gcell 9 & \Gcell 37 & 10 \\
- 12 & 43 & \gcell 9 & \gcell 41 & 10 \\
- 13 & 48 & 10 & 48 & 10 \\
- 14 & 53 & 10 & 53 & 10 \\
- 15 & 59 & 10 & 59 & 10 \\
- 16 & 63 & 10 & 63 & 10 \\
- 17 & 74 & 12 & 74 & 12 \\
- 18 & 82 & 13 & 82 & 13 \\
- 19 & 93 & \Gcell 13 & \Gcell 91 & 14 \\
- 20 & 97 & 14 & 97 & 14 \\
- 21 & 108 & \Gcell 14 & \Gcell 107 & 15 \\
- 22 & 117 & \gcell 14 & \gcell 114 & 15 \\
- 23 & 129 & \Gcell 14 & \Gcell 122 & 15 \\
- 24 & 128 & 15 & \gcell 127 & 15 \\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
- unter Verwendung des \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks \oem{n}. Der
- Algorithmus wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n}
- gestartet und nach 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion
- nutzte die Konstanten $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} =
- 1$, $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
-\end{center}
-\end{table}
-
\subsection{Zufälliger Mischer}
Die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Abschnitte zeigen, dass für einige
um das beste Ergebnis beider Konstruktionen zu erreichen.
\textsc{SN-Evolution} kann zu diesem Zweck beim Zusammenfügen zweier
Individuen zufällig zwischen dem \emph{bitonen Mischer} und dem
-\emph{Odd-Even}-Mischer wählen.
-
-Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} bei einer zufälligen Wahl des
-Mischers in der Rekombinationsphase sind in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-rnd-fast}
-zusammengefasst. Bei den Leitungszahlen 12, 19, 21, 22 und 23 hat der
-Algorithmus Netzwerke mit einer Effizienz erzeugt, die mit nur einem
-Mischertyp nicht erreicht wurde. Die Ergebnisse mit den Leitungszahlen 18 und
-20 erreichen die Geschwindigkeit der Netzwerke, die mit dem \emph{bitonen
-Mischer} generiert wurden, und verbessern gleichzeitig die Effizienz.
+\emph{Odd-Even}-Mischer wählen. Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} bei
+einer zufälligen Wahl des Mischers in der Rekombinationsphase sind in
+Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-rnd-fast} zusammengefasst.
\begin{table}\label{tbl:sn-ev-rnd-fast}
\begin{center}
20 & 104 & \gcell 13 & \gcell 97 & 14 & 101 & \gcell 13 \\
21 & 109 & 14 & 108 & 14 & \Gcell 107 & 14 \\
22 & 118 & 14 & 117 & 14 & \gcell 116 & 14 \\
- 23 & 134 & 14 & 129 & 14 & \Gcell 128 & 14 \\
+ 23 & 129 & 14 & \Gcell 127 & 14 & 128 & 14 \\
24 & 133 & 15 & \gcell 128 & 15 & 130 & 15 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
- unter Verwendung der verschiedenen Mischer. Der Algorithmus wurde mit dem
+ unter Verwendung der beiden Mischer-Netzwerke. Der Algorithmus wurde mit dem
\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n} gestartet und nach
2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion nutzte die Konstanten
- $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$,
+ $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$ und
$w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
\end{center}
\end{table}
+Bei einigen Leitungszahlen kann der Algorithmus durch die Verfügbarkeit beider
+Mi\-scher-Netzwerke Sortiernetzwerke zurückgeben, die effizienter als die
+vorherigen Ergebnisse sind. Beispielsweise ist das 19-Sortiernetzwerk in
+Abbildung~\ref{fig:19-e1-rnd-fast} mit 92~Komparatoren effizienter als die
+19-Sortiernetzwerke, die mit nur einem der beiden Mischer-Netzwerke erreicht
+wurden (Abbildungen~\ref{fig:19-e1-bm-fast} und~\ref{fig:19-e1-oem-fast}).
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/19-e1-rnd-fast.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 92~Komparatoren in
+ 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
+ unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers} und des
+ \emph{Odd-Even}-Mischers erzeugt.}
+ \label{fig:19-e1-rnd-fast}
+\end{figure}
+
+Die Ergebnisse anderer Leitungszahlen erreichen die Geschwindigkeit der
+Ergebnisse, die mit dem \emph{bitonen Mischer} erzielt wurden. Die Effizienz
+liegt zwischen den Ergebnissen, die mit dem \emph{bitonen Mischer} erzielt
+wurden, und den Ergebnissen, die mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer erzielt
+wurden. Beispielsweise ist das 18-Sortiernetzwerk in
+Abbildung~\ref{fig:18-e1-rnd-fast} so schnell wie das Ergebnis, das mit dem
+\emph{bitonen Mischer} ausgegeben wurde. Mit 83~Komparatoren liegt die
+Effizienz des Sortiernetzwerks zwischen den Ergebnissen, die mit dem
+\emph{bitonen Mischer} (87~Komparatoren), beziehungsweise dem
+\emph{Odd-Even}-Mischer (82~Komparatoren) erreicht werden konnten.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/18-e1-rnd-fast.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 18~Leitungen und 83~Komparatoren in
+ 12~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
+ unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers} und des
+ \emph{Odd-Even}-Mischers erzeugt.}
+ \label{fig:18-e1-rnd-fast}
+\end{figure}
+
+In einigen Fällen hat \textsc{SN-Evolution} in dieser Konfiguration
+Sortiernetzwerke ausgegeben, die weniger effizient und genauso schnell wie die
+bisherigen Ergebnisse unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers sind.
+Prinzipiell könnte der Algorithmus in jeder Iteration zufällig den
+\emph{Odd-Even}-Mischers auswählen, um die selektierten Individuen zu
+rekombinieren. Das heißt, das die Ergebnisse auch bei einer zufälligen Wahl
+des Mischer-Netzwerks theoretisch erreicht werden können. Allerdings sind
+unter Umständen mehr Iterationen notwendig, bis die gleiche Effizienz erreicht
+wird.
+
%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
\newpage
%\end{figure}
\newpage
-\section{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
+\section[\textsc{SN-Evolution-Cut}]{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
\label{sect:sn-evolution-cut}
Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
-von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem
-Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
-gute Schnittmuster gesucht.
