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23 \geometry{paper=a4paper,margin=30mm}
27 %\fancyhead[LO,LE]{"Ubung zu Computational Intelligence}
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29 %\fancyhead[RO,RE]{Florian Forster (2099894)}
31 \title{Evolutionäre Optimierung von Sortiernetzwerken}
32 \author{Florian Forster}
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37 \newcommand{\todo}[1]{{\bf TODO:} #1}
38 \newcommand{\qed}{\hfill $\Box$ \par \bigskip}
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50 \newtheorem{definition}{Definition}
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53 % Zeige Nummern nur bei referenzierten Gleichungen an.
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88 Sortiernetzwerke erweisen sich als sehr schwieriges Optimierungsproblem. Zwar
89 ist das Konzept leicht verständlich und schnell erklärt, effiziente und
90 schnelle Sortiernetzwerke zu finden oder zu konstruieren bleibt aber eine
93 Diese Arbeit verwendet „Schnitte“ oder „Leitungselimination“ und
94 Mischer-Netz\-werke, um evolutionäre Algorithmen anzugeben, deren Individuen
95 die Menge der gültigen Sortiernetzwerke nie verlassen. Bisherige Ansätze
96 bewegten sich in der Regel in der Menge aller Komparatornetzwerke und suchten
97 dort nach Sortiernetzwerken. Nach dem Vorstellen der zwei Algorithmen
98 \textsc{SN-Evolution} und \textsc{SN-Evolution-Cut} sowie einiger Ergebnisse,
99 die mit diesen Algorithmen erzielt werden konnten, wird -- basierend auf dem
100 evolutionären Algorithmus \textsc{SN-Evolution} -- eine Markov-Kette für
101 Sortiernetzwerke angegeben.
108 \section{Motivation und Einleitung}
110 \subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
112 \emph{Sortiernetzwerke} sind ein theoretisches Konstrukt, dass auch von
113 Personen ohne Zugang zum Thema, beziehungsweise der theoretischen Informatik,
114 schnell verstanden werden kann. Eine Einführung wird in
115 Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} gegeben. Nichtsdestotrotz ist
116 das Finden von Sortiernetzwerken sowie das Beweisen, dass ein
117 Komparatornetzwerk jede beliebige Eingabe sortiert, im Allgemeinen sehr
118 schwierig und nach heutigem Kenntnisstand nur mit exponentiellem Aufwand zu
121 Einfacher ist der Korrektheitsbeweis bei konstruktiven Verfahren, da hier die
122 Konstruktionsvorschrift genutzt werden kann, um die Korrektheit für beliebige
123 Eingabegrößen zu beweisen. Im Abschnitt~\ref{sect:konstruktive_netzwerke}
124 geschieht dies beispielsweise für zwei von \emph{Kenneth~E. Batcher} 1968
125 gefundene Konstruktionsvorschriften.
127 Um effiziente und schnelle Sortiernetzwerke zu finden, wurden schon wiederholt
128 Computer und automatische Suchverfahren eingesetzt. Bisherige Ansätze
129 versuchen meist in der Menge aller Komparatornetzwerke jene zu finden, die
130 die Sortiereigenschaft besitzen und aus wenigen Komparatoren bestehen. Die
131 Eigenschaft, jede Eingabepermutation zu sortieren, ist also ein
132 Optimierungsziel und nicht durch das Vorgehen gewährleistet. Dafür können
133 theoretisch alle Sortiernetzwerke durch diese Algorithmen gefunden werden --
134 genügend Laufzeit vorausgesetzt.
136 In dieser Arbeit werden Methoden verwendet, die die Menge der Sortiernetzwerke
137 nie verlassen, dafür aber auch nicht alle existierenden Sortiernetzwerke
138 erzeugen können. So muss für ein gefundenes Komparatornetzwerk nicht mehr
139 nachgewiesen werden, dass es jede beliebige Eingabe sortiert, weil diese
140 Eigenschaft durch das Verfahren sichergestellt ist.
142 \subsection{Einleitung}\label{sect:einleitung}
144 \subsubsection{Sortiernetzwerke}\label{sect:einleitung_sortiernetzwerke}
146 \emph{Komparatoren} sind die Bausteine, die \emph{Komparatornetzwerken}
147 zugrunde liegen. Sie haben zwei Eingänge über die sie zwei Zahlen erhalten
148 können und zwei Ausgänge, auf denen die Zahlen wieder ausgegeben werden. Dabei
149 sind die Ausgänge im Gegensatz zu den Eingängen unterscheidbar, da die größere
150 der beiden Zahlen immer auf dem einen, die kleinere der beiden Zahlen
151 immer auf dem anderen Ausgang ausgegeben wird.
153 Kombiniert man mehrere \emph{Komparatoren} in der Form miteinander, dass die
154 Ausgänge eines Komparators mit Eingängen weiterer Komparatoren verbunden sind,
155 erhält man ein {\em Komparatornetzwerk}.
159 \input{images/einfaches_komparatornetzwerk.tex}
161 \caption{Einfaches Komparatornetzwerk mit 4~Ein- beziehungsweise Ausgängen,
162 bestehend aus 5~Komparatoren.}
163 \label{fig:einfaches_komparatornetzwerk}
166 Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} zeigt ein einfaches
167 \emph{Komparatornetzwerk} aus fünf Komparatoren. Insgesamt gibt es vier
168 verschiedene Eingänge und vier Ausgänge. Die Ein- und Ausgänge werden durch
169 eine horizontale Linie dargestellt und als \emph{Leitung} bezeichnet. Die
170 \emph{Komparatoren} sind durch vertikale Pfeile dargestellt und verbinden je
171 zwei verschiedene \emph{Leitungen} miteinander. Die Verbindungsstellen von
172 \emph{Leitungen} und \emph{Komparatoren} sind zur besseren Übersichtlichkeit
173 durch schwarze Punkte symbolisiert.
