\newcommand{\todo}[1]{{\bf TODO:} #1}
\newcommand{\qed}{\hfill $\Box$ \par \bigskip}
+\newcommand{\oes}[1]{\ensuremath{\operatorname{OES}(#1)}}
+\newcommand{\bs}[1]{\ensuremath{\operatorname{BS}(#1)}}
+\newcommand{\ps}[1]{\ensuremath{\operatorname{PS}(#1)}}
+\newcommand{\oem}[1]{\ensuremath{\operatorname{OEM}(#1)}}
+\newcommand{\bm}[1]{\ensuremath{\operatorname{BM}(#1)}}
+
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{satz}{Satz}
\maketitle
\begin{abstract}
Sortiernetzwerke werden eingeführt und einige bekannte Konstruktionen werden
-vorgestellt (Off-Even-Transposition, Bitonic-Merge, Odd-Even-Merge, Pairwise).
+vorgestellt (Odd-Even-Transposition, Bitonic-Merge, Odd-Even-Merge, Pairwise).
Transformationsmöglichkeiten für Sortiernetzwerke werden besprochen.
Evolutionäre Algorithmen werden beschrieben und ein evolutionärer
Algorithmus für die Optimierung von Sortiernetzwerken wird angegeben.
gegebenes Komparatornetzwerk zu finden ist nach heutigem Kenntnisstand jedoch
nicht \emph{effizient} möglich.
-Beispielsweise sortiert das Komparatornetzwerk in
-Abbildung~\ref{fig:09-e2-c24-allbut1} viele der 362.880 möglichen
-Eingabepermutationen. Mit dem Gegenbeispiel $(3, 5, 2, 1, 0, 7, 4, 8, 6)$
-lässt sich jedoch leicht beweisen, dass das Komparatornetzwerk die
-Sortiereigenschaft \emph{nicht} besitzt, da es in diesem Fall die Folge
-$(1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$ ausgibt.
+Beispielsweise sortiert das im Rahmen dieser Arbeit entdeckte
+Komparatornetzwerk in Abbildung~\ref{fig:09-e2-c24-allbut1} viele der 362.880
+möglichen Eingabepermutationen. Mit dem Gegenbeispiel $(3, 5, 2, 1, 0, 7, 4,
+8, 6)$ lässt sich jedoch leicht beweisen, dass das Komparatornetzwerk die
+Sortiereigenschaft \emph{nicht} besitzt, da es in diesem Fall die Folge $(1,
+0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$ ausgibt.
Insgesamt gibt es $n!$~Permutationen von $n$~Elementen. Wenn ein
Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft besitzt, bildet es alle diese
Permutationen schon bei 16~Leitungen praktisch nicht mehr zu bewerkstelligen
ist.\footnote{1.307.674.368.000 Permutationen}
+\label{sect:0-1-prinzip}
Glücklicherweise reicht es aus, alle möglichen 0-1-Folgen zu überprüfen, wie
\textit{Donald~E. Knuth} in \cite{KNUTH} zeigt. Die Beweisidee ist folgende:
Angenommen ein Komparatornetzwerk sortiert alle 0-1-Folgen und es gibt eine
1 & e_j > a_i
\end{array} \right.
\end{displaymath}
-auf eine 0-1-Folge abgebildet werden, die entsprechen der Annahme von
+auf eine 0-1-Folge abgebildet werden, die entsprechen der Annahme vom
Komparatornetzwerk sortiert wird. Allerdings verändert diese Abbildung das
-Verhalten jedes einzelnen Komparators nicht, so dass die Annahme auf einen
-Widerspruch geführt wird.
+Verhalten jedes einzelnen Komparators nicht: Wenn bei der Permutation eine
+Zahl größer als $a_i$ und eine Zahl kleiner oder gleich $a_i$ verglichen
+wurden, liegen jetzt entsprechend eine Null und eine Eins an, die genauso
+vertauscht werden oder nicht, wie das bei der Permutation der Fall war. Liegen
+zwei Nullen oder zwei Einsen an, entsprechen sie zwei Zahlen kleiner als $a_i$
+oder zwei Zahlen größer oder gleich $a_i$. Da im Fall der 0-1-Folge zwei
+gleiche Zahlen am Komparator anliegen, dürfen wir davon ausgehen, dass sich
+der Komparator so verhält, wie er sich bei der Permutation verhalten hat --
+ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Entsprechend kommen an den Ausgängen $i-1$
+und $i$ eine Null und eine Eins in der falschen Reihenfolge an. Das steht im
+Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen sortiert werden.
Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was der
Komplexitätsklasse
Viele {\em kombinatorische Optimierungsprobleme} sind schwer zu lösen -- die
entsprechenden Entscheidungsprobleme liegen oft in der Komplexitätsklasse
-$NP$, sind also mit bekannten Verfahren nicht effizient exakt lösbar. Sollte
-sich herausstellen, dass diese Probleme nicht in der Komplexitätsklasse $P$
-liegen, wäre eine Konsequenz, dass es effiziente exakte Algorithmen für diese
-Probleme nicht geben kann. Falls sich hingegen herausstellt, dass diese
-Probleme in der Komplexitätsklasse~$P$ liegen, wird es mit großer
-Wahrscheinlichkeit noch einige Zeit dauern bis auch Algorithmen mit
-praktikablen Zeitkonstanten gefunden werden.
