\usepackage{listings}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{url}
+\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage{longtable}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{icomma}
\newcommand{\bm}[1]{\ensuremath{\operatorname{BM}\left(#1\right)}}
\newcommand{\oet}[1]{\ensuremath{\operatorname{OET}\left(#1\right)}}
+\newcommand{\gcell}{\cellcolor{green!10}}
+\newcommand{\Gcell}{\cellcolor{green!10!white!95!black}}
+
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{satz}{Satz}
Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was der
Komplexitätsklasse
-$\mathcal{O}\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist,
-ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\mathcal{O}(2^n)$
+$\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist,
+ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\Theta(2^n)$
verbunden. Entsprechend ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein
schnelleres Verfahren ist bisher allerdings nicht bekannt. Um zu überprüfen,
ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die Sortiereigenschaft besitzt,
Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk ist weder in Bezug auf die
Anzahl der Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen
sich die Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt ${\frac12 n
-(n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind.
+(n-1)} = \Theta(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind.
Die im Folgenden vorgestellten Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger Komparatoren,
($\Theta(n \log (n)^2)$), die in weniger Schichten,
($\Theta(\log (n)^2)$), angeordnet sind.
Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet
die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden
$\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus
-$\frac{1}{2} n \log(n) = \mathcal{O}\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
+$\frac{1}{2} n \log(n) = \Theta\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können.
\subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
\end{figure}
Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden,
-bricht die Rekursion nach $\mathcal{O}\left(\log (n) + \log (m)\right)$
+bricht die Rekursion nach $\Theta\left(\log (n) + \log (m)\right)$
Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit
Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der längeren der beiden
Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$.
\end{displaymath}
Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form
anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
-dass $K(n,m)$ in $\mathcal{O}(N \log (N))$ enthalten ist.
+dass $K(n,m)$ in $\Theta(N \log (N))$ enthalten ist.
Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$ beträgt, lässt sich die
Anzahl der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der
\item Möglichst wenige Schichten („schnell“)
\end{itemize}
-Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken. Das
-effizienteste bekannte Sortiernetzwerk für 16~Eingänge besteht aus
-60~Komparatoren in 10~Schichten. Das schnellste bekannte 16-Sortiernetzwerk
-besteht aus 61~Komparatoren in nur 9~Schichten.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von \textit{M.~W. Green} konstruiert und 1969 in \todo{Referenz} veröffentlicht.]{\input{images/16-green.tex}\label{fig:16-green}}
+ \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 61~Komparatoren in 9~Schichten. Das Netzwerk wurde von \textit{D. Van~Voorhis} veröffentlicht.]{\input{images/16-voorhis.tex}\label{fig:16-voorhis}}
+ \caption{Das effizienteste und das schnellste Sortiernetzwerk für
+ 16~Leitungen, das derzeit bekannt ist.}
+ \label{fig:16-best-known}
+\end{figure}
+Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken.
+Beispielsweise besteht das \emph{effizienteste} bekannte Sortiernetzwerk für
+16~Eingänge aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Es ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-green} dargestellt. Das \emph{schnellste} bekannte
+16-Sortiernetzwerk besteht aus 61~Komparatoren in nur 9~Schichten und ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-voorhis} zu sehen.
Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`effizient"' und "`schnell"'
berücksichtigen kann, hat die folgende allgemeine Form:
\label{fig:16-e1-bitonic-1296542566}
\end{figure}
-Verwendet man den \emph{bitonen Mischer} in der Rekombinationsphase von
-\textsc{SN-Evolution}, so erhält man Netzwerke wie das in
-Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte: Der Algorithmus
-wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk als triviale
-Initiallösung gestartet. Das Ergebnis ist ein Netzwerk, das effizienter ist
-als das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk: \bs{16} benötigt 80~Komparatoren,
-das Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} benötigt
-lediglich~67. Die Effizienz des \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks wurde
-leider mit keiner Leitungszahl erreicht.
+Wenn \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk
+als Eingabe gestartet wird und in der Rekombinationsphase den \emph{bitonen
+Mischer} verwendet, gibt der Algorithmus Sortiernetzwerke wie das in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte zurück.