175 Auf der linken Seite befinden sich die Eingänge. Hier wird eine Zahlenfolge in
176 das Netzwerk hinein gegeben. Jeder Komparator vergleicht die Zahlen „auf“ den
177 beiden Leitungen, die er verbindet. Nach einem Komparator befindet sich die
178 kleinere Zahl immer auf der Leitung, auf die der Pfeil zeigt, die größere Zahl
179 befindet sich auf der Leitung, auf der der Pfeil seinen Ursprung hat. Wenn in
180 einem Komparatornetzwerk alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen --
181 die Konvention in dieser Arbeit ist, dass das Minimum auf der unteren Leitung
182 ausgegeben wird -- werden die Pfeile durch einfache Linien ersetzt. Zu diesen
183 sogenannten \emph{Standard-Netzwerken} siehe auch
184 Abschnitt~\ref{sect:normalisieren}.
186 Komparatoren, die \emph{unterschiedliche} Leitungen miteinander vergleichen,
187 können gleichzeitig angewendet werden. Das Beispiel in
188 Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} verwendet diesen Umstand und
189 vergleicht die zwei oberen und die zwei unteren Leitungen gleichzeitig. Eine
190 Gruppe von Komparatoren, die gleichzeitig angewendet werden können, nennt man
191 eine \emph{Schicht} des Komparatornetzwerks. Die \emph{Geschwindigkeit} eines
192 Komparatornetzwerks ist gleichbedeutend mit der Anzahl der Schichten, in die
193 sich die Komparatoren mindestens gruppieren lassen, da sie die Anzahl der
194 benötigten parallelen Schritte darstellt.
196 \emph{Komparatornetzwerke}, die für \emph{jede} Eingabefolge eine Ausgabe
197 erzeugen, die der Sortierung der Eingabe entspricht, heißen
198 \emph{Sortiernetzwerke}. Das in
199 Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} gezeigte Komparatornetzwerk
200 ist \emph{kein} Sortiernetzwerk: Die Eingabefolge ${(1, 2, 3, 4)}$ führt zur
201 Ausgabe ${(2, 1, 3, 4)}$ -- die bestehenden Sortierung wird also sogar
206 \input{images/09-e2-c24-allbut1.tex}
208 \caption{Ein \emph{Komparatornetzwerk} mit 9~Eingängen und 24~Komparatoren,
209 die in 8~Schichten angeordnet sind. Das Netzwerk sortiert alle Eingaben, bei
210 denen das Minimum nicht auf dem mittleren Eingang liegt.}
211 \label{fig:09-e2-c24-allbut1}
213 Zu beweisen, dass ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft {\em
214 nicht} hat, ist mit einem gegebenen Gegenbeispiel einfach möglich. Das
215 Komparatornetzwerk wird auf das Gegenbeispiel angewendet und anschließend wird
216 überprüft, ob die Ausgabe sortiert ist. Ist sie es nicht, heißt das, dass es
217 mindestens eine Eingabefolge gibt, die nicht sortiert wird. Entsprechend der
218 Definition handelt es sich bei dem \emph{Komparatornetzwerk} folglich
219 \emph{nicht} um ein \emph{Sortiernetzwerk}. Ein solches Gegenbeispiel für ein
220 gegebenes Komparatornetzwerk zu finden ist nach heutigem Kenntnisstand jedoch
221 nicht \emph{effizient}\footnote{In diesem Zusammenhang heißt \emph{effizient},
222 dass keine Algorithmen bekannt sind, die eine polynomielle Laufzeit (in
223 Abhängigkeit von der Eingabelänge) haben.} möglich.
225 Beispielsweise sortiert das im Rahmen dieser Arbeit entdeckte
226 Komparatornetzwerk in Abbildung~\ref{fig:09-e2-c24-allbut1} viele der 362.880
227 möglichen Eingabepermutationen. Mit dem Gegenbeispiel $(3, 5, 2, 1, 0, 7, 4,
228 8, 6)$ lässt sich jedoch leicht beweisen, dass das Komparatornetzwerk die
229 Sortiereigenschaft \emph{nicht} besitzt, da es in diesem Fall die Folge $(1,
230 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$ ausgibt.
232 Insgesamt gibt es $n!$~Permutationen von $n$~Elementen. Wenn ein
233 Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft besitzt, bildet es alle diese
234 Permutationen auf die sortierte Reihenfolge ab. Allerdings wächst $n!$
235 so schnell, dass ein Ausprobieren aller möglichen Permutationen schon bei
236 16~Leitungen praktisch nicht mehr zu bewerkstelligen
237 ist.\footnote{1.307.674.368.000 Permutationen}
239 \label{sect:0-1-prinzip}
240 Glücklicherweise reicht es aus, alle möglichen 0-1-Folgen zu überprüfen, wie
241 \textit{Donald~E. Knuth} in \cite{KNUTH} zeigt. Die Beweisidee ist folgende:
242 Angenommen ein Komparatornetzwerk sortiert alle 0-1-Folgen und es gibt eine
243 Permutation $E = (e_0, \dots, e_{n-1})$ beliebiger Zahlen, die nicht sortiert
244 wird. Die Ausgabefolge sei $A = (a_0, \dots, a_{n-1})$. Sei $i$ eine Position
245 in der Ausgabe, die die Sortierbedingung verletzt:
247 a_0 \leqq a_1 \leqq \dots \leqq a_{i-1} > a_i \dots
249 Die Eingabe kann mittels
257 auf eine 0-1-Folge abgebildet werden, die entsprechend der Annahme vom
258 Komparatornetzwerk sortiert wird. Allerdings verändert diese Abbildung das
259 Verhalten jedes einzelnen Komparators nicht: Wenn bei der Permutation eine
260 Zahl größer als $a_i$ und eine Zahl kleiner oder gleich $a_i$ verglichen
261 wurden, liegen jetzt entsprechend eine Null und eine Eins an, die genauso
262 vertauscht werden oder nicht, wie das bei der Permutation der Fall war. Liegen
263 zwei Nullen oder zwei Einsen an, entsprechen sie zwei Zahlen kleiner als
264 $a_i$, beziehungsweise zwei Zahlen größer oder gleich $a_i$. Da im Fall der
265 0-1-Folge zwei gleiche Zahlen am Komparator anliegen, dürfen wir davon
266 ausgehen, dass sich der Komparator so verhält, wie er sich bei der Permutation
267 verhalten hat -- ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Entsprechend müssen an den
268 Ausgängen $i-1$ und $i$ eine Null und eine Eins in der falschen Reihenfolge
269 ankommen. Das steht im Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen
272 Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was mit dem Aufwand
273 $\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ verbunden ist, besitzt
274 das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ den Aufwand $\Theta(2^n)$. Entsprechend
275 ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein schnelleres Verfahren ist
276 bisher allerdings nicht bekannt.
278 Um zu überprüfen, ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die
279 Sortiereigenschaft besitzt, sind mit dieser Methode nur 65.536 Tests notwendig
280 -- eine Zahl, die für aktuelle Prozessoren keine Herausforderung darstellt.