+von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution:bewertung}.
Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet \emph{Schnittmuster}, die
in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als Individuen.
Ein Individuum besteht aus einer Liste von $n$~Zahlen, die entweder 1, $-1$
oder 0 sind. Dieser Werte entsprechen Maximum, Minimum und unbelegt. Bei einem
-$k$-Schnittmuster sind genau $k$ Zahlen nicht Null.
+$k$-Schnittmuster sind genau $k$ Zahlen ungleich Null.
Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Werte des einen
Schnittmusters und die letzten ${n-r}$~Schnitte des zweiten Schnittmusters
multipliziert den Wert einer Leitung mit $-1$, um die Schnittrichtung zu
invertieren.
+Die Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} ist ein $n$-Sortiernetzwerk und eine
+Zahl $k$, $1 \leqq k < n$, die angibt wie viele Leitungen entfernt werden
+sollen. Der Rückgabewert des \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus ist ein
+\emph{$k$-Schnittmuster}. Wird das Schnittmuster auf das Sortiernetzwerk, mit
+dem der Algorithmus gestartet wurde, angewendet, entsteht ein möglichst
+schnelles und effizientes Sortiernetzwerk mit $m = n - k$ Leitungen. Da mit
+dem Eingabe-Netzwerk und dem zurückgegebenen $k$-Schnittmuster das
+$m$-Sortiernetzwerk eindeutig bestimmt ist, werden im Folgenden sowohl das
+$k$-Schnittmuster als auch das $m$-Sortiernetzwerk als Ausgabe von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} bezeichnet.
+
\subsection[Bitones Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
\label{sect:sn-evolution-cut:bs}
+% Effizienz
+
+Wenn der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit dem \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerk \bs{n} gestartet wird und $k$~Leitungen entfernen soll,
+ergeben die gefundenen Schnittmuster in vielen Fällen effizientere Netzwerke
+als \bs{n-k}. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit \bs{22} und $k
+= 6$ gestartet, resultiert das gefundene Schnittmuster in einem
+Sortiernetzwerk mit 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{16}
+benötigt. Eines der Sortiernetzwerke, die auf diese Art und Weise generiert
+wurde, ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} zu sehen.
+
+% Beispiel Effizienz
+
\begin{figure}
\begin{center}
\input{images/16-ec-from-bs22.tex}
\label{fig:16-ec-from-bs22}
\end{figure}
+Eine Übersicht über die Effizienz der Ergebnisse, die mit dem \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerk als Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} erzielt wurden,
+gibt Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency}. \textsc{SN-E\-vo\-lu\-tion-Cut} wurde
+mit \bs{n}, $n = 9 \dots 24$ und $k = 1 \dots (n-8)$ gestartet. Die Konstanten
+der Bewertungsfunktion waren $w_{\mathrm{Basis}} = 0$,
+$w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$ und $w_{\mathrm{Schichten}} = n$. In jeder
+Zeile befinden sich die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk, in den Spalten
+befinden sich die Ergebnisse für eine Leitungszahl $m=n-k$ des
+Ausgabenetzwerks. In den Zellen stehen jeweils die Anzahl der Komparatoren des
+resultierenden Netzwerks. Die letzte Zeile enthält die Anzahl der
+Komparatoren, die \bs{m} benötigt, um die Ergebnisse besser einordnen zu
+können.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+ \hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+ \hline
+ 9 & 21 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 20 & 27 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 20 & 26 & 32 & 39 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & 70 & & & & & & & & \\
+ 17 & 20 & 26 & 32 & 37 & 43 & 50 & 57 & 65 & 74 & & & & & & & \\
+ 18 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 49 & 56 & 63 & 71 & 82 & & & & & & \\
+ 19 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 48 & 55 & 62 & 70 & 79 & 88 & & & & & \\
+ 20 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 86 & 95 & & & & \\
+ 21 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 85 & 94 & 103 & & & \\
+ 22 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 67 & 77 & 84 & 93 & 102 & 112 & & \\
+ 23 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & \\
+ 24 & 20 & 26 & 32 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & 133 \\
+ \hline
+\bs{m} & 24 & 28 & 33 & 39 & 46 & 53 & 61 & 70 & 80 & 85 & 91 & 98 & 106 & 114 & 123 & 133 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
+ Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
+ die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
+ Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-bs-efficiency}
+\end{table}
+
+Zu sehen ist, dass jedes einzelne Ergebnis von \textsc{SN-Evolution-Cut}
+mindestens so effizient wie das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit der
+gleichen Leitungszahl ist. Außerdem enthält jede Spalte (mit Ausnahme von
+$m=23$) ein Ergebnis, das effizienter als \bs{m} ist.
+
+In zahlreichen Fällen reicht das Entfernen einer einzigen Leitung aus, um ein
+effizientes Ergebnis zu erzielen. Das Ergebnis, das \textsc{SN-Evolution-Cut}
+gestartet mit \bs{20} und $k = 1$ erreicht, benötigt mit 95~Komparatoren
+3~weniger als \bs{19}.
+
+Bei anderen Größen ergeben erst größere~$k$ effiziente Sortiernetzwerke,
+beispielsweise bei $m = 10$: erst für $n = 18$, $k = 8$ wird ein
+Sortiernetzwerk mit 31~Komparatoren gefunden.
+
+% Geschwindigkeit
+
+Bei einigen Werten für die Ziel-Leitungsanzahl $m$ kann der
+\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Ergebnisse erzielen, die schneller als
+das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{m} sind. In
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-speed} ist die Anzahl der Schichten, die die Ergebnisse
+von \textsc{SN-Evolution-Cut} benötigen, um die Eingabe zu sortieren,
+aufgelistet. Jede Zeile enthält die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n},
+jede Spalte enthält die Ergebnisse für eine Ziel-Leitungszahl $m = n-k$. Die
+Zellen enthalten die Anzahl der Schichten des jeweiligen Ergebnis-Netzwerks.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
+ 17 & 6 & 8 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
+ 18 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
+ 19 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
+ 20 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
+ 21 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
+ 22 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
+ 23 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
+ 24 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\bs{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
+ Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
+ die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
+ Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-bs-speed}
+\end{table}
+
+Für die Ziel-Leitungszahlen 9, 10 und 11 wurden Schnittmuster gefunden, die
+schnelle Sortiernetzwerke erzeugen. Beispiele für schnelle Sortiernetzwerke,
+die mit den von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenen Schnittmustern erzeugt
+werden können, sind in Abbildung~\ref{fig:ec-bs-fast_networks} dargestellt.