+
+Viele der Sortiernetzwerke, die von \textsc{SN-Evolution} in dieser
+Konfiguration gefunden werden, sind effizienter als das \emph{bitone
+Mergesort}-Netzwerk \bs{n}, das ebenfalls auf dem \emph{bitonen
+Merge}-Netzwerk \bm{n} beruht. Das in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte 16-Sortiernetzwerk
+benötigt 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{n}.
+
+Wenn die Gütefunktion so gewählt ist, dass sie schnelle Sortiernetzwerke
+bevorzugt, können Netzwerke zurückgegeben werden, die schneller als \bs{n}
+sind. Viele der schnellen Sortiernetzwerke sind außerdem effizienter als
+\bs{n}. Das Sortiernetzwerk mit $n = 23$ Leitungen benötigt mit
+134~Komparatoren jedoch einen Komparator mehr als \bs{23}. Die Daten von
+schnellen Sortiernetzwerken, die \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{bitonen
+Merge}-Netzwerk erzeugt hat, sind in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-bm-fast}
+aufgelistet.
+
+\begin{table}\label{tbl:sn-ev-bm-fast}
+\begin{center}
+\rowcolors{4}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+\hline
+Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \bm{n}} & \multicolumn{2}{|l|}{\bs{n}} \\
+\cline{2-5}
+ ($n$) & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
+\hline
+ 8 & \gcell 20 & 6 & 24 & 6 \\
+ 9 & \Gcell 26 & 8 & 28 & 8 \\
+ 10 & \gcell 31 & \gcell 8 & 33 & 9 \\
+ 11 & \Gcell 37 & \Gcell 9 & 39 & 10 \\
+ 12 & \gcell 42 & \gcell 9 & 46 & 10 \\
+ 13 & \Gcell 48 & 10 & 53 & 10 \\
+ 14 & \gcell 54 & 10 & 61 & 10 \\
+ 15 & \Gcell 61 & 10 & 70 & 10 \\
+ 16 & \gcell 67 & 10 & 80 & 10 \\
+ 17 & \Gcell 76 & 12 & 85 & 12 \\
+ 18 & \gcell 87 & \gcell 12 & 91 & 13 \\
+ 19 & \Gcell 93 & \Gcell 13 & 98 & 14 \\
+ 20 & \gcell 104 & \gcell 13 & 106 & 14 \\
+ 21 & \Gcell 109 & \Gcell 14 & 114 & 15 \\
+ 22 & \gcell 118 & \gcell 14 & 123 & 15 \\
+ 23 & 134 & \Gcell 14 & \Gcell 133 & 15 \\
+ 24 & \gcell 133 & 15 & 144 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
+ unter Verwendung des \emph{bitonen Merge}-Netzwerks \bm{n}. Der Algorithmus
+ wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n} gestartet
+ und nach 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion nutzte die
+ Konstanten $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$,
+ $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
+\end{center}
+\end{table}
\subsection[Odd-Even-Mischer]{Versuche mit dem Odd-Even-Mischer}
\label{fig:16-e1-oddeven-1296543330}
\end{figure}
-Leider lies sich das Ergebnis des bitonen Mischers -- die von
-\textsc{SN-Evolution} ausgegebenen Netzwerke waren effizienter als das
-rekursiv aus dem verwendeten Mischer aufgebaute Sortiernetzwerk -- mit dem
-\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk nicht wiederholen. Zwar erreichen die
-Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des
-\emph{Odd-Even}-Mischers findet, das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
-bezüglich Geschwindigkeit und Effizienz, ein Beispiel hierfür ist in
-Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen. Sortiernetzwerkde, die
-effizienter als $\operatorname{OES}(n)$ sind, konnten leider nicht beobachtet
-werden. Wenn $n$ keine Zweietpotenz ist, kann \textsc{SN-Evolution} unter
-Umständen Sortiernetzwerke ausgeben, die schneller als \oes{n} sind.
+Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass der
+\textsc{SN-Evolution}-Algorithmus unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
+Sortiernetzwerke erzeugen kann, die effizienter als das rekursiv aus dem
+\emph{bitonen Mischer} aufgebaute \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk sind.