281 Für die Überprüfung eines Komparatornetzwerks mit 32~Leitungen sind jedoch
282 bereits etwa 4,3~Milliarden Tests notwendig, die einen Rechner durchaus
283 mehrere Stunden beschäftigen. Das ist deshalb problematisch, weil die im
284 Folgenden vorgestellten \emph{Evolutionären Algorithmen} eine entsprechende
285 Überprüfung in jeder Iteration durchführen müssten. Wenn die Überprüfung eines
286 Zwischenergebnisses drei Stunden in Anspruch nimmt, sind für eine Million
287 Iterationen etwa 340~Jahre Rechenzeit notwendig. Selbst wenn die Berechnung
288 auf 1000~Computern mit je 4~Prozessoren verteilt wird, wird etwa ein Monat für
291 \subsubsection{Evolutionäre Algorithmen}
293 Viele {\em kombinatorische Optimierungsprobleme} sind schwer zu lösen -- die
294 entsprechenden Entscheidungsprobleme liegen oft in der Komplexitätsklasse
295 $\mathcal{NP}$-vollständig. Das heißt, dass keine Verfahren bekannt sind, die
296 diese Probleme effizient exakt lösen. Sollte sich herausstellen, dass diese
297 Probleme außerhalb der Komplexitätsklasse~$\mathcal{P}$ liegen, wäre eine
298 Konsequenz, dass es für diese Probleme keine effizienten exakten Algorithmen
299 gibt. Stellt sich hingegen heraus, dass diese Probleme neben
300 $\mathcal{NP}$-vollständig auch in der Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen,
301 gibt es effiziente Algorithmen. Es ist jedoch wahrscheinlich, dass die
302 Zeitkonstanten solcher Algorithmen sehr groß wären, so dass der praktische
303 Nutzen fraglich bleibt.
305 Aus diesem Grund besteht die Notwendigkeit, einen Kompromiss einzugehen: Statt
306 die \emph{optimale Lösung}, beziehungsweise eine der \emph{optimalen Lösungen}
307 als einzige Ausgabe des Algorithmus zuzulassen, wird eine "`möglichst gute"'
308 Lösung ausgegeben. Dafür verringert sich die Laufzeit des Algorithmus. Viele
309 dieser Optimierungsalgorithmen orientieren sich an Vorgängen in der Natur.
310 Beispielsweise imitieren die „Ameisenalgorithmen“ das Verhalten von Ameisen
311 auf der Futtersuche, um kurze Rundreisen auf Graphen zu berechnen.
313 Bei {\em Evolutionären Algorithmen} stand die Evolution Pate. Die Grundidee
314 ist, bekannte Lösungen zu neuen -- unter Umständen besseren -- Lösungen zu
315 kombinieren. Dabei bedient man sich der in der Evolutionstheorie etablierten
316 Nomenklatur, beispielsweise werden konkrete Lösungen für ein Problem als {\em
317 Individuen} bezeichnet.
319 Die Vorgehensweise lässt sich abstrakt wie folgt beschreiben: Aus einer
320 bestehenden Lösungsmenge, der {\em Population}, werden zufällig Lösungen
321 ausgesucht {\em (Selektion)} und zu einer neuen Lösung kombiniert ({\em
322 Rekombination}). Unter Umständen wird die neue Lösung noch zufällig
323 verändert {\em (Mutation)}, bevor sie in die bestehende Lösungsmenge
324 eingefügt wird. Die verwendeten Wahrscheinlichkeiten, beispielsweise bei der
325 {\em Selektion}, sind dabei nicht zwangsläufig gleichverteilt -- üblicherweise
326 werden bessere Lösungen bevorzugt. Zur Bewertung dient die sogenannte {\em
329 Nicht alle Probleme eignen sich für diese Strategie. Zum einen muss es möglich
330 sein, eine initiale Population zur Verfügung zu stellen, da diese als Basis
331 aller weiteren Operationen dient. Das ist häufig keine große Einschränkung, da
332 es oft einfach ist, {\em irgendeine} Lösung anzugeben. Die angegebenen
333 Algorithmen verwenden als einfache initiale Lösung häufig das
334 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk, das in
335 Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort} beschrieben wird. Zum anderen
336 muss eine Methode für die Rekombination existieren. Das ist insbesondere dann
337 problematisch, wenn {\em Nebenbedingungen} eingehalten werden müssen. Die in
338 dieser Arbeit verwendeten Rekombinationsmethoden sind so gewählt, dass die
339 Nebenbedingungen nicht verletzt werden.
341 Beim Aussuchen von zufälligen Lösungen aus der Population, der
342 \emph{Selektion}, werden gute Lösungen bevorzugt. Wie sehr diese Lösungen
343 bevorzugt werden, hat einen starken Einfluss auf das Verhalten des
344 Algorithmus. Werden gute Lösungen stark bevorzugt, konvergiert der Algorithmus
345 schnell gegen ein (lokales) Optimum. Dieses \textit{Exploitation} (Englisch
346 für „Ausnutzung“) genannte Verhalten sorgt dafür, dass sich der Algorithmus
347 schnell auf eine Lösung festlegt und andere, möglicherweise bessere lokale
348 Optima nicht mehr findet. Werden gute Lösungen hingegen nur wenig bevorzugt,
349 erforscht der Algorithmus den Lösungsraum in viele Richtungen. Dieses
350 \textit{Exploration} (Englisch für „Erforschung“) genannte Verhalten sorgt
351 zwar dafür, dass der Algorithmus langsamer auf ein Optimum zusteuert, dafür
352 findet er aber in der Regel bessere Lösungen. Die Rolle, die
353 \textit{Exploitation} und \textit{Exploration} bei evolutionären
354 Optimierungsalgorithmen spielen, wird von \textit{Eiben} und
355 \textit{Schippers} in~\cite{ES1998} untersucht.
357 Die Parameter evolutionärer Algorithmen so einzustellen, dass sich ein guter
358 Mittelweg zwischen den beiden Extremen einstellt, ist eine Aufgabe, die sich
359 nur experimentell lösen lässt. Die genauen Parameter hängen nicht nur vom
360 eigentlichen Algorithmus, sondern auch vom konkreten Problem ab, so dass sich
361 beispielsweise bei der Optimierung von Sortiernetzwerken die Parameter
362 zwischen verschiedenen Leitungszahlen stark unterscheiden. Einen Überblick
363 geben \textit{Kalyanmoy Deb} und \textit{Samir Agrawal} in~\cite{DA1998}.