+
+% Beispiel Geschwindigkeit
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[10-Sortiernetzwerk aus 31~Komparatoren in 8~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{19} erzeugt.]{\input{images/10-ec-from-bs19-fast.tex}\label{fig:10-ec-from-bs19-fast}}
+ \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{18} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-bs18-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-bs18-fast}}
+ \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 42~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{22} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-bs22-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-bs22-fast}}
+ \subfigure[19-Sortiernetzwerk aus 92~Komparatoren in 13~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{37} erzeugt.]{\input{images/19-ec-from-bs37-fast.tex}\label{fig:19-ec-from-bs37-fast}}
+ \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m \in \{10, 11,
+ 12, 19\}$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
+ erzeugen, die \emph{schneller} und \emph{effizienter} als \bs{m} sind.}
+ \label{fig:ec-bs-fast_networks}
+\end{figure}
+
+Bei der Betrachtung der Effizienz wurde festgestellt, dass oft schon das
+Entfernen einer einzigen Leitung zu eines effizienteren Ergebnis als \bs{m}
+führt. Bei der Geschwindigkeit ist die Anzahl der Leitungen, die entfernt
+werden müssen, um schnellere Netzwerke zu erzielen, größer. Um eine Schicht
+einzusparen waren bei $m = 10$ und $m = 11$ $k = 6$ Schnitte notwendig. Bei $m
+= 9$ war sogar ein 7-Schnittmuster notwendig, um die Anzahl der Schichten zu
+reduzieren. Für schnelle \emph{und} effiziente Netzwerke musste $k$ teilweise
+noch größer gewählt werden.
+
+% Detaillierte Betrachtung fuer m = 19
+
+Die Effizienz und Geschwindigkeit der Sortiernetzwerke, die von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk erzeugten
+werden, ist für $m = 19$ und $n = 20 \dots 38$ ($k = 1 \dots 19$) in
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-19} aufgelistet. Erst, wenn $k \geqq 6$ ist, wird im
+Vergleich zu \bs{19} eine Schicht eingespart. Für $n = 36$ ($k = 17$) und $n =
+37$ ($k = 18$) werden Sortiernetzwerke ausgegeben, die schneller als \bs{19}
+und \oes{19} sind und nur einen Komparator mehr als \oes{19} benötigen. Ein
+Beispiel für ein solches Netzwerk ist in
+Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} zu sehen.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|r|r|}
+ \hline
+ $n$ & Komp. & Schichten \\
+ \hline
+ 20 & 95 & 14 \\
+ 21 & 94 & 14 \\
+ 22 & 93 & 14 \\
+ 23 & 93 & 14 \\
+ 24 & 93 & 14 \\
+ 25 & 96 & 13 \\
+ 26 & 96 & 13 \\
+ 27 & 96 & 13 \\
+ 28 & 96 & 13 \\
+ 29 & 95 & 13 \\
+ 30 & 96 & 13 \\
+ 31 & 95 & 13 \\
+ 32 & 96 & 13 \\
+ 33 & 93 & 13 \\
+ 34 & 94 & 13 \\
+ 35 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 36 & 92 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ 37 & 92 & 13 \\
+ 38 & 93 & 13 \\
+ \hline
+ \bs{19} & 98 & 14 \\
+ \oes{19} & 91 & 14 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von 19-Sortiernetzwerken, die
+ von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{n}, $n = 20, \dots, 38$ erzeugt
+ wurden. Für $k \geqq 6$ ergeben sich Sortiernetzwerke, die schneller als
+ \bs{19} sind. Mit $k \in \{14, 16, 19\}$ erreichen die Ergebnisse mit
+ 13~Schichten die Effizienz der vorherigen
+ Ergebnisse mit 14~Schichten, mit $k = 17$ und $k = 18$ wird diese
+ Effizienz noch übertroffen. Ein 19-Sortiernetzwerk, das aus \bs{37}
+ auf diese Art erzeugt wurde, ist in
+ Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} dargestellt.}
+ \label{tbl:ec-bs-19}
+\end{table}
+
+% 2-er Potenz
+
\textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka} zeigen in~\cite{MW2010},
-wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
-durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen
-Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer
-sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
-werden, Komparatoren ein.
-
-Beispielsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
-Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
-konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk be\-nö\-tigt 68~Komparatoren,
-12~weniger als das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk nach Batchers Methode.
-Gegenüber Batchers Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke
-${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren ein.
+wie ein \emph{bitoner Mischer} $\bm{n = 2^d}$, der nach Batchers Methode
+konstruiert wurde, durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen
+ebenfalls bitonen Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert werden
+kann, so dass dieser alternative Mischer im Vergleich zu $\bm{\frac{n}{2} =
+2^{d-1}}$ Komparatoren einspart.
+
+Basierend auf diesen alternativen Mischern geben \textit{Mühlenthaler} und
+\textit{Wanka} eine Konstruktionsvorschrift für Sortiernetzwerke an, die
+gegenüber \bs{n} ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren einspart.
+Beispielsweise wird ein 16-Sortiernetzwerk angegeben, das nur 68~Komparatoren
+benötigt. Dieses Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-muehlenthaler}
+dargestellt.
\begin{figure}
\begin{center}
- \input{images/16-ec-from-bs32.tex}
+ \input{images/16-muehlenthaler.tex}
\end{center}
\caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
- 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}
- $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde 2010 von \textit{Mühlenthaler} und
+ \textit{Wanka} aus optimierten bitonen Mischern konstruiert und
+ in~\cite{MW2010} veröffentlicht.}
+ \label{fig:16-muehlenthaler}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-bs32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Visualisierung eines 16-Schnittmusters, das von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} für das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{32}
+ berechnet wurde. Das resultierende Sortiernetzwerk besteht aus
+ 68~Komparatoren in 10~Schichten und ist in
+ Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} als
+ Standard-Sortiernetzwerk dargestellt.}
\label{fig:16-ec-from-bs32}
\end{figure}
\input{images/16-ec-from-bs32-normalized.tex}
\end{center}
\caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
- 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
- $\operatorname{BS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde mit einem 16-Schnittmuster, das von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} berechnet wurde, aus dem \emph{bitone
+ Mergesort}-Netzwerk \bs{32} erzeugt. Das Schnittmuster ist in
+ Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} dargestellt.}
\label{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
\end{figure}
29, 30)}$, ${\operatorname{MAX}(2, 4, 13, 19, 24)}$, das durch
\textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
-nachdem das Schnittmuster angewandt und das Netzwerk normalisiert wurde. Eine
-Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist in
-diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des
-Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
+nachdem das Schnittmuster angewendet und das Netzwerk normalisiert wurde.
