%\end{figure}
\newpage
-\section{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
+\section[\textsc{SN-Evolution-Cut}]{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
\label{sect:sn-evolution-cut}
Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
-von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}. Mit diesem
-Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
-gute Schnittmuster gesucht.
+von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}.
Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet \emph{Schnittmuster}, die
in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als Individuen.
Ein Individuum besteht aus einer Liste von $n$~Zahlen, die entweder 1, $-1$
oder 0 sind. Dieser Werte entsprechen Maximum, Minimum und unbelegt. Bei einem
-$k$-Schnittmuster sind genau $k$ Zahlen nicht Null.
+$k$-Schnittmuster sind genau $k$ Zahlen ungleich Null.
Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Werte des einen
Schnittmusters und die letzten ${n-r}$~Schnitte des zweiten Schnittmusters
multipliziert den Wert einer Leitung mit $-1$, um die Schnittrichtung zu
invertieren.
+Die Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} ist ein $n$-Sortiernetzwerk und eine
+Zahl $k$, $1 \leqq k < n$, die angibt wie viele Leitungen entfernt werden
+sollen. Der Rückgabewert des \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus ist ein
+\emph{$k$-Schnittmuster}. Wird das Schnittmuster auf das Sortiernetzwerk, mit
+dem der Algorithmus gestartet wurde, angewendet, entsteht ein möglichst
+schnelles und effizientes Sortiernetzwerk mit $m = n - k$ Leitungen. Da mit
+dem Eingabe-Netzwerk und dem zurückgegebenen $k$-Schnittmuster das
+$m$-Sortiernetzwerk eindeutig bestimmt ist, werden im Folgenden sowohl das
+$k$-Schnittmuster als auch das $m$-Sortiernetzwerk als Ausgabe von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} bezeichnet.
+
\subsection[Bitones Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
\label{sect:sn-evolution-cut:bs}
+Wenn der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit dem \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerk \bs{n} gestartet wird und $k$~Leitungen entfernen soll,
+ergeben die gefundenen Schnittmuster in vielen Fällen effizientere Netzwerke
+als \bs{n-k}. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit \bs{22} und $k
+= 6$ gestartet, resultiert das gefundene Schnittmuster in einem
+Sortiernetzwerk mit 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{16}
+benötigt. Eines der Sortiernetzwerke, die auf diese Art und Weise generiert
+wurde, ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} zu sehen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-bs22.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 67~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk
+ $\operatorname{BS}(22)$ durch das 6-Schnittmuster $\operatorname{MIN}(4,
+ 10, 17)$, $\operatorname{MAX}(7, 15, 20)$ erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-bs22}
+\end{figure}
+
+Eine Übersicht über die Effizienz der Ergebnisse, die mit dem \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerk als Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} erzielt wurden,
+gibt Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency}. \textsc{SN-E\-vo\-lu\-tion-Cut} wurde
+mit \bs{n}, $n = 9 \dots 24$ und $k = 1 \dots (n-8)$ gestartet. Die Konstanten
+der Bewertungsfunktion waren $w_{\mathrm{Basis}} = 0$,
+$w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$ und $w_{\mathrm{Schichten}} = n$. In jeder
+Zeile befinden sich die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk, in den Spalten
+befinden sich die Ergebnisse für eine Leitungszahl $m=n-k$ des
+Ausgabenetzwerks. In den Zellen stehen jeweils die Anzahl der Komparatoren des
+resultierenden Netzwerks. Die letzte Zeile enthält die Anzahl der
+Komparatoren, die \bs{m} benötigt, um die Ergebnisse besser einordnen zu
+können.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+ \hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+ \hline
+ 9 & 21 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 20 & 27 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 20 & 26 & 32 & 39 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & 70 & & & & & & & & \\
+ 17 & 20 & 26 & 32 & 37 & 43 & 50 & 57 & 65 & 74 & & & & & & & \\
+ 18 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 49 & 56 & 63 & 71 & 82 & & & & & & \\
+ 19 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 48 & 55 & 62 & 70 & 79 & 88 & & & & & \\
+ 20 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 86 & 95 & & & & \\
+ 21 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 85 & 94 & 103 & & & \\
+ 22 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 67 & 77 & 84 & 93 & 102 & 112 & & \\
+ 23 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & \\
+ 24 & 20 & 26 & 32 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & 133 \\
+ \hline
+\bs{m} & 24 & 28 & 33 & 39 & 46 & 53 & 61 & 70 & 80 & 85 & 91 & 98 & 106 & 114 & 123 & 133 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
+ Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
+ die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
+ Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-bs-efficiency}
+\end{table}
+
+Zu sehen ist, dass jedes einzelne Ergebnis von \textsc{SN-Evolution-Cut}
+mindestens so effizient wie das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit der
+gleichen Leitungszahl ist. Außerdem enthält jede Spalte (mit Ausnahme von
+$m=23$) ein Ergebnis, das effizienter als \bs{m} ist.