365 Die Erforschung (\textit{Exploration}) kann von einem weiteren Mechanismus
366 unterstützt werden, der ebenfalls der Evolutionslehre entliehen ist, der
367 \emph{Mutation}. Dabei werden Lösungen zufällig verändert, so dass auch andere
368 Lösungen „in der Nähe“ von direkten Nachfolgern erreicht werden können. Das
369 hilft insbesondere bei der intensiven Suche in der Nähe eines lokalen Optimums
370 aber auch beim „Ausbrechen“ aus lokalen Optima und finden noch besserer
373 Bei \emph{Sortiernetzwerken} ist eine \emph{Mutation} leider immer damit
374 verbunden, dass anschließend die Sortiereigenschaft des resultierenden
375 \emph{Komparatornetzwerks} wieder überprüft werden muss, da selbst das
376 Hinzufügen eines zufälligen Komparators diese Eigenschaft zer\-stö\-ren kann.
377 Beim Suchen möglichst effizienter Netzwerke ist das zufällige Entfernen von
378 Komparatoren interessanter, was die Sortiereigenschaft fast immer aufhebt.
380 Die im Folgenden beschriebenen Algorithmen mutieren (verändern) daher nicht
381 die \emph{Sortiernetzwerke} selbst, sondern verzichten entweder ganz auf
382 Mutation oder mutieren lediglich Transformationen von Sortiernetzwerken, die
383 die Sortiereigenschaft erhalten. Transformationen von Sortiernetzwerken werden
384 in Abschnitt~\ref{sect:tranformation} beschrieben, ein Algorithmus, der
385 Mutation einsetzt, wird in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut} vorgestellt.
387 \begin{figure} \begin{center} \input{images/16-hillis.tex} \end{center}
388 \caption{Das 16-Sortiernetzwerk, das \textit{Hillis} in~\cite{H1990} angibt.
389 Es besteht aus 61~Komparatoren in 11~Schichten.} \label{fig:16-hillis}
390 \end{figure} Evolutionäre Algorithmen wurden bereits mehrfach eingesetzt, um
391 Sortiernetzwerke zu untersuchen. \textit{W.~Daniel Hillis} verwendete
392 \emph{Co-Evolution} um neben Komparatornetzwerken auch „schwierige Eingaben“
393 zu optimieren~\cite{H1990}. Diese \emph{Parasiten} genannten Eingaben wurden
394 daran gemessen, bei wie vielen Komparatornetzwerken sie beweisen konnten, dass
395 sie keine Sortiernetzwerke sind. So mussten bei neuen Individuen
396 (Komparatornetzwerken) nicht alle 0-1-Folgen, sondern nur erfolgreiche
397 Parasiten (schwierige Eingaben) überprüft werden. Auf diese Art und Weise
398 gelang es \textit{Hillis} ein 16-Sortiernetzwerk mit 61~Komparatoren
399 anzugeben, das in Abbildung~\ref{fig:16-hillis} zu sehen ist.
403 \subfigure{\input{images/13-juille-0.tex}}
404 \subfigure{\input{images/13-juille-1.tex}}
405 \caption{13-Sortiernetzwerke, die von \textit{Hugues Juillé} mithilfe des
406 END-Algorithmus gefunden wurden. Sie bestehen jeweils aus 45~Komparatoren in
408 \label{fig:13-juille}
410 \textit{Hugues Juillé} entwickelte ein Verfahren, das er \emph{Evolving
411 Non-Determinism} (END) nannte~\cite{J1995}. Dabei handelt es sich nicht um
412 einen der \emph{Evolutionären Algorithmen}, wie sie hier vorgestellt wurden,
413 sondern um eine verteilte, probabilistische Breitensuche, die an die
414 \emph{Strahlsuche} (englisch: \textit{beam search}), ein Verfahren der
415 Künstlichen Intelligenz, angelehnt ist. Die aufwendigste Operation bei diesem
416 Ansatz ist die Bewertungsfunktion, die abschätzt, wie viele Komparatoren zu
417 einem Komparatornetzwerk hinzugefügt werden müssen, um ein Sortiernetzwerk zu
418 erhalten. Mit diesem Ansatz gelang es \textit{Juillé} zwei 13-Sortiernetzwerke
419 anzugeben, die mit 45~Komparatoren effizienter sind als alle bis dahin
420 bekannten (Abbildung~\ref{fig:13-juille}).
423 \section[Konstruktionsverfahren]{Konstruktionsverfahren für Sortiernetzwerke}
424 \label{sect:konstruktive_netzwerke}
426 Die bekannten Konstruktionsverfahren für Sortiernetzwerke, insbesondere ein
427 häufig verwendeter Baustein, sogenannte \emph{Mischer}\footnote{Eine
428 Fehlübersetzung aus dem Englischen, von \textit{to~merge} (Deutsch:
429 zusammenfügen). Da der Begriff des "`mischens"' beziehungsweise der
430 "`Mischer"' in der Literatur sehr weit verbreitet ist, werden diese Begriffe
431 in dieser Arbeit trotzdem verwendet.}, bilden die Grundlage für die
432 beschriebenen evolutionären Algorithmen beziehungsweise dienen als initiale
433 Eingabe. Im Folgenden werden daher drei Konstruktionsverfahren vorgestellt.
435 \subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
436 \label{sect:odd_even_transpositionsort}
438 Das Sortiernetzwerk {\em Odd-Even-Transpositionsort} (OET) ist eines der
439 einfachsten Sortiernetzwerke. Es besteht aus $n$~{\em Schichten}, die jede
440 "`Leitung"' abwechselnd mit den benachbarten Leitungen verbindet.
441 Abbildung~\ref{fig:odd-even-transposition-08} zeigt das OET-Netzwerk für
446 \input{images/oe-transposition-8.tex}
448 \caption{Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit 8~Eingängen.}
449 \label{fig:odd-even-transposition-08}
452 Dass das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk tatsächlich jede beliebige
453 Eingabe sortiert, ist nicht offensichtlich. Leicht zu sehen ist jedoch, dass
454 sowohl das Minimum als auch das Maximum durch das im Netzwerk enthaltene
455 Treppenmuster auf die unterste beziehungsweise oberste Leitung gelangt.
457 Die Sortiereigenschaft größerer OET-Netzwerke lässt sich rekursiv beweisen,
458 indem man $\operatorname{OET}(n)$ auf $\operatorname{OET}(n-1)$ durch
459 Herausschneiden einer Leitung reduziert. In
460 Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} wird das Vorgehen im Detail
461 beschrieben, Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut} zeigt das
462 Herausschneiden einer Leitung aus $\operatorname{OET}(8)$. Die Rekursion endet
463 beim \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit drei Eingängen, bei dem
464 das Minimum auf der untersten, das Maximum auf der obersten und der mittlere
465 Wert auf der mittleren Leitung landet. Folglich ist die Ausgabe bei
466 $\operatorname{OET}(3)$ sortiert.
468 Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk ist weder in Bezug auf die
469 Anzahl der Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen
470 sich die Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt ${\frac12 n
471 (n-1)} = \Theta(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind.
472 Die im Folgenden vorgestellten Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger Komparatoren,
473 ($\Theta(n \log (n)^2)$), die in weniger Schichten,
474 ($\Theta(\log (n)^2)$), angeordnet sind.