+% Eine Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist
+% in diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten
+% des Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
\begin{figure}
% 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
\label{fig:32-ec-from-bs64}
\end{figure}
-Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka}, die den bitonen
-Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
-konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
-$\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen
-Größen, beispielsweise wenn man $\operatorname{BS}(64)$ auf ein
-32-Sortiernetzwerk reduziert, kann das Ergebnis sogar noch übertroffen werden,
-wie in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} zu sehen: Ein nach Batchers Methode
-konstruiertes Sortiernetzwerk benötigt 240~Komparatoren, ein aus den
-optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk verbessert die Kosten auf
-208~Komparatoren. Das in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} dargestellte
-Sortiernetzwerk benötigt lediglich 206~Komparatoren. Die Komparatoren aller
-dieser Netzwerke können in 15~Schichten angeordnet werden, so dass die
-Geschwindigkeit dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
+Wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \bs{64}-Netzwerk und $k = 32$ gestartet
+wird, findet der Algorithmus 32-Sortiernetzwerke, die effizienter sind als
+32-Sortiernetzwerke, die nach \textit{Mühlenthalers} und \textit{Wankas}
+Methode konstruiert werden. Ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{64}
+generiertes 32-Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64}
+dargestellt. Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{32} benötigt
+240~Komparatoren, ein aus den optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk
+verbessert die Effizienz auf 208~Komparatoren. Das Ergebnis von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} kommt mit nur 206~Komparatoren aus. Die
+Geschwindigkeit aller genannten Sortiernetzwerke ist mit 15 parallelen
+Schritten identisch.
+
+Wenn die Leitungszahl des Eingabenetzwerks keine Zweierpotenz ist, kann
+\textsc{SN-Evo\-lu\-tion-Cut} auch 16-Sortiernetzwerke erzeugen, die diese
+Effizienz unterbieten. Das geht aus den Daten in
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency} hervor. Ein 16-Sortiernetzwerk mit
+67~Komparatoren, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} generiert wurde, ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} dargestellt.
Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
Mergesort}-Netzwerks leicht invertieren lassen, ist eine Fallunterscheidung --
mehr Minimum- oder mehr Maximumschnitte -- nicht notwendig.
-\begin{figure}
- \centering
- \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 9~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{22} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-bs22-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-bs22-fast}}
- \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 42~Komparatoren in 9~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{24} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-bs24-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-bs24-fast}}
- \caption{Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \bs{22} und \bs{24}, kann
- der Algorithmus schnelle Sortiernetzwerke ausgeben.}
- \label{fig:11-12-ec-from-bs22-bs24}
-\end{figure}
+Dass die Sortiernetzwerke, die mit den Schnittmustern von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} entstehen, keine erkennbare Struktur haben, ist
+jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere von der
+Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(n)$ und
+$k$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
+$\operatorname{OET}(n-k)$-Netzwerk.
+
+\subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+\label{sect:sn-evolution-cut:oes}
-Verwendet man als Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} Instanzen des
-\emph{bitonen Mergesort}-Netzwerks, deren Leitungszahl keine Zweierpotenz ist,
-können Sortiernetzwerke zurückgegeben werden, die sowohl schneller als auch
-effizienter als das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk sind. Die
-folgende Tabelle listet einige interessante Fälle auf. Die Eingabe für
-\textsc{SN-Evolution-Cut} war jeweils das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit
-der doppelten Leitungszahl. Die Abbildungen~\ref{fig:11-12-ec-from-bs22-bs24}
-und~\ref{fig:23-ec-from-bs46} zeigen beispielhaft ein 11-, 12- und
-23-Sortiernetzwerk, die aus \bs{22}, \bs{24} und \bs{46} generiert wurden.
+Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+\oes{n} gestartet, gibt der Algorithmus meist Sortiernetzwerke zurück, die
+genauso effizient und schnell wie das entsprechende
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{m} sind. Die Effizienz der
+Sortiernetzwerke, die mit Schnittmustern von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus
+\oes{n} entstehen können, zeigt Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-efficiency}
+tabellarisch.
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
\hline
-Leitungen & Komparatoren & Schichten & Komparatoren & Schichten \\
- & \textsc{SN-EC} & \textsc{SN-EC} & \bs{n} &
- \bs{n} \\
+ 9 & 19 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 19 & 26 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 19 & 26 & 31 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 19 & 26 & 31 & 37 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
+ 17 & 19 & 26 & 31 & 38 & 41 & 48 & 53 & 59 & 63 & & & & & & & \\
+ 18 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & & & & & & \\
+ 19 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & & & & & \\
+ 20 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & & & & \\
+ 21 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & & & \\
+ 22 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & & \\
+ 23 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & \\
+ 24 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & 122 \\
\hline
-11 & 37 & 9 & 39 & 10 \\
-12 & 42 & 9 & 46 & 10 \\
-19 & 93 & 13 & 98 & 14 \\
-20 & 102 & 13 & 106 & 14 \\
-% 20: # sn-cut 2:MAX 3:MIN 4:MIN 9:MIN 10:MIN 13:MIN 14:MIN 15:MIN 19:MIN 20:MAX 24:MAX 26:MIN 27:MAX 29:MIN 31:MAX 33:MIN 34:MAX 35:MIN 37:MIN 39:MAX
-21 & 109 & 14 & 114 & 15 \\
-22 & 116 & 14 & 123 & 15 \\
-23 & 124 & 14 & 133 & 15 \\
+\oes{m}&19& 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & 122 \\
\hline
\end{tabular}
-\end{center}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-oes-efficiency}
+\end{table}
\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 38~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{17} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-oes17-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-oes17-fast}}
+ \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{18} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-oes18-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes18-fast}}
+ \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m = 10$ und $m =
+ 11$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
+ erzeugen, die \emph{schneller} aber weniger \emph{effizient} als \oes{m}
+ sind.}
+ \label{fig:ec-oes-fast_networks}
+\end{figure}
+
+Die Bewertungsfunktion, die \textsc{SN-Evolution-Cut} verwendet, bevorzugt
+schnelle Sortiernetzwerke. Dadurch kann es vorkommen, dass ein
+$m$-Sortiernetzwerk, das durch ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenes
+Schnittmuster entsteht, schneller als \oes{m} ist. Diese Geschwindigkeit
+war allerdings in allen beobachteten Fällen nur dann möglich, wenn
+zusätzliche Komparatoren in Kauf genommen wurden. In den
+Tabellen~\ref{tbl:ec-oes-efficiency} und~\ref{tbl:ec-oes-speed} ist dieser
+Fall für $m = 11$ und $k \geqq 6$, beziehungsweise $m = 12$ und $k \geqq 6$ zu
+beobachten. Die entsprechenden schnellen Sortiernetzwerke sind in
+Abbildung~\ref{fig:ec-oes-fast_networks} dargestellt.