+Dieses Ergebnis lies sich mit dem \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk nicht
+erzielen. Die Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des
+\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks findet, erreichen das
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk bezüglich Effizienz, übertreffen es aber
+nicht. Ein Beispiel für ein entsprechendes Sortiernetzwerk ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen.
+
+Mit einer Gütefunktion, die schnelle Sortiernetzwerke bevorzugt, ist es auch
+mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer möglich, dass \textsc{SN-Evolution}
+Sortiernetzwerke zurück gibt, die schneller als \oes{n} sind. Dies geschieht
+beispielsweise bei $n = 11$ und $n = 12$: für diese Leitungszahlen gibt
+\textsc{SN-Evolution} Sortiernetzwerke aus, die nur 9~Schicten benötigen.
+\oes{11} und \oes{12} benötigen jeweils 10~Schichten. Eine Auflistung der
+Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer befindet
+sich in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-oem-fast}.
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\label{fig:10-e2-1239014566}
%\end{figure}
+\begin{table}\label{tbl:sn-ev-oem-fast}
+\begin{center}
+\rowcolors{4}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+\hline
+Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \oem{n}} & \multicolumn{2}{|l|}{\oes{n}} \\
+\cline{2-5}
+ & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
+\hline
+ 8 & 19 & 6 & 19 & 6 \\
+ 9 & 26 & 8 & 26 & 8 \\
+ 10 & 31 & 9 & 31 & 9 \\
+ 11 & 38 & \Gcell 9 & \Gcell 37 & 10 \\
+ 12 & 43 & \gcell 9 & \gcell 41 & 10 \\
+ 13 & 48 & 10 & 48 & 10 \\
+ 14 & 53 & 10 & 53 & 10 \\
+ 15 & 59 & 10 & 59 & 10 \\
+ 16 & 63 & 10 & 63 & 10 \\
+ 17 & 74 & 12 & 74 & 12 \\
+ 18 & 82 & 13 & 82 & 13 \\
+ 19 & 93 & \Gcell 13 & \Gcell 91 & 14 \\
+ 20 & 97 & 14 & 97 & 14 \\
+ 21 & 108 & \Gcell 14 & \Gcell 107 & 15 \\
+ 22 & 117 & \gcell 14 & \gcell 114 & 15 \\
+ 23 & 129 & \Gcell 14 & \Gcell 122 & 15 \\
+ 24 & 128 & 15 & \gcell 127 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
+ unter Verwendung des \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks \oem{n}. Der
+ Algorithmus wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n}
+ gestartet und nach 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion
+ nutzte die Konstanten $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} =
+ 1$, $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
+\end{center}
+\end{table}
+
+\subsection{Zufälliger Mischer}
+
+Die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Abschnitte zeigen, dass für einige
+Leitungszahlen der \emph{bitone Mischer} und für andere Leitungszahlen der
+\emph{Odd-Even}-Mischer bessere Ergebnisse liefert. Beispielsweise hat das
+Netzwerk für $n = 18$ bei Verwendung des \emph{bitone Mischers} nur
+12~Schichten, bei Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers hingegen nur
+82~Komparatoren. Daher liegt die Idee nahe, beide Mischer-Netzwerke zu nutzen,
+um das beste Ergebnis beider Konstruktionen zu erreichen.
+\textsc{SN-Evolution} kann zu diesem Zweck beim Zusammenfügen zweier
+Individuen zufällig zwischen dem \emph{bitonen Mischer} und dem
+\emph{Odd-Even}-Mischer wählen.
+
+Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} bei einer zufälligen Wahl des
+Mischers in der Rekombinationsphase sind in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-rnd-fast}
+zusammengefasst. Bei den Leitungszahlen 12, 19, 21, 22 und 23 hat der
+Algorithmus Netzwerke mit einer Effizienz erzeugt, die mit nur einem
+Mischertyp nicht erreicht wurde. Die Ergebnisse mit den Leitungszahlen 18 und
+20 erreichen die Geschwindigkeit der Netzwerke, die mit dem \emph{bitonen
+Mischer} generiert wurden, und verbessern gleichzeitig die Effizienz.