476 Das Interessante am OET-Netzwerk ist seine einfache Konstruktion. Einige der
477 folgenden Algorithmen benötigen ein möglichst einfaches Sortiernetzwerk als
478 Starteingabe, auf dessen Basis sie versuchen optimierte Sortiernetzwerke zu
479 finden. Häufig dient $\operatorname{OET}(n)$ als Eingabe für diese
482 Außerdem bedienen sich die Algorithmen der Technik des Herausschneidens einer,
483 beziehungsweise mehrerer Leitungen, um die Anzahl der Leitungen eines
484 Sortiernetzwerks zu reduzieren. Die Technik wird in Detail im
485 Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben.
487 \subsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
489 Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk ($\operatorname{BS}(n)$) ist ein
490 Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{Kenneth~E. Batcher} in~\cite{B1968}
491 veröffentlicht wurde. Es ist deutlich effizienter als das
492 Odd-Even-Transposi\-tionsort-Netzwerk -- sowohl in Bezug auf die Anzahl der
493 Komparatoren als auch der benötigten Zeit, also der Anzahl der Schichten.
495 Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
496 sortierte Listen zusammenfügen (Englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
497 \emph{„bitone Mischer“} (Englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein
498 verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
500 Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
501 Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist.
502 Es ist jedoch möglich, das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen.
504 \subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
506 Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
507 Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine
508 beliebige \emph{bitone Folge} in eine sortierte Liste umordnen kann. Eine
509 \emph{bitone Folge} ist eine monoton steigende Folge, gefolgt von einer
510 monoton absteigenden Folge, oder ein zyklischer Shift davon.
511 Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton} zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten,
512 die durch zyklische Shifts entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das
513 \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk zeigen die
514 Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0} und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie
515 erhält man, wenn man eine aufsteigend und eine absteigend sortierte Liste
516 aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen ist wichtig zu beachten, dass
517 das letzte Element nicht größer (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) beziehungsweise
518 kleiner (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge
523 \subfigure[aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-0.tex}\label{fig:beispiel-biton-0}}
524 \subfigure[absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-1.tex}\label{fig:beispiel-biton-1}}
525 \subfigure[aufsteigend, absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-2.tex}\label{fig:beispiel-biton-2}}
526 \subfigure[absteigend, aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-3.tex}\label{fig:beispiel-biton-3}}
527 \caption{Beispiele bitoner Folgen.}
528 \label{fig:beispiel-biton}
533 \subfigure[normal]{\input{images/bitonic-merge.tex}\label{fig:bitonic-merge-normal}}
535 \subfigure[trichter]{\input{images/bitonic-merge-trichter.tex}\label{fig:bitonic-merge-tricheter}}
536 \caption{Schematischer Aufbau des bitonen Mischers: Jedes Element der
537 aufsteigenden Folge $u_0, u_1, \ldots$ wird mit dem entsprechenden Element
538 der absteigend sortierten Folge $v_0, v_1, \ldots$ verglichen. Die beiden
539 resultierenden Teilfolgen sind wiederum biton.}
540 \label{fig:bitonic-merge-schema}
543 Der Mischer funktioniert folgendermaßen: Gegeben sind zwei Folgen mit je
544 ${m = \frac{n}{2}}$ Elementen, $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}\right)$ und
545 $V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die Folge $U$ sei aufsteigend
546 sortiert, die Folge $V$ sei absteigend sortiert:
548 u_0 \leqq u_1 \leqq &\ldots& \leqq u_{m-1} \\
549 v_0 \geqq v_1 \geqq &\ldots& \geqq v_{m-1}
551 Im ersten Schritt werden nun jeweils die Elemente an den gleichen relativen
552 Positionen verglichen und ggf. vertauscht:
554 u_i \longleftrightarrow v_i, \quad 0 \leqq i < m
556 Sei $j \in \{0 \ldots m\}$ der Index der ersten Elemente $u_j$ und $v_j$, die
557 durch den gemeinsamen Komparator vertauscht werden. Unter der Annahme, dass
558 Elemente nur vertauscht werden wenn, sie ungleich sind, muss ${u_j > v_j}$
559 gelten. Mit $u_j \leqq u_{j+1}$ und $v_j \geqq v_{j+1}$ folgt daraus $u_{j+1}
560 > v_{j+1}$. Es werden also alle Elemente $u_k$ und $v_k$ mit $k \geqq j$
561 vertauscht. $j = m$ bezeichnet den Fall, in dem das größte Element der
562 "`linken"' Folge $u_{m-1}$ kleiner ist als das kleinste Element der
563 "`rechten"' Folge $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass sich das Resultat in zwei
564 bitone Folgen aufteilen lässt: Eine aufsteigende~/ absteigende Folge und eine
565 absteigende~/ aufsteigende Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}
566 zeigt die Situationen vor und nach diesem Schritt des Mischers schematisch.
568 Um die Folge vollständig zu sortieren, müssen anschließend die beiden
569 resultierenden bitonen Folgen sortiert werden. Die geschieht ebenfalls
570 mithilfe des bitonen Mischers, mit zwei Instanzen von
571 $\operatorname{BM}(\frac{n}{2})$. Diese rekursive Definition endet mit dem
572 bitonen Mischer mit zwei Leitungen, $\operatorname{BM}(2)$, der als
573 Komparator-Netzwerk mit einem Komparator zwischen den beiden Leitungen
576 Der bitone Mischer kann auch zwei aufsteigende Folgen sortieren. Dazu ist
577 lediglich eine etwas modifizierte Vergleichs-Kaskade im ersten Schritt
578 notwendig. Die folgenden, kleineren Mischer erhalten als Eingabe wieder eine
579 „echte“ bitone Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das
580 Schema des bitonen Mischers für zwei aufsteigend sortierte Folgen. Durch das
581 Umdrehen einer Folge verändert sich das Muster der Komparatoren ein wenig:
582 Statt an eine Treppe erinnert das Muster nun an einen Trichter.
584 Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet
585 die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden
586 $\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus
587 $\frac{1}{2} n \log(n) = \Theta\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
588 besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können.