+
+In zahlreichen Fällen reicht das Entfernen einer einzigen Leitung aus, um ein
+effizientes Ergebnis zu erzielen. Das Ergebnis, das \textsc{SN-Evolution-Cut}
+gestartet mit \bs{20} und $k = 1$ erreicht, benötigt mit 95~Komparatoren
+3~weniger als \bs{19}.
+
+Bei anderen Größen ergeben erst größere~$k$ effiziente Sortiernetzwerke,
+beispielsweise bei $m = 10$: erst für $n = 18$, $k = 8$ wird ein
+Sortiernetzwerk mit 31~Komparatoren gefunden.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[10-Sortiernetzwerk aus 31~Komparatoren in 8~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{19} erzeugt.]{\input{images/10-ec-from-bs19-fast.tex}\label{fig:10-ec-from-bs19-fast}}
+ \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{18} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-bs18-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-bs18-fast}}
+ \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 42~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{22} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-bs22-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-bs22-fast}}
+ \subfigure[19-Sortiernetzwerk aus 92~Komparatoren in 13~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{37} erzeugt.]{\input{images/19-ec-from-bs37-fast.tex}\label{fig:19-ec-from-bs37-fast}}
+ \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m \in \{10, 11,
+ 12, 19\}$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
+ erzeugen, die \emph{schneller} und \emph{effizienter} als \bs{m} sind.}
+ \label{fig:ec-bs-fast_networks}
+\end{figure}
+
+Bei einigen Werten für die Ziel-Leitungsanzahl $m$ kann der
+\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Ergebnisse erzielen, die schneller als
+das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{m} sind. In
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-speed} ist die Anzahl der Schichten, die die Ergebnisse
+von \textsc{SN-Evolution-Cut} benötigen, um die Eingabe zu sortieren,
+aufgelistet. Jede Zeile enthält die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n},
+jede Spalte enthält die Ergebnisse für eine Ziel-Leitungszahl $m = n-k$. Die
+Zellen enthalten die Anzahl der Schichten des jeweiligen Ergebnis-Netzwerks.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
+ 17 & 6 & 8 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
+ 18 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
+ 19 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
+ 20 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
+ 21 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
+ 22 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
+ 23 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
+ 24 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\bs{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
+ Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
+ die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
+ Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-bs-speed}
+\end{table}
+
+Für die Ziel-Leitungszahlen 9, 10 und 11 wurden Schnittmuster gefunden, die
+schnelle Sortiernetzwerke erzeugen. Beispiele für schnelle Sortiernetzwerke,
+die mit den von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenen Schnittmustern erzeugt
+werden können, sind in Abbildung~\ref{fig:ec-bs-fast_networks} dargestellt.
+
+Bei der Betrachtung der Effizienz wurde festgestellt, dass oft schon das
+Entfernen einer einzigen Leitung zu eines effizienteren Ergebnis als \bs{m}
+führt. Bei der Geschwindigkeit ist die Anzahl der Leitungen, die entfernt
+werden müssen, um schnellere Netzwerke zu erzielen, größer. Um eine Schicht
+einzusparen waren bei $m = 10$ und $m = 11$ $k = 6$ Schnitte notwendig. Bei $m
+= 9$ war sogar ein 7-Schnittmuster notwendig, um die Anzahl der Schichten zu
+reduzieren. Für schnelle \emph{und} effiziente Netzwerke musste $k$ teilweise
+noch größer gewählt werden.