+
+Wie beim \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk reicht auch beim
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk ein einziger Schnitt nicht aus, um die
+Geschwindigkeit gegenüber \oes{m} zu verbessern. Bei $m = 11$ und $m = 12$ war
+jeweils mindestens ein 6-Schnittmuster notwendig, um eine höhere
+Geschwindigkeit zu erreichen.
+
+In Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-19} sind die Ergebnisse von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} für \oes{n}, $n = 20$ und $m = 19$ ($k = 1 \dots
+19$) aufgelistet. Mit $k = 10$ wird das erste mal ein schnelles
+19-Sortiernetzwerk mit 13~Schichten ausgegeben. Mit $k \geqq 11$ sind die
+resultierenden Netzwerke mit 93~Komparatoren effizienter als das Ergebnis mit
+$k = 10$, das 95~Komparatoren benötigt. Das Ergebnis, das auf Basis des
+\emph{bitonen Mergesort}-Netzwerks erreicht wurde (92~Komparatoren in
+13~Schichten, siehe Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-19}), wird nicht erreicht.
+
+\begin{table}
\begin{center}
- \input{images/23-ec-from-bs46-fast.tex}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
+ 17 & 6 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
+ 18 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
+ 19 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
+ 20 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
+ 21 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
+ 22 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
+ 23 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
+ 24 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\oes{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
\end{center}
- \caption{23-Sortiernetzwerk mit 124~Komparatoren in 14~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{46} mit dem
- Schnittmuster $\operatorname{MIN}(2, 4, 9, 12, 20, 22, 28, 30, 32, 33, 37,
- 38, 41)$, $\operatorname{MAX}(1, 5, 16, 19, 21, 24, 25, 35, 36, 43)$
- erzeugt.}
- \label{fig:23-ec-from-bs46}
-\end{figure}
+ \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-oes-speed}
+\end{table}
-Dass die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution-Cut} keine erkennbare Struktur
-haben, ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere
-von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
-\emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} $\operatorname{OET}(n)$ und
-$k$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
-$\operatorname{OET}(n-k)$-Netzwerk.
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|r|r|}
+ \hline
+ $n$ & Komp. & Schichten \\
+ \hline
+ 20 & 91 & 14 \\
+ 21 & 91 & 14 \\
+ 22 & 91 & 14 \\
+ 23 & 91 & 14 \\
+ 24 & 91 & 14 \\
+ 25 & 91 & 14 \\
+ 26 & 91 & 14 \\
+ 27 & 91 & 14 \\
+ 28 & 91 & 14 \\
+ 29 & 95 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 30 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ 31 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 32 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ 33 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 34 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ 35 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 36 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ 37 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 38 & 93 & 13 \\
+ \hline
+ \bs{19} & 98 & 14 \\
+ \oes{19} & 91 & 14 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Komparatoren und Schichten von Sortiernetzwerken, die von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \oes{n} und $k = n - 19$ ermittelt wurden. Erst mit $k = 10$
+ ist es möglich gegenüber \oes{19} eine Schicht einzusparen. Dafür ist die
+ Effizienz von 91~Komparatoren nicht mehr erreichbar.}
+ \label{tbl:ec-oes-19}
+\end{table}
-\subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-\label{sect:sn-evolution-cut:oes}
+% 2-er Potenzen
In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
-viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster die konstruktiven Sortiernetzwerke
-$\operatorname{OES}(32)$, $\operatorname{BS}(32)$ und $\operatorname{PS}(32)$
-besitzen. Eines der Ergebnisse war, dass von diesen Sortiernetzwerken das
-\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk die wenigsten unterschiedlichen
-16-Schnittmuster besitzt -- nur etwa $5,2$~Millionen. Entsprechend ist es
-wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} gestartet mit
-$\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell\footnote{Auf dem Computer, auf dem diese
-Arbeit geschrieben wurde, dauerte es in den meisten Fällen weniger als eine
-Sekunde bis ein entsprechendes Schnittmuster gefunden wurde.} ein gutes
-16-Schnittmuster findet.
+viele \emph{unterschiedliche} 16-Schnittmuster die konstruierten
+Sortiernetzwerke $\operatorname{OES}(32)$, $\operatorname{BS}(32)$ und
+$\operatorname{PS}(32)$ besitzen. Eines der Ergebnisse war, dass von diesen
+Sortiernetzwerken das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk die wenigsten
+unterschiedlichen 16-Schnittmuster besitzt -- nur etwa $5,2$~Millionen.
+Entsprechend ist es wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut}
+gestartet mit $\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell\footnote{Ein
+entsprechendes Ergebnis wird meist nach 20.000 bis 100.000 Iterationen
+geliefert. Bei dieser Problemgröße erreicht die Implementierung (siehe
+Abschnitt~\ref{sect:implementierung}) etwa 20.000 Iterationen pro Sekunde auf
+derzeitigen Computern.} ein gutes 16-Schnittmuster findet.