+\textit{NP}, das heißt das keine Verfahren bekannt sind, die das Problem
+effizient exakt lösbar. Sollte sich herausstellen, dass diese Probleme nicht
+in der Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen, wäre eine Konsequenz, dass es
+effiziente exakte Algorithmen für diese Probleme nicht geben kann. Falls sich
+hingegen herausstellt, dass diese Probleme in der
+Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen, wird es mit großer Wahrscheinlichkeit
+noch einige Zeit dauern, bis auch Algorithmen mit praktikablen Zeitkonstanten
+gefunden werden.
Aus diesem Grund besteht die Notwendigkeit einen Kompromiss einzugehen: Statt
-die bzw. eine der {\em optimalen} Lösungen als einzige Ausgabe des Algorithmus
-zuzulassen, wird eine "`möglichst gute"' Lösung ausgegeben. Viele dieser
-Optimierungsalgorithmen orientieren sich an Vorgängen in der Natur,
-beispielsweise immitieren die "`Ameisenalgorithmen"' das Verhalten von Ameisen
+die beziehungsweise eine der {\em optimalen} Lösungen als einzige Ausgabe des
+Algorithmus zuzulassen, wird eine "`möglichst gute"' Lösung ausgegeben. Viele
+dieser Optimierungsalgorithmen orientieren sich an Vorgängen in der Natur,
+beispielsweise imitieren die "`Ameisenalgorithmen"' das Verhalten von Ameisen
auf der Futtersuche um kurze Rundreisen auf Graphen zu berechnen.
Bei {\em Evolutionären Algorithmen} stand die Evolution pate. Die Grundidee
-ist es, bestehende Lösungen zu neuen, unter Umständen besseren Lösungen zu
+ist, bekannte Lösungen zu neuen -- unter Umständen besseren -- Lösungen zu
kombinieren. Dabei bedient man sich der in der Evolutionstheorie etablierten
-Nomenklatur, beispielsweise werden konkrete Lösungen für ein Problem häufig
-als {\em Individuum} bezeichnet.
+Nomenklatur, beispielsweise werden konkrete Lösungen für ein Problem als {\em
+Individuen} bezeichnet.
Die Vorgehensweise lässt sich abstrakt wie folgt beschreiben. Aus einer
-bestehenden Lösungsmenge, der {\em Population} werden zufällig Lösungen
+bestehenden Lösungsmenge, der {\em Population}, werden zufällig Lösungen
ausgesucht {\em (Selektion)} und zu einer neuen Lösung kombiniert ({\em
Rekombination}). Unter Umständen wird die neue Lösung noch zufällig
verändert {\em (Mutation)}, bevor sie in die bestehende Lösungsmenge
-integriert wird. Die Wahrscheinlichkeiten, beispielsweise bei der {\em
-Selektion}, sind dabei nicht zwangsläufig gleichverteilt -- üblicherweise
+eingefügt wird. Die verwendeten Wahrscheinlichkeiten, beispielsweise bei der
+{\em Selektion}, sind dabei nicht zwangsläufig gleichverteilt -- üblicherweise
werden bessere Lösungen bevorzugt. Zur Bewertung dient die sogenannte {\em
Gütefunktion}.
Abschnitt~\ref{sect:tranformation} beschrieben, ein Algorithmus, der Mutation
einsetzt, wird in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut} vorgestellt.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-hillis.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das 16-Sortiernetzwerk, das \textit{Hillis} in~\cite{H1992} angibt.
+ Es besteht aus 61~Komparatoren in 11~Schichten.}
+ \label{fig:16-hillis}
+\end{figure}
+Evolutionäre Algorithmen wurden bereits mehrfach eingesetzt, um
+Sortiernetzwerke zu untersuchen. \textit{W.~Daniel Hillis} verwendete
+\emph{Co-Evolution} um neben Komparatornetzwerken auch „schwierige Eingaben“
+zu optimieren~\cite{H1992}. Diese \emph{Parasiten} genannten Eingaben wurden
+daran gemessen, bei wievielen Komparatornetzwerken sie beweisen konnten, dass
+sie keine Sortiernetzwerke sind. So mussten bei neuen Individuen~/
+Komparatornetzwerken nicht alle 0-1-Folgen, sondern nur erfolgreiche
+Parasiten~/ schwierige Eingaben überprüft werden. Auf diese Art und Weise
+gelang es \textit{Hillis} ein 16-Sortiernetzwerk mit 61~Komparatoren
+anzugeben, das in Abbildung~\ref{fig:16-hillis} zu sehen ist.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure{\input{images/13-juille-0.tex}}
+ \subfigure{\input{images/13-juille-1.tex}}
+ \caption{13-Sortiernetzwerke, die von \textit{Hugues Juillé} mithilfe des
+ END-Algorithmus gefunden wurden. Sie bestehen jeweils aus 45~Komparatoren in
+ 10~Schichten.}
+ \label{fig:13-juille}
+\end{figure}
+\textit{Hugues Juillé} entwickelte ein Verfahren, das er \emph{Evolving
+Non-Determinism} (END) nannte. Dabei handelt es sich nicht um einen
+\emph{Evolutionären Algorithmus}, wie sie hier vorgestellt wurden, sondern um
+eine verteilte, probabilistische Breitensuche, die an die \emph{Strahlsuche}
+(englisch: \textit{beam search}), ein Verfahren der Künstlichen Intelligenz,
+angelehnt ist. Die aufwendigste Operation bei diesem Ansatz ist die
+Bewertungsfunktion, die abschätzt, wieviele Komparatoren zu einem
+Komparatornetzwerk hinzugefügt werden müssen, um ein Sortiernetzwerk zu
+erhalten. Mit diesem Ansatz gelang es \textit{Juillé} zwei 13-Sortiernetzwerke
+anzugeben, die mit 45~Komparatoren effizienter sind als alle bis dahin
+Bekannten (Abbildung~\ref{fig:13-juille}).