590 \subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
592 Ebenso wie der bitone Mischer $\operatorname{BM}(n)$ ist auch das \emph{bitone
593 Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(n)$ rekursiv definiert. Es setzt sich
594 zusammen aus zwei Instanzen des bitonen Mergesort-Netzwerks halber Größe
595 $\bs{\frac{n}{2}}$ für je die Hälfte der Eingänge, sowie dem bitonen Mischer
596 für $n$~Leitungen $\operatorname{BM}(n)$. Das Rekursionsende ist das bitone
597 Mergesort-Netzwerk mit nur einer Leitung $\operatorname{BS}(1)$, welches als
598 leeres Komparatornetzwerk definiert ist. Entsprechend sind die
599 Komparatornetzwerke $\operatorname{BM}(2)$ und $\operatorname{BS}(2)$
602 Bei der Konstruktion kommt die trichterförmige Anordnung der Komparatoren
603 (Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter}) gelegen, weil so die beiden
604 rekursiven Sortiernetzwerke in die gleiche Richtung sortieren können und so
605 alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen.
609 \input{images/batcher-8.tex}
611 \caption{\bs{8}, Batchers \emph{bitones Mergesort}-Netzwerk für 8~Eingänge.
612 Markiert sind die beiden Instanzen von \bs{4} (rot), die beiden bitonen
613 Mischer~\bm{4} (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven
614 Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
615 \label{fig:bitonic-08}
618 Das Sortiernetzwerk~$\operatorname{BS}(8)$ ist in
619 Abbildung~\ref{fig:bitonic-08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
620 beiden Instanzen des Netzwerks~$\operatorname{BS}(4)$ (rot) sowie der bitone
621 Mischer~$\operatorname{BM}(8)$ (blau). Die trichterförmige Komparator-Kaskade,
622 die die bitone Eingabefolge in zwei bitone Ausgabefolgen transformiert, ist
625 Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit einer Leitungszahl $n = 2^d$, die
626 eine Zweierpotenz ist, besteht aus $\frac{1}{4} n \log(n) \log(n+1) =
627 \Theta\left(n (log (n))^2\right)$ Komparatoren, die in $\frac{1}{2}
628 \log(n) \log(n+1) = \Theta(\log(n)^2)$ Schichten angeordnet sind.
630 \subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
632 Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
633 (OES) und das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk (siehe
634 Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Vielmehr ist
635 OES dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk, das im vorherigen Abschnitt
636 vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
637 \textit{Kenneth~E. Batcher} gefunden worden und ist ebenfalls in~\cite{B1968}
638 beschrieben und initial analysiert worden. Eine weitere Gemeinsamkeit besteht
639 darin, dass es ebenfalls rekursiv durch einen Mischer definiert ist.
641 \subsubsection{Der \emph{Odd-Even}-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}
643 Der \emph{Odd-Even}-Mischer $\operatorname{OEM}(n,m)$ ist ein
644 Komparatornetzwerk, das zwei sortierte Folgen mit $n$ beziehungsweise $m$
645 Elementen zu einer sortierten Ausgabefolge mit $N = n+m$~Elementen
646 zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
647 \emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}
648 vorgestellt wurde. Im allgemeinen Fall, wenn die Anzahl der Leitungen keine
649 Zweierpotenz ist, kann das \emph{bitonic-Merge}-Netzwerk schneller sein
650 als das \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk.~\cite{KNUTH}
652 Der \emph{Odd-Even}-Mischer selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
653 Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
654 sortierten Folgen $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}\right)$ und
655 $V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die gesamte Eingabe sei
656 $W = \left(w_0, w_1, \ldots, w_{N-1}\right)$ mit:
658 w_i = \left\{ \begin{array}{ll}
667 \input{images/oe-merge.tex}
669 \caption{Schematischer Aufbau des \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks. Die
670 beiden Dreiecke symbolisieren die beiden sortierten Folgen $U$ und $V$,
671 die Blöcke darunter die rekursiven Mischer mit etwa der Hälfte der
672 Leitungen. Im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} für 8~Leitungen kommt
673 dieses Schema mit einem Komparator weniger aus. Der Effekt wird durch den
674 rekursiven Aufbau verstärkt.}
678 Diese werden in insgesamt vier sortierte Folgen aufgeteilt, je eine Liste der
679 geraden Indizes und je eine Liste der ungeraden Indizes.
681 U_{\textrm{gerade}} &=& \left(u_0, u_2, u_4, \ldots\right) \\
682 U_{\textrm{ungerade}} &=& \left(u_1, u_3, u_5, \ldots\right) \\
683 V_{\textrm{gerade}} &=& \left(v_0, v_2, u_4, \ldots\right) \\
684 V_{\textrm{ungerade}} &=& \left(v_1, v_3, u_5, \ldots\right)
687 Die geraden Folgen $U_{\textrm{gerade}}$ und $V_{\textrm{gerade}}$,
688 beziehungsweise die ungeraden Folgen $U_{\textrm{ungerade}}$ und
689 $V_{\textrm{ungerade}}$ werden rekursiv von kleineren \emph{Odd-Even}-Mischern
690 zusammengefügt, so dass sich am Ausgang der Mischer die Folgen
692 W_{\textrm{gerade}} &=& \left(w_0, w_2, w_4, \ldots\right) \\
693 W_{\textrm{ungerade}} &=& \left(w_1, w_3, w_5, \ldots\right)
697 Anschließend werden die Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen
700 w_{2i-1} \longleftrightarrow w_{2i}, \quad 1 \leqq i < \frac{N}{2}
702 die die Folge~$W$ sortieren. Den schematischen Aufbau des
703 \emph{Odd-Even}-Mischers zeigt Abbildung~\ref{fig:oe-merge}.
705 Leider bricht die Rekursion nicht so schön ab, wie das beim {\em bitonen
706 Mischer} der Fall gewesen ist. Insbesondere für ${n = m = 1}$ würde --
707 entsprechend der Konstruktionsvorschrift -- ein leeres Netzwerk entstehen, was
708 offensichtlich nicht korrekt wäre. Die Abbruchbedingungen für den rekursiven
711 \item Falls ${n = 0}$ oder ${m = 0}$: Das Netzwerk ist leer.
712 \item Falls ${n = 1}$ und ${m = 1}$: Das Netzwerk besteht aus einem
713 einzelnen Komparator.
716 Mit dem {\em 0-1-Prinzip} lässt sich zeigen, dass die resultierende Folge
717 sortiert ist. Da $U$ und $V$ sortiert sind, ist die Anzahl der Nullen in den
718 geraden Teilfolgen $U_{\textrm{gerade}}$, beziehungsweise
719 $V_{\textrm{gerade}}$ größer oder gleich der Anzahl der Nullen in den
720 ungeraden Teilfolgen $U_{\textrm{ungerade}}$ beziehungsweise
721 $V_{\textrm{ungerade}}$ --~die Einsen verhalten sich entsprechend umgekehrt.