+
+Die Effizienz und Geschwindigkeit der Sortiernetzwerke, die von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk erzeugten
+werden, ist für $m = 19$ und $n = 20 \dots 38$ ($k = 1 \dots 19$) in
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-19} aufgelistet. Erst, wenn $k \geqq 6$ ist, wird im
+Vergleich zu \bs{19} eine Schicht eingespart. Für $n = 36$ ($k = 17$) und $n =
+37$ ($k = 18$) werden Sortiernetzwerke ausgegeben, die schneller als \bs{19}
+und \oes{19} sind und nur einen Komparator mehr als \oes{19} benötigen. Ein
+Beispiel für ein solches Netzwerk ist in
+Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} zu sehen.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|r|r|}
+ \hline
+ $n$ & Komp. & Schichten \\
+ \hline
+ 20 & 95 & 14 \\
+ 21 & 94 & 14 \\
+ 22 & 93 & 14 \\
+ 23 & 93 & 14 \\
+ 24 & 93 & 14 \\
+ 25 & 96 & 13 \\
+ 26 & 96 & 13 \\
+ 27 & 96 & 13 \\
+ 28 & 96 & 13 \\
+ 29 & 95 & 13 \\
+ 30 & 96 & 13 \\
+ 31 & 95 & 13 \\
+ 32 & 96 & 13 \\
+ 33 & 93 & 13 \\
+ 34 & 94 & 13 \\
+ 35 & 93 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10}
+ 36 & 92 & 13 \\
+ \rowcolor{green!10!white!95!black}
+ 37 & 92 & 13 \\
+ 38 & 93 & 13 \\
+ \hline
+ \bs{19} & 98 & 14 \\
+ \oes{19} & 91 & 14 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von 19-Sortiernetzwerken, die
+ von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{n}, $n = 20, \dots, 38$ erzeugt
+ wurden. Für $k \geqq 6$ ergeben sich Sortiernetzwerke, die schneller als
+ \bs{19} sind. Mit $k \in \{14, 16, 19\}$ erreichen die Ergebnisse mit
+ 13~Schichten die Effizienz der vorherigen
+ Ergebnisse mit 14~Schichten, mit $k = 17$ und $k = 18$ wird diese
+ Effizienz noch übertroffen. Ein 19-Sortiernetzwerk, das aus \bs{37}
+ auf diese Art erzeugt wurde, ist in
+ Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} dargestellt.}
+ \label{tbl:ec-bs-19}
+\end{table}
+
\textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka} zeigen in~\cite{MW2010},
-wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
-durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen ebenfalls bitonen
-Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert. Diese alternativen Mischer
-sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
-werden, Komparatoren ein.
-
-Beispielsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
-Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
-konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk be\-nö\-tigt 68~Komparatoren,
-12~weniger als das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk nach Batchers Methode.
-Gegenüber Batchers Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke
-${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren ein.
+wie ein \emph{bitoner Mischer} $\bm{n = 2^d}$, der nach Batchers Methode
+konstruiert wurde, durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen
+ebenfalls bitonen Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert werden
+kann, so dass dieser alternative Mischer im Vergleich zu $\bm{\frac{n}{2} =
+2^{d-1}}$ Komparatoren einspart.
+
+Basierend auf diesen alternativen Mischern geben \textit{Mühlenthaler} und
+\textit{Wanka} eine Konstruktionsvorschrift für Sortiernetzwerke an, die
+gegenüber \bs{n} ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren einspart.
+Beispielsweise wird ein 16-Sortiernetzwerk angegeben, das nur 68~Komparatoren
+benötigt. Dieses Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-muehlenthaler}
+dargestellt.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-muehlenthaler.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde 2010 von \textit{Mühlenthaler} und
+ \textit{Wanka} aus optimierten bitonen Mischern konstruiert und
+ in~\cite{MW2010} veröffentlicht.}
+ \label{fig:16-muehlenthaler}
+\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
29, 30)}$, ${\operatorname{MAX}(2, 4, 13, 19, 24)}$, das durch
\textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
-nachdem das Schnittmuster angewandt und das Netzwerk normalisiert wurde. Eine
-Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist in
-diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten des
-Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
+nachdem das Schnittmuster angewendet und das Netzwerk normalisiert wurde.
+% Eine Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist
+% in diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten
+% des Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
\begin{figure}
% 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
\label{fig:32-ec-from-bs64}
\end{figure}
-Das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka}, die den bitonen
-Mischer optimiert und anschließend aus diesen Mischern ein Sortiernetzwerk
-konstruiert haben, kann demnach auch erreicht werden, wenn
-$\operatorname{BS}(32)$ auf ein 16-Sortiernetzwerk reduziert wird. Bei anderen
-Größen, beispielsweise wenn man $\operatorname{BS}(64)$ auf ein
-32-Sortiernetzwerk reduziert, kann das Ergebnis sogar noch übertroffen werden,
-wie in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} zu sehen: Ein nach Batchers Methode
-konstruiertes Sortiernetzwerk benötigt 240~Komparatoren, ein aus den
-optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk verbessert die Kosten auf
-208~Komparatoren. Das in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} dargestellte
-Sortiernetzwerk benötigt lediglich 206~Komparatoren. Die Komparatoren aller
-dieser Netzwerke können in 15~Schichten angeordnet werden, so dass die
-Geschwindigkeit dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
+Wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \bs{64}-Netzwerk und $k = 32$ gestartet
+wird, findet der Algorithmus 32-Sortiernetzwerke, die effizienter sind als
+32-Sortiernetzwerke, die nach \textit{Mühlenthalers} und \textit{Wankas}
+Methode konstruiert werden. Ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{64}
+generiertes 32-Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64}
+dargestellt. Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{32} benötigt
+240~Komparatoren, ein aus den optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk
+verbessert die Effizienz auf 208~Komparatoren. Das Ergebnis von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} kommt mit nur 206~Komparatoren aus. Die
+Geschwindigkeit aller genannten Sortiernetzwerke ist mit 15 parallelen
+Schritten identisch.