+
\newpage
\section{Bekannte konstruktive Sortiernetzwerke}
\label{sect:konstruktive_netzwerke}
Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht --~wie
das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even-Mischer}. Die
-effizientesten Sortiernetzwerke in Bezuf auf Komparator- und Schichtzahl
+effizientesten Sortiernetzwerke in Bezug auf Komparator- und Schichtzahl
entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
$\operatorname{OES}(n)$ aus
$\operatorname{OES}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)$,
die Komparatoren, die in ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
Im Allgemeinen ist die Anzahl der Komparatoren, die vom
-\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} verwendet wird, $k(n)$, direkt aus der
+\emph{Odd-Even-Mergesort-Netz\-werk} verwendet wird, $k(n)$, direkt aus der
Definition beziehungsweise der Konstruktionsanleitung abzulesen:
\begin{displaymath}
k(n) = k\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)
\subsection{Komprimieren}
-\todo{Aus theoretischer Sicht eigentlich eine Trivialität. Rausschmeißen?}
-
Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
gleichzeitig ausgewertet werden, wie bereits in
-Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} beschrieben. Unter
-\emph{Komprimieren} wird eine (Neu-)Gruppierung in die kleinstmögliche Anzahl
-von \emph{Schichten} verstanden.
+Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} beschrieben. Durch manche
+Transformationen, insbesondere das Entfernen einer Leitung, das in
+Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben wird, kann es vorkommen,
+dass die Komparatoren eines Sortiernetzwerks nicht mehr in der
+kleinstmöglichen Anzahl von \emph{Schichten} angeordnet sind. Unter
+\emph{Komprimierung} wird eine (Neu-)Gruppierung der Komparatoren verstanden,
+die jeden Komparator so früh wie möglich ausführt. So entsteht die
+kleinstmögliche Anzahl von \emph{Schichten}, in die sich ein Sortiernetzwerk
+unterteilen lässt.
Diese Anzahl ist insbesondere beim automatisierten Bewerten von
-Komparatornetzwerken interessant. \dots
+Komparatornetzwerken interessant, wie in Abschnitt~\ref{sect:bewertung}
+beschrieben. Die Anzahl der Schichten kann künstlich vergrößert werden, indem
+Komparatoren später angewandt werden. Deshalb sollte vor einer Bewertung, die
+die Anzahl der Schichten als Bewertungskriterium verwendet, immer eine
+Komprimierung durchgeführt werden.
\subsection{Normalisieren}
Ein \emph{Standard-Sortiernetzwerk} oder \emph{normalisiertes Sortiernetzwerk}
ist ein Sortiernetzwerk, dessen Komparatoren alle in die selbe Richtung
zeigen. Jedes Sortiernetzwerk kann in eine normaliesierte Variante
-transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise \emph{Knuth} (\todo{Verweis})
-einen Algorithmus an.
+transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise \emph{Donald~E. Knuth}
+in~\cite{KNUTH} einen Algorithmus an.
Abbildung~\ref{fig:beispiel_normalisieren} zeigt das das
bitone Sortiernetzwerk in zwei Varianten. Abbildung~\ref{fig:bitonic-nonstd}
%\item Nach dem Pairwise sorting-network Schema.
%\end{itemize}
-\subsection{Leitungen entfernen}\label{sect:leitungen_entfernen}
+\subsection{Leitungen entfernen}
+\label{sect:leitungen_entfernen}
Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass es mithilfe von
\emph{Mischern} möglich ist, aus zwei Sortiernetzwerken mit je $n$~Eingängen
ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein ${(n-k)}$-Sortiernetzwerk zu reduzieren,
ergeben sich insgesamt
\begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster}
- \prod_{i=n}^{1+n-k} 2i = 2^k \frac{n!}{(n-k)!}
+ \prod_{i=n}^{1+n-k} 2i = 2^k \cdot \frac{n!}{(n-k)!}
\quad (n > m)
\end{equation}
\emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
und das Maximum auf die oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks,
führen beide Reihenfolgen zum selben Ergebnis.
-\textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit (\todo{Referenz}), dass es
+\textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit~\cite{M2009}, dass es
möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise Maximum
vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster reduziert,
die Menge der so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber unverändert. Die
\begin{figure}
\begin{center}
- \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/count-cuts-16.pdf}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/count-cuts-16.pdf}
\end{center}
\caption{Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerke, die durch
8-Schnittmuster aus $\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und
der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster auf höchstens $\frac{2}{3}$ der
\emph{möglichen} Schnittmuster reduziert werden. Um die Anzahl der
\emph{unterschiedlichen} Schnittmuster experimentell zu ermitteln, wurden je
-eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke
-$\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und $\operatorname{PS}(16)$
-angewandt. Anschließend wurde mithilfe einer Hashtabelle überprüft, ob das
-resultierende Sortiernetzwerk schon von einem \emph{äquivalenten}
-Schnittmuster erzeugt wurde. Falls das Sortiernetzwerk noch nicht in der
-Hashtabelle enthalten war, wurde der Zähler für unterschiedliche Schnittmuster
-erhöht und das Sortiernetzwerk eingefügt.
+eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke \oes{16},
+\bs{16} und \ps{16} angewandt. Anschließend wurde mithilfe einer Hashtabelle
+überprüft, ob das resultierende Sortiernetzwerk schon von einem
+\emph{äquivalenten} Schnittmuster erzeugt wurde. Falls das Sortiernetzwerk
+noch nicht in der Hashtabelle enthalten war, wurde der Zähler für
+unterschiedliche Schnittmuster erhöht und das Sortiernetzwerk eingefügt.
Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} trägt die Anzahl der
\emph{unterschiedlichen} Schnittmuster gegen die Anzahl der zufälligen
nahe ist.
Die Anzahl der möglichen 8-Schnittmuster ist entsprechend der
-Formel~\ref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen Schnittmuster
-führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerken: 3519
-($\approx 0,1\%$) im Fall des \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerks}, 4973
-($\approx 0,15\%$) beim \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk} und 18764 ($\approx
-0,57\%$) beim \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}. Zwar ist es möglich, dass mehr
-Iterationen die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster noch wachsen lässt.
-Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der
-Annahme, dass die Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster
+Formel~\eqref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen
+Schnittmuster führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen}
+Sortiernetzwerken: 3519 ($\approx 0,1\%$) im Fall des
+\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerks}, 4973 ($\approx 0,15\%$) beim
+\emph{bitonen Mergesort-Netzwerk} und 18764 ($\approx 0,57\%$) beim
+\emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}. Zwar ist es möglich, dass mehr Iterationen
+die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster noch wachsen lässt. Die Graphen
+in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der Annahme, dass
+die Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster
vernachlässigbar klein ist.
Bedingt durch die sehr große Anzahl möglicher Schnittmuster ist dieses
Experiment für größere Sortiernetzwerke leider nicht sinnvoll durchführbar.
-Die Hashtabelle benötigt mehr Arbeitsspeicher als in derzeitigen Rechnern
-vorhanden ist, bevor ein entsprechender Graph den linearen Bereich für
-„kleine“ x-Werte verlässt.
+Die Hashtabelle würde mehr Arbeitsspeicher benötigen als in derzeitigen
+Rechnern vorhanden ist, bevor ein entsprechender Graph den linearen Bereich
+für „kleine“ x-Werte verlässt.
Um die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu
können, kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten
\emph{Monte-Carlo-Methode}. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von
$k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster
-zufällig erzeugt und überprüft, ob sie sich in der Menge~$S$ enthalten sind.
-Unter der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in
-$S$ enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der
+zufällig erzeugt und überprüft, ob sie in der Menge~$S$ enthalten sind. Unter
+der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in $S$
+enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der
unterschiedlichen Schnittmuster ingesamt entspricht, kann man die Anzahl der
unterschiedlichen Schnittmuster abschätzen.
die \emph{äquivalent} zu einem in~$S$ enthalten Schnittmuster sind, berechnet.
Für $\operatorname{OES}(32)$ war dieser Anteil etwa $0,19 \%$, für
$\operatorname{BS}(32)$ etwa $0,29 \%$. Das ergibt eine Abschätzung von $5,2
-\cdot 10^6$ unterschiedlichen Schnittmustern für $\operatorname{OES}(32)$ und
-$3,4 \cdot 10^6$ für $\operatorname{BS}(32)$.
+\cdot 10^6$ unterschiedlichen 16-Schnittmustern für $\operatorname{OES}(32)$
+und $3,4 \cdot 10^6$ für $\operatorname{BS}(32)$.
\begin{figure}
\begin{center}
unterschiedlichen 8-Schnittmuster für $\operatorname{PS}(16)$ in
Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} bereits mehr als dreimal größer war als die
Anzahl für $\operatorname{OES}(16)$ beziehungsweise $\operatorname{BS}(16)$,
-ist dieser Umstand wenig verwunderlich. In einem kombinierten Graphen hätte
-man keine Details mehr erkennen können. Aufgrund der hohen Anzahl
-unterschiedlicher Schnittmuster, wurde für das gleiche Experiment mit
+ist dieser Umstand wenig verwunderlich. Entsprechend hätte man in einem
+kombinierten Graphen keine Details mehr erkennen können. Aufgrund der hohen
+Anzahl unterschiedlicher Schnittmuster, wurde für das gleiche Experiment mit
$\operatorname{PS}(32)$ eine initiale Menge von 100.000 unterschiedilchen
Schnittmustern erzeugt. Trotzdem wurden nach 1.000.000 Iterationen nur 385
Schnittmuster gefunden, die zu einem Schnittmuster in der Menge äquivalent
{\em Güte} eines Netzwerkes definiert werden. Prinzipiell gibt es zwei Ziele,
die bei Sortiernetzwerken verfolgt werden können:
\begin{itemize}
- \item Möglichst wenige Komparatoren („billig“)
+ \item Möglichst wenige Komparatoren („effizient“)
\item Möglichst wenige Schichten („schnell“)
\end{itemize}
Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken. Das
-billigste bekannte Sortiernetzwerk für 16~Eingänge besteht aus 60~Komparatoren
-in 10~Schichten. Das schnellste Netzwerk besteht aus 61~Komparatoren in nur
-9~Schichten.