+
+\begin{table}\label{tbl:sn-ev-rnd-fast}
+\begin{center}
+\rowcolors{4}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|}
+\hline
+Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \bm{n}}
+ & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \oem{n}}
+ & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit Zufall} \\
+\cline{2-7}
+ ($n$) & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
+\hline
+ 8 & 20 & 6 & \gcell 19 & 6 & \gcell 19 & 6 \\
+ 9 & 26 & 8 & 26 & 8 & 26 & 8 \\
+ 10 & 31 & \gcell 8 & 31 & 9 & 31 & \gcell 8 \\
+ 11 & \Gcell 37 & 9 & 38 & 9 & \Gcell 37 & 9 \\
+ 12 & 42 & 9 & 43 & 9 & \gcell 41 & 9 \\
+ 13 & 48 & 10 & 48 & 10 & 48 & 10 \\
+ 14 & 54 & 10 & \gcell 53 & 10 & \gcell 53 & 10 \\
+ 15 & 61 & 10 & \Gcell 59 & 10 & \Gcell 59 & 10 \\
+ 16 & 67 & 10 & \gcell 63 & 10 & 64 & 10 \\
+ 17 & 76 & 12 & \Gcell 74 & 12 & \Gcell 74 & 12 \\
+ 18 & 87 & \gcell 12 & \gcell 82 & 13 & 83 & \gcell 12 \\
+ 19 & 93 & 13 & 93 & 13 & \Gcell 92 & 13 \\
+ 20 & 104 & \gcell 13 & \gcell 97 & 14 & 101 & \gcell 13 \\
+ 21 & 109 & 14 & 108 & 14 & \Gcell 107 & 14 \\
+ 22 & 118 & 14 & 117 & 14 & \gcell 116 & 14 \\
+ 23 & 134 & 14 & 129 & 14 & \Gcell 128 & 14 \\
+ 24 & 133 & 15 & \gcell 128 & 15 & 130 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
+ unter Verwendung der verschiedenen Mischer. Der Algorithmus wurde mit dem
+ \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n} gestartet und nach
+ 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion nutzte die Konstanten
+ $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$,
+ $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
+\end{center}
+\end{table}
+
%\input{shmoo-aequivalenz.tex}
\newpage
Sortiernetzwerken mit 68~Komparatoren in 10~Schichten resultieren, hatten 73
ein Verhältnis von $5/11$, 13 hatten ein Verhältnis von $4/12$ und 14 hatten
ein Verhältnis von $3/13$ Minimum- beziehungsweise Maximumschnitten. Da sich
-die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des bitonen Mergesort-Netzwerks
-leicht invertieren lassen, werden der Fall, dass es mehr Minimumschnitte, und
-der Fall, dass es mehr Maximumschnitte gibt, nicht unterschieden.
+die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerks leicht invertieren lassen, ist eine Fallunterscheidung --
+mehr Minimum- oder mehr Maximumschnitte -- nicht notwendig.
\begin{figure}
\centering
$\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert. Startet man
\textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
-16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, dass die gleiche
+16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, das die gleiche
Anzahl Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
\end{figure}
Für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} ist es vergleichsweise einfach
-regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk einen kleineres
+regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk ein kleineres
schnelles und effizientes Sortiernetzwerk erzeugen. Beispielsweise führt das
einfache Schnittmuster
\begin{displaymath}
16)$, $\operatorname{MAX}(1, 3, 10, 17, 20, 23)$ ausgegeben. Das Ergebnis
dieses Schnittmusters ist in Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-fast} zu
sehen. Das Sortiernetzwerk besteht aus 43~Komparatoren, die in 9~Schichten
-angeordnet sind. Das heißt, dass das resultierende Netzwerk zwar nicht so
-effizient wie \oes{12}, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12} ist.
+angeordnet sind. Das resultierende Netzwerk zwar nicht so effizient wie
+\oes{12}, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12}.
\begin{figure}
\centering
projects / diplomarbeit.git / blobdiff