Eines der 16-Schnittmuster für \oes{32}, die ein Sortiernetzwerk erzeugen, das
-bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch ist zu \oes{16}, ist
+bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch zu \oes{16} ist, ist
$\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14, 17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7,
8,$ $13, 18, 21, 27, 31)$. Das Schnittmuster ist in
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht, das resultierende
\input{images/16-ec-from-oes32-cut.tex}
\end{center}
\caption{Visualisierung eines 16-Schnittmusters, das auf
- $\operatorname{OES}(32)$ angewendet wieder ein schnelles und effizientes
- Sortiernetzwerk ergibt.}
+ $\operatorname{OES}(32)$ angewendet ein Sortiernetzwerk ergibt, das
+ bezüglich Geschwindigkeit und Effizienz identisch zu \oes{16} ist. Das
+ resultierende Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32}
+ dargestellt.}
\label{fig:16-ec-from-oes32-cut}
\end{figure}
\input{images/16-ec-from-oes32.tex}
\end{center}
\caption{16-Sortiernetzwerk mit 63~Komparatoren in 10~Schichten.
- Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
- \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(32)$ durch
- 16~Schnitte erzeugt.}
+ Das Netzwerk wurde aus dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{32} mit
+ einem 16-Schnittmuster erzeugt, das von \textsc{SN-Evolution-Cut}
+ berechnet wurde. Das Schnittmuster ist in
+ Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} dargestellt.}
\label{fig:16-ec-from-oes32}
\end{figure}
+% Regelmaessiges Schnittmuster fuer n = 2^d
+
Bei diesem Schnittmuster fällt auf, dass es für jeweils vier Eingänge (0--3,
4--7, \dots, 28--31) einen Minimum- und einen Maximumschnitt gibt. Aus dieser
-Beobachtung kann man das regelmäßige Schnittmuster
+Beobachtung kann das regelmäßige Schnittmuster
\begin{displaymath}
\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
\infty & \quad \textrm{falls } i \bmod 4 = 0 \\
? & \quad \mathrm{sonst}
\end{array} \right.
\end{displaymath}
-ableiten. Es entfernt die Hälfte der Leitungen, vorausgesetzt die Anzahl der
-Leitungen ist durch Vier teilbar. Das Schnittmuster erzeugt effiziente
-Netzwerke, wenn die Anzahl der Leitungen $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist. Ein
-32-Sortiernetzwerk, das mit diesem Schnittmuster aus \oes{64} erzeugt wurde,
-ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-oes64} zu sehen.
+abgeleitet werden. Es entfernt die Hälfte der Leitungen, vorausgesetzt die
+Anzahl der Leitungen ist durch Vier teilbar. Das Schnittmuster erzeugt
+effiziente Netzwerke, wenn die Anzahl der Leitungen $n = 2^d$ eine
+Zweierpotenz ist. Ein 32-Sortiernetzwerk, das mit diesem Schnittmuster aus
+\oes{64} erzeugt wurde, ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-oes64} zu sehen.
\begin{figure}
\begin{center}
\label{fig:32-ec-from-oes64}
\end{figure}
-Wenn die Anzahl der Leitungen keine Zweierpotenz ist, erreichen die so
-erzeugten Sortiernetzwerke die Effizienz des
+Wenn die Anzahl der Leitungen keine Zweierpotenz ist, erreichen die durch
+dieses regelmäßige Schnittmuster erzeugten Sortiernetzwerke die Effizienz des
\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks nicht. Wendet man das Schnittmuster
beispielsweise auf \oes{24} an, so erhält man ein Sortiernetzwerk mit
43~Komparatoren -- \oes{12} kommt mit 41~Komparatoren aus. Die Geschwindigkeit
beider Sortiernetzwerke ist mit 10~Schichten identisch.
-Startet man hingegen den \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit \oes{24}
-und dem Ziel, ein gutes 12-Schnittmuster zu finden, hängt die Ausgabe von der
-verwendeten Gütefunktion ab. Werden effiziente Netzwerke bevorzugt, findet der
-Algorithmus Schnittmuster wie $\operatorname{MIN}(6, 7, 8, 9, 16, 17, 20,
-22)$, $\operatorname{MAX}(2, 4, 12, 14)$, dessen Ergebnis in
+% SN-Evolution-Cut vs. regelmaessiges Schnittmuster
+
+Wird der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit \oes{n}, $n = 22, 23, 24$
+und $k = 10, 11, 12$ gestartet, hängt die Ausgabe von der verwendeten
+Gütefunktion ab. Werden effiziente Netzwerke bevorzugt, findet der Algorithmus
+Schnittmuster wie das 12-Schnittmus\-ter $\operatorname{MIN}(6, 7, 8, 9, 16, 17,
+20, 22)$, $\operatorname{MAX}(2, 4, 12, 14)$ für \oes{24}, dessen Ergebnis in
Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-efficient} zu sehen ist. Das resultierende
Sortiernetzwerk besteht aus 41~Komparatoren, die in 10~Schichten angeordnet
werden können. Damit ist das Netzwerk bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit
werden stattdessen Schnittmuster wie $\operatorname{MIN}(6, 7, 11, 12, 15,
16)$, $\operatorname{MAX}(1, 3, 10, 17, 20, 23)$ ausgegeben. Das Ergebnis
dieses Schnittmusters ist in Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-fast} zu
-sehen. Das Sortiernetzwerk besteht aus 43~Komparatoren, die in 9~Schichten
-angeordnet sind. Das resultierende Netzwerk zwar nicht so effizient wie
-\oes{12}, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12}.
+sehen, weitere Ergebnisse für diese Gütefunktion sind in den
+Tabellen~\ref{tbl:ec-oes-efficiency} und~\ref{tbl:ec-oes-speed} zusammengefasst.
+Das resultierende 12-Sortiernetzwerk besteht aus 43~Komparatoren, die
+in 9~Schichten angeordnet sind. Das resultierende Netzwerk zwar nicht so
+effizient wie \oes{12}, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12}.
\begin{figure}
\centering
\label{fig:12-ec-from-oes24}
\end{figure}
-Das \oes{24}-Sortiernetzwerk ist kein Einzelfall: \textsc{SN-Evolution-Cut}
-findet Sortiernetzwerke, die schneller sind als das entsprechende
-\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, unter anderem für das Sortiernetzwerke mit
-22, 24, 38, 40, 42, 44 und 46 Leitungen. In der folgenden Tabelle sind einige
-schnelle Netzwerke, die von \textsc{SN-Evolution-Cut} generiert werden können,
-charakterisiert. Die Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} war jeweils das
-\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk mit der doppelten Leitungszahl.