+effizienteste bekannte Sortiernetzwerk für 16~Eingänge besteht aus
+60~Komparatoren in 10~Schichten. Das schnellste Netzwerk besteht aus
+61~Komparatoren in nur 9~Schichten.
-Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`billig"' und "`schnell"'
+Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`effizient"' und "`schnell"'
berücksichtigen kann, hat die folgende allgemeine Form:
\begin{equation}
\operatorname{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}}
so schlecht ist wie man intuitiv vermuten könnte, zeigt der
\textsc{SN-Markov}-Algorithmus in Abschnitt~\ref{sect:markov}.}
-Da möglichst billige und schnelle Sortiernetzwerke gefunden werden sollen, ist
-ein kleiner Wert von $\operatorname{Guete}(S)$ besser als ein großer Wert. Das
-heißt, dass das Ziel von \textsc{SN-Evolution} ist, $\operatorname{Guete}(S)$
-zu \emph{minimieren}.
+Da möglichst effiziente und schnelle Sortiernetzwerke gefunden werden sollen,
+ist ein kleiner Wert von $\operatorname{Guete}(S)$ besser als ein großer Wert.
+Das heißt, dass das Ziel von \textsc{SN-Evolution} ist,
+$\operatorname{Guete}(S)$ zu \emph{minimieren}.
Mit dem Parameter $w_{\mathrm{Basis}}$ kann auf die Selektion Einfluss
genommen werden. Ist er groß, wird der relative Unterschied der Güten
Die in \textsc{SN-Evolution} implementierte Selektion lässt sich mithilfe von
Pseudocode wie folgt beschreiben:
\begin{verbatim}
-Guetesumme := 0
+Gütesumme := 0
Auswahl := (leer)
-fuer jedes Individuum in Population
+für jedes Individuum in Population
{
- reziproke Guete := 1.0 / Guete(Individuum)
- Wahrscheinlichkeit P := reziproke Guete / (reziproke Guete + Guetesumme)
- Guetesumme := Guetesumme + reziproke Guete
+ reziproke Güte := 1.0 / Guete(Individuum)
+ Wahrscheinlichkeit P := reziproke Güte / (reziproke Güte + Gütesumme)
+ Gütesumme := Gütesumme + reziproke Güte
mit Wahrscheinlichkeit P
{
Auswahl := Individuum
}
}
-gebe Auswahl zurueck
+gib Auswahl zurück
\end{verbatim}
\subsection{Rekombination}
\subsection{Mutation}
-Zu einem vollständigen evolutionären Algorithmus gehört außerdem eine Mutation
+Zu einem vollständigen evolutionären Algorithmus gehört außerdem die Mutation
--~eine zufällige Veränderung einer Lösung. Leider ist es nicht möglich ein
-Sortiernetzwerk zufällig zu verändern aber trotzdem die Sortiereigenschaft zu
+Sortiernetzwerk zufällig zu verändern und dabei die Sortiereigenschaft zu
erhalten. Selbst das \emph{Hinzufügen} eines zufälligen Komparators kann diese
Eigenschaft zerstören.
Nach einer Mutation müsste man überprüfen, ob das neue Komparatornetzwerk die
Sortiereigenschaft noch besitzt. Nach heutigem Wissenstand ist diese
Überprüfung nur mit exponentiellem Aufwand möglich, etwa durch das
-Ausprobieren aller $2^n$~Bitmuster.
+Ausprobieren aller $2^n$~Bitmuster, wie in Abschnitt~\ref{sect:0-1-prinzip}
+beschrieben.
-Um das Potenzial einer Mutation abzuschätzen habe ich in den evolutionären
-Algorithmus eine Überprüfung eingebaut. Unmittelbar vor dem Einfügen in die
-Population überprüft das Programm die Notwendigkeit jedes einzelnen
-Komparators. Dazu wurde nacheinander jeder Komparator entfernt und überprüft,
-ob das verbleibende Netzwerk die Sortiereigenschaft noch besitzt.
+Um das Potenzial einer Mutation abzuschätzen wurde in \textsc{SN-Evolution}
+eine Überprüfung eingebaut: Unmittelbar vor dem Einfügen in die Population
+überprüft eine Funktion die Notwendigkeit jedes einzelnen Komparators. Dazu
+wird nacheinander jeder Komparator entfernt und überprüft, ob das verbleibende
+Netzwerk die Sortiereigenschaft noch besitzt.
-\begin{itemize}
-\item Güte von Sortiernetzwerken (Anzahl der Komparatoren, Anzahl der
-Schichten, kobiniert)
-\item Rekombination: Merge Anhängen und Leitungen entfernen.
-\end{itemize}
+Trotz des hohen Rechenaufwandes -- bei 16-Sortiernetzwerken sind gut
+4~Millionen Tests notwendig, um alle Komparatoren zu überprüfen -- waren die
+Ergebnisse ernüchternd: Nach circa 1~Million Iterationen mit
+16-Sortiernetzwerken fand der so modifizierte Algorithmus keinen einzigen
+Komparator, den er hätte entfernen können.