+
+Wenn die Leitungszahl des Eingabenetzwerks keine Zweierpotenz ist, kann
+\textsc{SN-Evo\-lu\-tion-Cut} auch 16-Sortiernetzwerke erzeugen, die diese
+Effizienz unterbieten. Das geht aus den Daten in
+Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency} hervor. Ein 16-Sortiernetzwerk mit
+67~Komparatoren, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} generiert wurde, ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} dargestellt.
Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
Mergesort}-Netzwerks leicht invertieren lassen, ist eine Fallunterscheidung --
mehr Minimum- oder mehr Maximumschnitte -- nicht notwendig.
-\begin{figure}
- \centering
- \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 9~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{22} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-bs22-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-bs22-fast}}
- \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 42~Komparatoren in 9~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{24} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-bs24-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-bs24-fast}}
- \caption{Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \bs{22} und \bs{24}, kann
- der Algorithmus schnelle Sortiernetzwerke ausgeben.}
- \label{fig:11-12-ec-from-bs22-bs24}
-\end{figure}
+Dass die Sortiernetzwerke, die mit den Schnittmustern von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} entstehen, keine erkennbare Struktur haben, ist
+jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere von der
+Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
+\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(n)$ und
+$k$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
+$\operatorname{OET}(n-k)$-Netzwerk.
-Verwendet man als Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} Instanzen des
-\emph{bitonen Mergesort}-Netzwerks, deren Leitungszahl keine Zweierpotenz ist,
-können Sortiernetzwerke zurückgegeben werden, die sowohl schneller als auch
-effizienter als das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk sind. Die
-folgende Tabelle listet einige interessante Fälle auf. Die Eingabe für
-\textsc{SN-Evolution-Cut} war jeweils das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit
-der doppelten Leitungszahl. Die Abbildungen~\ref{fig:11-12-ec-from-bs22-bs24}
-und~\ref{fig:23-ec-from-bs46} zeigen beispielhaft ein 11-, 12- und
-23-Sortiernetzwerk, die aus \bs{22}, \bs{24} und \bs{46} generiert wurden.
+\subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+\label{sect:sn-evolution-cut:oes}
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+\oes{n} gestartet, gibt der Algorithmus meist Sortiernetzwerke zurück, die
+genauso effizient und schnell wie das entsprechende
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{m} sind. Die Effizienz der
+Sortiernetzwerke, die mit Schnittmustern von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus
+\oes{n} entstehen können, zeigt Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-efficiency}
+tabellarisch.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
\hline
-Leitungen & Komparatoren & Schichten & Komparatoren & Schichten \\
- & \textsc{SN-EC} & \textsc{SN-EC} & \bs{n} &
- \bs{n} \\
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
\hline
-11 & 37 & 9 & 39 & 10 \\
-12 & 42 & 9 & 46 & 10 \\
-19 & 93 & 13 & 98 & 14 \\
-20 & 102 & 13 & 106 & 14 \\
-% 20: # sn-cut 2:MAX 3:MIN 4:MIN 9:MIN 10:MIN 13:MIN 14:MIN 15:MIN 19:MIN 20:MAX 24:MAX 26:MIN 27:MAX 29:MIN 31:MAX 33:MIN 34:MAX 35:MIN 37:MIN 39:MAX
-21 & 109 & 14 & 114 & 15 \\
-22 & 116 & 14 & 123 & 15 \\
-23 & 124 & 14 & 133 & 15 \\
+ 9 & 19 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 19 & 26 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 19 & 26 & 31 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 19 & 26 & 31 & 37 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
+ 17 & 19 & 26 & 31 & 38 & 41 & 48 & 53 & 59 & 63 & & & & & & & \\
+ 18 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & & & & & & \\
+ 19 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & & & & & \\
+ 20 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & & & & \\
+ 21 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & & & \\
+ 22 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & & \\
+ 23 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & \\
+ 24 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & 122 \\
\hline
\end{tabular}
-\end{center}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-oes-efficiency}
+\end{table}
\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/23-ec-from-bs46-fast.tex}
- \end{center}
- \caption{23-Sortiernetzwerk mit 124~Komparatoren in 14~Schichten. Das
- Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{46} mit dem
- Schnittmuster $\operatorname{MIN}(2, 4, 9, 12, 20, 22, 28, 30, 32, 33, 37,
- 38, 41)$, $\operatorname{MAX}(1, 5, 16, 19, 21, 24, 25, 35, 36, 43)$
- erzeugt.}
- \label{fig:23-ec-from-bs46}
+ \centering
+ \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 38~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{17} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-oes17-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-oes17-fast}}
+ \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{18} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-oes18-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes18-fast}}
+ \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m = 10$ und $m =
+ 11$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
+ erzeugen, die \emph{schneller} aber weniger \emph{effizient} als \oes{m}
+ sind.}
+ \label{fig:ec-oes-fast_networks}
\end{figure}
-Dass die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution-Cut} keine erkennbare Struktur
-haben, ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere
-von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
-\emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} $\operatorname{OET}(n)$ und
-$k$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
-$\operatorname{OET}(n-k)$-Netzwerk.