722 Das trifft demnach auch auf die Folgen $W_{\textrm{gerade}}$ und
723 $W_{\textrm{ungerade}}$ entsprechend zu:
725 \left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0
726 &=& \left|U_{\textrm{gerade}}\right|_0
727 + \left|V_{\textrm{gerade}}\right|_0
728 = \left\lceil \frac{1}{2} \left|U\right|_0 \right\rceil
729 + \left\lceil \frac{1}{2} \left|V\right|_0 \right\rceil \\
730 \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0
731 &=& \left|U_{\textrm{ungerade}}\right|_0
732 + \left|V_{\textrm{ungerade}}\right|_0
733 = \left\lfloor \frac{1}{2} \left|U\right|_0 \right\rfloor
734 + \left\lfloor \frac{1}{2} \left|V\right|_0 \right\rfloor
736 Daraus folgt, dass $W_{\textrm{gerade}}$ $0$, $1$ oder $2$ Nullen mehr enthält
737 als $W_{\textrm{ungerade}}$. In den ersten beiden Fällen ist die "`verzahnte"'
738 Ausgabe der beiden kleineren Mischer bereits sortiert. Nur im letzten Fall,
739 wenn $W_{\textrm{gerade}}$ zwei Nullen mehr enthält als
740 $W_{\textrm{ungerade}}$, muss genau eine Vertauschung stattfinden, um die
741 Ausgabe zu sortieren. Diese wird von den Komparatoren ausgeführt, die
742 benachbarte Leitungen miteinander vergleichen. Die jeweiligen Situationen sind
743 in Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
747 \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 0$]{\input{images/oe-post-recursive-diff0.tex}}
749 \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 1$]{\input{images/oe-post-recursive-diff1.tex}}
751 \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 2$]{\input{images/oe-post-recursive-diff2.tex}}
752 \caption{Die drei Situationen, die nach dem Verzahnen der Ausgaben der
753 kleineren \emph{Odd-Even}-Mischer entstehen können. Ist die Differenz der
754 Anzahl der Nullen gleich $0$ oder $1$, ist die Folge bereits sortiert. Im
755 letzten Fall stellt einer der Komparatoren sicher, dass das Ergebnis
757 \label{fig:oe-post-recursive}
760 Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden,
761 bricht die Rekursion nach $\Theta\left(\log (n) + \log (m)\right)$
762 Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit
763 Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der längeren der beiden
764 Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$.
766 Die Anzahl der Komparatoren $K(n,m)$, die $\operatorname{OEM}(n,m)$ im
767 allgemeinen Fall verwendet, hängt gemäß der rekursiven Definition von der
768 Länge der Eingabefolgen, $n$ und $m$ ab:
770 K(n,m) = \left\{ \begin{array}{ll}
771 nm, & \mathrm{falls} \quad nm \leqq 1 \\
772 K\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil, \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil\right)
773 + K\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor\right)
774 + \left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor & \mathrm{falls} \quad nm > 1
777 Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form
778 anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
779 dass $K(n,m)$ in $\Theta(N \log (N))$ enthalten ist.
781 Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{d-1}$ beträgt, lässt sich die
782 Anzahl der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der
783 erste Rekursionsschritt der OEM-Konstruktion fügt
784 $\left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor = \frac{N}{2} - 1$
785 Komparatoren ein -- einen Komparator weniger als der \emph{bitone Mischer} in
786 diesem Schritt. Das selbe gilt für die rekursiv verwendeten kleineren Mischer
787 $\operatorname{OEM}(\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$ und so weiter bis
788 einschließlich $\operatorname{OEM}(2, 2)$, von denen es $2, 4, \dots,
789 \frac{N}{4} = 2^{\log(N)-2}$ Instanzen gibt. Insgesamt werden
791 \sum_{i=0}^{\log(N)-2} 2^i = 2^{\log(N) - 1} - 1 = \frac{N}{2} - 1 = n - 1
793 Komparatoren eingespart. Damit ergibt sich
795 K\left(n = 2^{d-1}, n = 2^{d-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1
797 für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^d)$
800 \subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
802 Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(n)$ besteht, wie
803 das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk, rekursiv aus kleineren Varianten von
804 sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even}-Mischer. Die
805 effizientesten Sortiernetzwerke in Bezug auf Komparator- und Schichtzahl
806 entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
807 \oes{n} aus $\oes{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}$,
808 $\oes{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$ und
809 $\oem{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil, \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$.
810 Die Rekursion endet mit $\operatorname{OES}(1)$ und $\operatorname{OES}(0)$,
811 die als leere Komparatornetzwerke definiert sind.
815 \input{images/oe-mergesort-8.tex}
817 \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für 8~Eingänge. Markiert
818 sind die Instanzen von $\operatorname{OES}(4)$ (rot), die beiden
819 \emph{Odd-Even}-Mischer $\operatorname{OEM}(4)$ für gerade und ungerade
820 Leitungen (blau) und die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügten
821 Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen (grün).}
822 \label{fig:odd-even-mergesort-08}
825 In Abbildung~\ref{fig:odd-even-mergesort-08} ist das \oes{8}-Sortiernetzwerk
826 zu sehen. Rot markiert sind die beiden rekursiven Instanzen
827 $\operatorname{OES}(4)$. Die anderen Blöcke stellen den
828 \emph{Odd-Even}-Mischer für 8~Leitungen dar: die beiden blauen Blöcke sind
829 die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
830 die Komparatoren, die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
832 Im Allgemeinen ist die Anzahl der Komparatoren, die vom
833 \emph{Odd-Even-Mergesort-Netz\-werk} verwendet wird, $k(n)$, direkt aus der
834 Definition, beziehungsweise der Konstruktionsanleitung abzulesen:
836 k(n) = k\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)
837 + k\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
838 + K\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil, \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
840 Da es schwierig ist für $K(n,m)$ eine geschlossene Form anzugeben, ist eine
841 geschlossene Darstellung von $k(n)$ ebenfalls nicht ohne weiteres möglich. Es
842 ist allerdings bekannt, dass $k(n)$ in $\Theta\left(n \left(\log
843 (n)\right)^2\right)$ enthalten ist.
845 Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, kann die
846 Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{Kenneth
847 Batcher} zeigt in~\cite{B1968}, dass in diesem Fall
849 k(n = 2^d) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1
853 %\subsection{Das Pairwise-Sorting-Netzwerk}
855 %Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} ist eine Konstruktionsvorschrift
856 %für Sortiernetzwerke, die 1992 von \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
857 %Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert wurde. Wenn die Anzahl der
858 %Leitungen $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, hat das
859 %\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk die selbe Effizienz und Geschwindigkeit wie
860 %das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk.