-Ein Beispielnetzwerk, das von dem Algorithmus gefunden wird, zeigt
-Abbildung~\ref{fig:evolutionary_08}.
+\subsection{Güte}
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/evolutionary-08.tex}
-\end{center}
-\caption{Ein mit dem evolutionären Algorithmus erzeugtes Sortiernetzwerk mit
-acht Eingängen. Es besteht aus 19~Komparatoren in 6~Schichten.}
-\label{fig:evolutionary_08}
-\end{figure}
+Die Qualität der erreichten Sortiernetzwerke wurde mit eine Gütefunktion
+beurteilt, die entsprechend dem im Abschnitt~\ref{sect:bewertung}
+vorgestellten Muster definiert ist. Wie beschrieben müssen die Faktoren häufig
+an die aktuelle Problemgröße angepasst werden, damit \textsc{SN-Evolution}
+schnell gute Ergebnisse liefert. Als guter Standardansatz haben sich die
+folgenden Werte herausgestellt:
+\begin{eqnarray*}
+w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
+w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 1 \\
+w_{\mathrm{Schichten}} &=& \left|S\right|_\mathrm{Leitungen}
+\end{eqnarray*}
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/08-e2-1237993371.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/08-e2-1237993371.tex}: 19~Komparatoren in 6~Schichten}
-\label{fig:08-e2-1237993371}
-\end{figure}
+\subsection{Versuche mit dem bitonen Mischer}
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/09-e2-1237997073.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/09-e2-1237997073.tex}: 25~Komparatoren in 8~Schichten}
-\label{fig:09-e2-1237997073}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-e1-bitonic-1296542566.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 67~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
+ erzeugt.}
+ \label{fig:16-e1-bitonic-1296542566}
\end{figure}
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/09-e2-1237999719.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/09-e2-1237999719.tex}: 25~Komparatoren in 7~Schichten}
-\label{fig:09-e2-1237999719}
-\end{figure}
+Verwendet man den \emph{bitonen Mischer} in der Rekombinationsphase von
+\textsc{SN-Evolution}, so erhält man Netzwerke wie das in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte: Der Algorithmus
+wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk als triviale
+Initiallösung gestartet. Das Ergebnis ist ein Netzwerk, das effizienter ist
+als das bitone Mergesort-Netzwerk: $\operatorname{BS}(16)$ benötigt
+80~Komparatoren, das Sortiernetzwerk in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} benötigt lediglich~67.
+
+\subsection{Versuche mit dem Odd-Even-Mischer}
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/10-e2-1239014566.tex}
-\end{center}
-\caption{{\tt images/10-e2-1239014566.tex}: 29~Komparatoren in 8~Schichten}
-\label{fig:10-e2-1239014566}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-e1-oddeven-1296543330.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{Odd-Even-Mischers}
+ erzeugt.}
+ \label{fig:16-e1-oddeven-1296543330}
\end{figure}
-\subsection{Güte}
+Leider lies sich das Ergebnis des bitonen Mischers -- das von
+\textsc{SN-Evolution} ausgegebene Netzwerk war effizienter als das rekursiv
+aus dem verwendeten Mischer aufgebaute Sortiernetzwerk -- mit dem
+\emph{Odd-Even-Mischer} nicht wiederholen. Zwar erreichen die
+Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des
+\emph{Odd-Even-Mischers} findet, das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+bezüglich Schnelligkeit und Effizienz, ein Beispiel hierfür ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen. Ein Netzwerk, das
+$\operatorname{OES}(n)$ in mindestens einem Merkmal übertrifft, konnte jedoch
+nicht beobachtet werden.
\begin{itemize}
-\item So gut kann man mindestens werden {\em ($\rightarrow$ Bitonic-Mergesort, vermute ich)}.
-\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \em{Mischer} ab.
+\item Güte von Sortiernetzwerken (Anzahl der Komparatoren, Anzahl der Schichten, kombiniert)
+\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \emph{Mischer} ab.
\item Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.
+\item Möglicherweise: Verwende den rekursiven Aufbau des \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks um Sortiernetzwerke zu mergen.
\end{itemize}
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\input{images/08-e2-1237993371.tex}
+%\end{center}
+%\caption{{\tt images/08-e2-1237993371.tex}: 19~Komparatoren in 6~Schichten}
+%\label{fig:08-e2-1237993371}
+%\end{figure}
+%
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\input{images/09-e2-1237997073.tex}
+%\end{center}
+%\caption{{\tt images/09-e2-1237997073.tex}: 25~Komparatoren in 8~Schichten}
+%\label{fig:09-e2-1237997073}
+%\end{figure}
+%
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\input{images/09-e2-1237999719.tex}
+%\end{center}
+%\caption{{\tt images/09-e2-1237999719.tex}: 25~Komparatoren in 7~Schichten}
+%\label{fig:09-e2-1237999719}
+%\end{figure}
+%
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\input{images/10-e2-1239014566.tex}
+%\end{center}
+%\caption{{\tt images/10-e2-1239014566.tex}: 29~Komparatoren in 8~Schichten}
+%\label{fig:10-e2-1239014566}
+%\end{figure}
+
%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
\newpage
Algorithmus wurden zu einer Reihe von „interessanten“ Netzwerken möglichst
gute Schnittmuster gesucht.
-Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster}
-als Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten
-$r$~Schnitte des einen Schnittmusters verwendet und die letzten
-${c-r}$~Schnitte des zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit
-$0 \leqq r \leqq c$.
+Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet die \emph{Schnittmuster},
+die in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als
+Individuen. Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte
+des einen Schnittmusters verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte des
+zweiten Schmittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$.
Die Mutation setzt entweder die Leitungs-Nummer eines Schnitts~$i$ zufällig
auf einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
sparen im Vergleich zu den Mischern, die nach Batchers Methode konstruiert
werden, Komparatoren ein.
-Beispeilsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
+Beispielsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk benötigt 68~Komparatoren, 12~weniger
als das bitone Mergesort-Netzwerk nach Batchers Methode. Gegenüber Batchers
strukturell identisch zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
Schichten~1 und~2 sowie 4~und~5 sind vertauscht.
-\begin{displaymath}
-\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
- -\infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{0, 6\} \\
- \infty & \quad \textrm{falls } i \operatorname{mod} 8 \in \{2, 4\} \\
- ? & \quad \mathrm{sonst}
- \end{array} \right.
-\end{displaymath}
-
\begin{figure}
\begin{center}
\input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
\label{fig:ps16-from-ps32}
\end{figure}
+Für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} ist es vergleichsweise einfach
+regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk einen kleineres
+schnelles und effizientes Sortiernetzwerk erzeugen. Beispielsweise führt das
+einfache Schnittmuster
+\begin{displaymath}
+\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
+ -\infty & \quad \textrm{falls } i < \frac{1}{4} n \\
+ \infty & \quad \textrm{falls } i \geqq \frac{3}{4} n \\
+ ? & \quad \mathrm{sonst}
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+für $\operatorname{PS}\left(n = 2^d\right)$ zum Sortiernetzwerk
+$\operatorname{PS}\left(\frac{1}{2}n\right)$. Die Art und Weise, mit der
+dieses Schnittmuster Komparatoren eliminiert und welche Komparatoren das
+verbleibende Netzwerk ausmachen, ist in Abbildung~\ref{fig:ps16-from-ps32}
+dargestellt. Die matt blauen und roten Leitungen und Komparatoren sind
+diejenigen, die Aufgrund eines Minimums oder eines Maximums im resultierenden
+Netzwerk nicht mehr enthalten sind. Da die Minima und Maxima bereits auf den
+„richtigen“ Leitungen angelegt werden, müssen keine Leitungen vertauscht
+werden und das Ergebnis ist bereits normalisiert. Daher ist das resultierende
+Netzwerk in schwarz gut zu erkennen.
+
\begin{figure}
\begin{center}
\input{images/16-pairwise.tex}
\label{fig:16-pairwise}
\end{figure}
-Wendet man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf $\operatorname{PS}(16)$ an, so kann
-man $\operatorname{OES}(8)$ erhalten.
+Ein Spezialfall ergibt sich, wenn man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
+$\operatorname{PS}(16)$ anwendet: In diesem Fall kann man durch ein
+8-Schnittmuster das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{8} erhalten. Für
+größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen nicht mehr möglich, beispielsweise
+kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch ein 16-Schnittmuster in \oes{16}
+konvertiert werden. Die Verwandschaft von $\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n}
+untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler} ausführlich in~\cite{M2009}.
\subsection{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-\todo{Schreibe noch etwas zum Odd-Even-Mergesort-Netzwerk.}
+In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
+viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster die konstruktiven Sortiernetzwerke
+$\operatorname{OES}(32)$, $\operatorname{BS}(32)$ und $\operatorname{PS}(32)$
+besitzen. Eines der Ergebnisse war, dass von diesen Sortiernetzwerken das
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk die wenigsten unterschiedlichen
+16-Schnittmuster besitzt -- nur etwa $5,2$~Millionen. Entsprechend ist es
+wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} gestartet mit
+$\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell ein gutes 16-Schnittmuster findet.
-\begin{itemize}
- \item Beispiel: Moritz und Rolfs Optimierung für Bitonic-Sort.
- \item Wie gut kann man durch wegschneiden werden?
- \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk? Oder andersrum: Wieviele
- unterschiedliche Netzwerke kann ich erhalten? Wieviele Nachfolger hat ein
- Netzwerk / Knoten in der Markov-Kette?
- \item Abschnitt „Optimierung der Schnitte“ hier einbauen.
-\end{itemize}
+Eines der eher zufälligen Schnittmuster ist $\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14,
+17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7, 8, 13, 18, 21, 27, 31)$. Das
+Schnittmuster ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht,
+das resultierende Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-oes32-cut.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Visualisierung eines 16-Schnittmusters, das auf
+ $\operatorname{OES}(32)$ angewendet wieder ein schnelles und effizientes
+ Sortiernetzwerk ergibt.}
+ \label{fig:16-ec-from-oes32-cut}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-oes32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{16-Sortiernetzwerk mit 63~Komparatoren in 10~Schichten.
+ Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
+ \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(32)$ durch
+ 16~Schnitte erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-oes32}
+\end{figure}
\newpage
\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
$S_0$ ist, das heißt dass man $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
selbst erzeugen kann.
-Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben ist die Anzahl
-(unterschiedlicher) Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger sehr
-groß. Wenn $S_0$ ein Sortiernetzwerk mit $n$~Leitungen ist, so hat $S_0$ bis
-zu
-\begin{displaymath}
- 2^n \cdot \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)
-\end{displaymath}
-Nachfolger.
+Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
+der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
+sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der
+Nachfolger zwar noch unter 20000, bei den untersuchten 32-Sortiernetzwerken
+wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$ unterschiedliche Schnittmuster
+geschätzt.
Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem
gegebenen Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu
gelangen, rekombiniert der Algorithmus das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich
-selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger.
+selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger. In Pseudocode lässt dich der
+Algorithmus wie folgt beschreiben:
+
+\begin{verbatim}
+Netzwerk := Eingabe
+
+für n Iterationen
+{
+ Nachfolger := kombiniere (Netzwerk, Netzwerk)
+ Netzwerk := Nachfolger
+}
+
+gib Netzwerk zurück
+\end{verbatim}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Zyklen, die beim \textit{Random Walk} des
+ \textsc{SN-Markov}-Algorithmus detektiert wurden. Auf der x-Achse sind die
+ Anzahl der Schritte, die \textsc{SN-Markov} zurückgelegt hat, auf der
+ y-Achse die Längen der gefundenen Zyklen aufgetragen. Das initiale
+ Start-Sortiernetzwerk war $\operatorname{OET}(16)$.}
+ \label{fig:markov-cycles-16}
+\end{figure}
-\begin{itemize}
- \item $n \leftarrow \mathrm{Input}$
- \item \texttt{while} \textit{true}
- \begin{itemize}
- \item $n \leftarrow \operatorname{recombine} (n, n)$
- \end{itemize}
-\end{itemize}
\begin{itemize}
\item Beste erreichte Netzwerke (gleich zu \emph{OE-Mergesort}).
\begin{figure}
\begin{center}
- \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}
\end{center}
\caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 12~Leitungen),
die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
\begin{figure}
\begin{center}
- \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
\end{center}
\caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
\begin{figure}
\begin{center}
- \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
\end{center}
\caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
\label{fig:markov-comparators-16}
\end{figure}
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen),
+ die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
+ \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.}
+ \label{fig:markov-comparators-18}
+\end{figure}
+
\newpage
\section{Empirische Beobachtungen}
Das würde mir noch einfallen$\ldots$
+- SN-Evolution mit Pairwise als „Mischer“.
+- Co-Evolution von Netzwerken und Schnittmustern.
+
\newpage
\section{Implementierung}
-So habe ich die ganzen Versuche durchgeführt.
+Alle in dieser Arbeit beschriebenen Versuche wurden mit einer eigens
+entwickelten C-Bibliothek, \textit{libsortnetwork}, und zugehörigen
+Kommandozeilen-Programmen durchgeführt. Die Bibliothek wurde unter der
+\textit{GNU Lesser General Public License} (LGPL) in der Version~2.1
+veröffentlicht; die Kommandozeilen-Programme, die in vielen Fällen lediglich
+Funktionalität der Bibliothek auf der Kommandozeile zur Verfügung stellen,
+stehen unter der \textit{GNU General Public License}, Version~2. Diese
+Lizenzen räumen einem Benutzer weitreichende Rechte ein, unter anderem das
+Programm beliebig zu verwenden, zu studieren, zu verändern sowie veränderte
+und unveränderte Kopien zu veröffentlichen.
+
+Die Programmierschnittstelle (API) der Bibliothek orientiert sich an
+Paradigmen der \textit{objektorientierten Programmierung}. Beispielsweise kann
+mit der Funktion \texttt{sn\_network\_ create()} ein neues Zustands-Objekt
+erzeugt werden, für das mehrere Manipulations-Methoden, zum Beispiel
+\texttt{sn\_network\_comparator\_add()}, zur Verfügung stehen. Auf diese Art
+und Weise kann die Bibliothek leicht erweitert werden, ohne dass bestehende
+Programme angepasst werden müssen.
+
+Die meisten Kommandozeilen-Programmen lesen ein Komparatornetzwerk von der
+Standard-Eingabe und schreiben ihr Ergebnis auf die Standard-Ausgabe. Um
+Beispielsweise eine \emph{normalisierte} Variante des \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerks \bs{18} zu erzeugen, kann folgendes Kommando verwendet
+werden:
+\begin{verbatim}
+$ sn-bitonicsort 18 | sn-normalize >sn-18
+\end{verbatim}
+Dieses Prinzip, kleine Programme \emph{eine} Aufgabe erledigen zu lassen und
+es einfach zu ermöglichen, Programme zu verketten, ist eines der
+Grundprinzipien des UNIX-Be\-triebs\-sys\-tems. Es hat sich in den letzten
+Jahrzehnten und beim Verfassen dieser Arbeit als sehr flexibel und mächtig
+erwiesen.
+
+Funktionen, die von Kommandozeilen-Programmen zur Verfügung gestellt werden,
+sind unter anderem das Erzeugen von Odd-Even-Mergesort-, bitonic Mergesort-
+und Pairwise-Sorting-Netzwerken, das Normalisieren von Sortiernetzwerken,
+Anwendung von Schnittmustern auf Sortiernetzwerke und Anwendung eines
+Komparatornetzwerks auf eine Eingabe-Permutation.
+
+\textit{libsortnetwork} kann unter der Web-Adresse
+\url{http://octo.it/libsortnetwork/} unentgeldlich heruntergeladen werden.
\newpage
\bibliography{references}
projects / diplomarbeit.git / blobdiff