-
-\subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-\label{sect:sn-evolution-cut:oes}
+Die Bewertungsfunktion, die \textsc{SN-Evolution-Cut} verwendet, bevorzugt
+schnelle Sortiernetzwerke. Dadurch kann es vorkommen, dass ein
+$m$-Sortiernetzwerk, das durch ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenes
+Schnittmuster entsteht, schneller als \oes{m} ist. Diese Geschwindigkeit
+war allerdings in allen beobachteten Fällen nur dann möglich, wenn
+zusätzliche Komparatoren in Kauf genommen wurden. In den
+Tabellen~\ref{tbl:ec-oes-efficiency} und~\ref{tbl:ec-oes-speed} ist dieser
+Fall für $m = 11$ und $k \geqq 6$, beziehungsweise $m = 12$ und $k \geqq 6$ zu
+beobachten. Die entsprechenden schnellen Sortiernetzwerke sind in
+Abbildung~\ref{fig:ec-oes-fast_networks} dargestellt.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
+ 17 & 6 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
+ 18 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
+ 19 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
+ 20 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
+ 21 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
+ 22 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
+ 23 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
+ 24 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\oes{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-oes-speed}
+\end{table}
In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster die konstruktiven Sortiernetzwerke
Sortiernetzwerk ist insbesondere, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} mit der
Eingabe \bs{46} ein besseres Ergebnis liefert als mit der Eingabe \oes{46}. In
beiden Fällen wird ein Sortiernetzwerk zurückgegeben, das im Vergleich zu
-\bs{23} beziehungsweise \oes{23} eine Schicht einspart. Allerdings ist das
-Sortiernetzwerk auf Basis von \bs{46} (Abbildung~\ref{fig:23-ec-from-bs46})
-effizienter, da es nur 124~Komparatoren benötigt.
+\bs{23} beziehungsweise \oes{23} eine Schicht einspart.
\begin{figure}
\begin{center}
ist bei dem Netzwerk in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} nicht ersichtlich,
wie und warum es jede beliebige Eingabe sortiert.
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
+\hline
+ & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
+\hline
+ 9 & 20 & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
+ 11 & 20 & 28 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
+ 12 & 20 & 28 & 32 & 38 & & & & & & & & & & & & \\
+ 13 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
+ 14 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
+ 15 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
+ 16 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
+ 17 & 21 & 29 & 32 & 39 & 43 & 51 & 57 & 64 & 68 & & & & & & & \\
+ 18 & 22 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & & & & & & \\
+ 19 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & & & & & \\
+ 20 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & 97 & & & & \\
+ 21 & 20 & 30 & 34 & 38 & 44 & 51 & 57 & 64 & 74 & 82 & 87 & 96 & 102 & & & \\
+ 22 & 20 & 30 & 34 & 38 & 46 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & & \\
+ 23 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 66 & 72 & 83 & 89 & 97 & 102 & 112 & 119 & \\
+ 24 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & 119 & 127 \\
+\hline
+\ps{m}&19 & 27 & 32 & 38 & 42 & 48 & 53 & 59 & 63 & 79 & 88 & 97 & 103 & 112 & 119 & 127 \\
+\hline
+\end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
+ \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
+ Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \ps{n} an, jede
+ Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
+ Ausgabenetzwerks.}
+ \label{tbl:ec-ps-speed}
+\end{table}
+
Das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} $\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian
Parberry} in seiner Arbeit „The Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992}
definiert, verhält sich anders. Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit
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