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+\subsection[Pairwise-Sorting-Netzwerk]{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+
+Eine weitere interessante Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} ist das
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n}, das \textit{Ian
+Parberry} in seiner Arbeit „The Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992}
+definiert. Einerseits wurde in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster}
+gezeigt, dass es für \ps{n} sehr viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster
+gibt. Andererseits sind die Sortiernetzwerke, die nach \textit{Parberrys}
+Methode erzeugt werden, genauso schnell und effizient wie das
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, wenn die Leitungszahl $n = 2^d$ eine
+Zweierpotenz ist.
+
+% Effizienz
+
+Für viele Kombinationen von \ps{n} und $k$ sind die Sortiernetzwerke, die
+\textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, weniger effizient als das entsprechende
+\ps{m}-Netzwerk. Für einige Kombinationen werden jedoch auch effizientere
+Netzwerke generiert, beispielsweise für $m = 11$ und $m = 20$. Die Effizienz
+der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution-Cut} auf Basis des
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks berechnet, ist tabellarisch in
+Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-efficiency} dargestellt.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
\hline
-Leitungen & Komparatoren & Schichten & Komparatoren & Schichten \\
- & \textsc{SN-EC} & \textsc{SN-EC} & \oes{n} & \oes{n} \\
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
\hline
-11 & 38 & 9 & 37 & 10 \\
-12 & 43 & 9 & 41 & 10 \\
-19 & 93 & 13 & 91 & 14 \\
-20 & 101 & 13 & 97 & 14 \\
-21 & 108 & 14 & 107 & 15 \\
-22 & 116 & 14 & 114 & 15 \\
-23 & 125 & 14 & 122 & 15 \\
+ 9 & 20 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 20 & 28 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 20 & 28 & 32 & 38 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
+ 17 & 21 & 29 & 32 & 39 & 43 & 51 & 57 & 64 & 68 & & & & & & & \\
+ 18 & 22 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & & & & & & \\
+ 19 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & & & & & \\
+ 20 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & 97 & & & & \\
+ 21 & 20 & 30 & 34 & 38 & 44 & 51 & 57 & 64 & 74 & 82 & 87 & 96 & 102 & & & \\
+ 22 & 20 & 30 & 34 & 38 & 46 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & & \\
+ 23 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 66 & 72 & 83 & 89 & 97 & 102 & 112 & 119 & \\
+ 24 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & 119 & 127 \\
+\hline
+\ps{m}&19 & 27 & 32 & 38 & 42 & 48 & 53 & 59 & 63 & 79 & 88 & 97 & 103 & 112 & 119 & 127 \\
\hline
\end{tabular}
-\end{center}
-Abbildung~\ref{fig:23-ec-from-oes46} zeigt beispielhaft ein
-23-Sortiernetzwerk, das aus \oes{46} generiert wurde. Bemerkenswert an diesem
-Sortiernetzwerk ist insbesondere, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} mit der
-Eingabe \bs{46} ein besseres Ergebnis liefert als mit der Eingabe \oes{46}. In
-beiden Fällen wird ein Sortiernetzwerk zurückgegeben, das im Vergleich zu
-\bs{23} beziehungsweise \oes{23} eine Schicht einspart. Allerdings ist das
-Sortiernetzwerk auf Basis von \bs{46} (Abbildung~\ref{fig:23-ec-from-bs46})
-effizienter, da es nur 124~Komparatoren benötigt.
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \ps{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-ps-efficiency}
+\end{table}
+
+% Beispiel Effizienz
+
+Zwei Ergebnisse, die effizienter als die entsprechenden
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerke sind, zeigt
+Abbildung~\ref{fig:ec-ps-efficient_networks}. Sie erreichen die
+Geschwindigkeit und Effizienz des \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks mit der
+entsprechenden Leitungszahl. Bei größeren Netzwerken, beispielsweise $m = 19$,
+ist dies mit der in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-efficiency} dargestellten Größe der
+Schnittmuster noch nicht zu beobachten.
\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 10~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
+ \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{13}
+ erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-ps13.tex}}
+ \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 41~Komparatoren in 10~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
+ \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{16}
+ erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-ps16.tex}}
+ \caption{Zwei effiziente Sortiernetzwerke, die durch Schnittmuster, die von
+ \emph{SN-Evolution-Cut} berechnet wurden, aus dem
+ \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} erzeugt wurden.}
+ \label{fig:ec-ps-efficient_networks}
+\end{figure}
+
+% Wie viele Schnitte man braucht.
+
+Bei welchen Parametern \textsc{SN-Evolution-Cut} effiziente
+19-Sortiernetzwerke findet, ist Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-19} zu entnehmen. Für
+$n = 31$, $k = 12$ und $n = 32$, $k = 13$ werden 19-Sortiernetzwerke mit der
+selben Effizienz und Geschwindigkeit wie \oes{19} erzeugt. Das
+19-Sortiernetzwerk, das auf diese Art und Weise aus \ps{32} erzeugt wurde, ist
+in Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-ps32} dargestellt.
+
+\begin{table}
\begin{center}
- \input{images/23-ec-from-oes46-fast.tex}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|r|r|}
+ \hline
+ $n$ & Komp. & Schichten \\
+ \hline
+ 20 & 97 & 15 \\
+ 21 & 96 & 15 \\
+ 22 & 96 & 15 \\
+ 23 & 97 & 14 \\
+ 24 & 96 & 14 \\
+ 25 & 93 & 14 \\
+ 26 & 92 & 14 \\
+ 27 & 94 & 14 \\
+ 28 & 94 & 14 \\
+ 29 & 92 & 14 \\
+ 30 & 92 & 14 \\
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ 31 & 91 & 14 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 32 & 91 & 14 \\
+ 33 & 101 & 15 \\
+ 34 & 104 & 15 \\
+ 35 & 106 & 15 \\
+ 36 & 107 & 15 \\
+ 37 & 106 & 15 \\
+ 38 & 102 & 15 \\
+ \hline
+ \ps{19} & 97 & 15 \\
+ \oes{19} & 91 & 14 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
\end{center}
- \caption{23-Sortiernetzwerk mit 125~Komparatoren in 14~Schichten.
- Das Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{46} mit dem
- Schnittmuster $\operatorname{MIN}(6, 7, 9, 17, 19, 22, 29, 30, 32, 34, 38,
- 44)$, $\operatorname{MAX}(4, 5, 11, 16, 18, 25, 31, 36, 39, 42, 45)$
- erzeugt.}
- \label{fig:23-ec-from-oes46}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von 19-Sortiernetzwerken, die
+ von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \ps{n}, $n = 20, \dots, 38$ erzeugt
+ wurden.}
+ \label{tbl:ec-ps-19}
+\end{table}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/19-ec-from-ps32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 91~Komparatoren in
+ 14~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
+ $\operatorname{PS}(32)$ erzeugt.}
+ \label{fig:19-ec-from-ps32}
\end{figure}
-\subsection[Pairwise-Sorting-Netzwerk]{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+An den Daten in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-19} fällt auf, dass die Effizienz und
+Geschwindigkeit der Ergebnisse für $n > 32$ schlechter werden. Das
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk ist Leitungszahlen, die Zweierpotenzen sind,
+besonders effizient und schnell. Um der Vermutung nachzugehen, dass der
+\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus für $\ps{n = 2^d}$ besonders effiziente
+Schnittmuster findet, wurde \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \ps{32} und $k = 1
+\dots 16$ gestartet. Die Ergebnisse sind in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-32}
+zusammengefasst.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|r|r|}
+ \hline
+ $m$ & Komp. & Schichten \\
+ \hline
+ 16 & 69 & 11 \\
+ 17 & 77 & 13 \\
+ 18 & 89 & 13 \\
+ 19 & 91 & 14 \\
+ 20 & 97 & 14 \\
+ 21 & 107 & 15 \\
+ 22 & 114 & 15 \\
+ 23 & 122 & 15 \\
+ 24 & 127 & 15 \\
+ 25 & 138 & 15 \\
+ 26 & 146 & 15 \\
+ 27 & 155 & 15 \\
+ 28 & 161 & 15 \\
+ 29 & 171 & 15 \\
+ 30 & 178 & 15 \\
+ 31 & 186 & 15 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von $m$-Sortiernetzwerken,
+ die von \textsc{SN-Evolution-Cut} nach 5.000.000 Iterationen aus \ps{32}
+ erzeugt wurden.}
+ \label{tbl:ec-ps-32}
+\end{table}
+
+% Geschwindigkeit
+
+Die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} für das
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk berechnet, können zu schnelleren
+Sortiernetzwerken als \ps{m} führen. Beispielsweise konnte aus \ps{24} ein
+18-Sortiernetzwerk erzeugt werden, das mit 13~Schichten zwei parallele
+Schritte im Vergleich zu \ps{18} einspart. Eine Darstellung dieses
+Sortiernetzwerks befindet sich in Abbildung~\ref{fig:18-ec-from-ps24}. Für
+andere $m$ wurde die Geschwindigkeit des \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks
+nicht übertroffen und im Fall von $m = 16$ wurde die Geschwindigkeit nicht
+einmal erreicht.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+ \hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+ \hline
+ 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 6 & 10 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 6 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
+ 17 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & & & & & & & \\
+ 18 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & 15 & & & & & & \\
+ 19 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & 15 & 15 & & & & & \\
+ 20 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & 15 & 15 & 15 & & & & \\
+ 21 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 12 & 14 & 15 & 15 & 15 & & & \\
+ 22 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 12 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 & & \\
+ 23 & 6 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 & \\
+ 24 & 6 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 13 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+ \hline
+ \ps{m} & 6 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \ps{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-ps-speed}
+\end{table}
+
+% Beispiel Geschwindigkeit
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/18-ec-from-ps24.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 18~Leitungen und 89~Komparatoren in
+ 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
+ $\operatorname{PS}(24)$ erzeugt.}
+ \label{fig:18-ec-from-ps24}
+\end{figure}
+
+% 2-er Potenz
Die Ergebnisse, die \textsc{SN-Evolution-Cut} erzielte, wenn das gegebene
Sortiernetzwerk das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk war
ist bei dem Netzwerk in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} nicht ersichtlich,
wie und warum es jede beliebige Eingabe sortiert.
-Das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} $\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian
-Parberry} in seiner Arbeit „The Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992}
-definiert, verhält sich anders. Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit
-$\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe, 16~Leitungen zu entfernen, erhält man
-ein Sortiernetzwerk, das die gleiche Anzahl Komparatoren und Schichten hat wie
-$\operatorname{PS}(16)$ und $\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser
+Bei dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk $\ps{n=2^d}$ ist das anders. Startet
+man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
+16~Leitungen zu entfernen, kann der Algorithmus ein Sortiernetzwerk
+zurückgeben, das die gleiche Anzahl Komparatoren und Schichten wie
+$\operatorname{PS}(16)$ und $\operatorname{OES}(16)$ hat. Eines dieser
Sortiernetzwerke ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
+Dieses Ergebnis demonstriert, dass sich die Ergebnisse in den gezeigten
+Tabellen oft durch zusätzliche Iterationen verbessern lassen.
\begin{figure}
\begin{center}
\label{fig:16-ec-from-ps32}
\end{figure}
-Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
+Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist das
\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
\label{fig:16-pairwise}
\end{figure}
-Ein Spezialfall ergibt sich, wenn man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
-$\operatorname{PS}(16)$ anwendet: In diesem Fall kann man durch ein
-8-Schnittmuster das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{8} erhalten. Für
-größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen nicht mehr möglich, beispielsweise
-kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch ein 16-Schnittmuster in \oes{16}
-konvertiert werden. Die Verwandtschaft von $\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n}
-untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler} ausführlich in~\cite{M2009}.
+Ein Spezialfall ergibt sich, wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
+$\operatorname{PS}(16)$ angewendet wird: In diesem Fall kann ein
+8-Schnittmuster ausgegeben werden, das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+\oes{8} aus \ps{16} erzeugt.. Für größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen
+nicht mehr möglich, beispielsweise kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch
+ein 16-Schnittmuster in \oes{16} konvertiert werden. Die Verwandtschaft von
+$\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n} untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler}
+ausführlich in~\cite{M2009}.
\newpage
\section{Fazit und Ausblick}
projects / diplomarbeit.git / blobdiff