863 \section{Transformation von Sortiernetzwerken}
864 \label{sect:tranformation}
866 \subsection{Komprimieren}
868 Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
869 gleichzeitig ausgewertet werden, wie bereits in
870 Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} beschrieben. Durch manche
871 Transformationen, insbesondere das Entfernen einer Leitung wie in
872 Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben, kann es vorkommen, dass
873 die Komparatoren eines Sortiernetzwerks nicht mehr in der kleinstmöglichen
874 Anzahl von \emph{Schichten} angeordnet sind. Unter \emph{Komprimierung} wird
875 eine (Neu-)Gruppierung der Komparatoren verstanden, die jeden Komparator so
876 früh wie möglich ausführt. So entsteht die kleinstmögliche Anzahl von
877 \emph{Schichten}, in die sich ein Sortiernetzwerk unterteilen lässt.
879 Diese Anzahl ist insbesondere beim automatisierten Bewerten von
880 Komparatornetzwerken interessant, wie in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution:bewertung}
881 beschrieben. Die Anzahl der Schichten kann künstlich vergrößert werden, indem
882 Komparatoren später angewendet werden. Deshalb sollte vor einer Bewertung, die
883 die Anzahl der Schichten als Bewertungskriterium verwendet, immer eine
884 Komprimierung durchgeführt werden.
886 \subsection{Normalisieren}
887 \label{sect:normalisieren}
891 \subfigure[$S(8)$ (nach Konstruktion)]{\input{images/batcher-8-nonstd.tex}\label{fig:bitonic-nonstd}}
892 \subfigure[$S(8)$ (normalisiert)]{\input{images/batcher-8-std.tex}\label{fig:bitonic-std}}
893 \caption{Jedes Sortiernetzwerk kann in ein Standard-Sortiernetzwerk
894 transformiert werden. Gezeigt ist das bitone Sortiernetzwerk nach der
895 intuitiven Konstruktion und die normalisierte Variante.}
896 \label{fig:beispiel_normalisieren}
899 Ein \emph{Standard-Sortiernetzwerk} oder \emph{normalisiertes Sortiernetzwerk}
900 ist ein Sortiernetzwerk, dessen Komparatoren alle in die selbe Richtung
901 zeigen.\footnote{Die Konvention in dieser Arbeit ist, dass in diesem Fall alle
902 Pfeile nach unten zeigen. Das Minimum wird auf der untersten, das Maximum auf
903 der obersten Leitung ausgegeben.} Jedes Sortiernetzwerk kann in eine
904 normaliesierte Variante transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise
905 \emph{Donald~E. Knuth} in~\cite{KNUTH} einen Algorithmus an.
907 Abbildung~\ref{fig:beispiel_normalisieren} stellt das \emph{bitone
908 Mergesort}-Netzwerk in zwei Varianten dar. Abbildung~\ref{fig:bitonic-nonstd}
909 zeigt das Netzwerk nach der Konstruktionsvorschrift, siehe auch
910 Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}: In den ersten drei Schichten werden
911 die untere und die obere Hälfte gegenläufig sortiert. Das heißt, dass nach
912 drei Schritten die eine Hälfte auf- und die andere Hälfte absteigend sortiert
913 ist. In den Schichten~4 bis~6 folgt der bitone Mischer entsprechend der
914 rekursiven Definition.
916 In Abbildung~\ref{fig:bitonic-std} ist die normalisierte Version des bitonen
917 Mergesort-Netzwerks zu sehen. Alle Komparatoren zeigen hier in die selbe
918 Richtung. Statt dem typischen „Treppenmuster“ sind abwechselnd das Treppen-
919 und das Trichtermuster zu sehen.
921 \subsection{Zwei Netzwerke kombinieren}
923 Um Sortiernetzwerke als \emph{Individuen} evolutionärer Algorithmen verwenden
924 zu können, muss es möglich sein, zwei Sortiernetzwerke zu einem neuen
925 Sortiernetzwerk zusammenzufassen.
927 Diese Technik wurde in den vorangegangen Abschnitten bereits verwendet,
928 beispielsweise um zwei \emph{bitone Mergesort}-Netzwerke mit jeweils der
929 halben Leitungszahl, $\operatorname{BS}\left(\frac{n}{2}\right)$, zu einem
930 einzigen Sortiernetzwerk $\operatorname{BS}(n)$ zu kombinieren. Auch das
931 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(n)$ wurde auf diese Art
932 und Weise rekursiv aufgebaut.
934 Die vorgestellten \emph{Mischer} erwarten als Eingabe zwei bereits sortierte
935 Folgen. \emph{Wie} diese Folgen sortiert wurden ist unerheblich. Entsprechend
936 können wir beliebige Sortiernetzwerke einsetzen, um die beiden Eingabefolgen
937 zu sortieren und die Ausgaben mit einem der beschriebenen Mischer
940 Beispielsweise kann die Ausgabe von zwei \emph{bitonen Mergesort-Netzwerken}
941 $\operatorname{BS}(8)$ mit je 8~Leitungen mit dem
942 \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM(8,8)}$ zu einer sortierten
943 Gesamtfolge zusammengefügt werden. Das resultierende Sortiernetzwerk besitzt
944 73~Komparatoren (zum Vergleich: $\operatorname{BS}(16)$ benötigt
945 80~Komparatoren, $\operatorname{OES}(16)$ nur 63).
947 Verbesserungen der Effizienz (die Anzahl der benötigten Komparatoren),
948 beziehungsweise der Geschwindigkeit (die Anzahl der Schichten) eines „kleinen“
949 Sortiernetzwerks, übertragen sich direkt auf das resultierende Gesamtnetzwerk.
950 Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(9)$ benötigt
951 beispielsweise 26~Komparatoren, die in 9~Schichten angeordnet sind. Es sind
952 allerdings Sortiernetzwerke mit 9~Eingängen bekannt, die lediglich
953 25~Komparatoren in 7~Schichten benötigen. Wenn zwei dieser Netzwerke mit dem
954 \emph{Odd-Even}-Mischer kombiniert werden, entsteht ein 18-Sortiernetzwerk,
955 das aus 80~Komparatoren in 11~Schichten besteht. Damit ist das resultierende
956 Netzwerk genauso schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das
957 \textit{Sherenaz~W. Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer
958 Arbeit „An 11-Step Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen,
959 benötigt aber 6~Komparatoren weniger. $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
960 82~Komparatoren in 13~Schichten.
962 Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
963 ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
964 sortiert ist, ist das zweite Sortiernetzwerk überflüssig. Eine
965 Aneinanderreihung der Art „die ersten $x$~Schichten des einen, dann die
966 letzten $y$~Schichten des anderen Sortiernetzwerks“ zerstören im Allgemeinen
967 die Sortiereigenschaft. Die Sortiereigenschaft des resultierenden
968 Komparatornetzwerks müsste überprüft werden, was nach heutigem Wissensstand
969 nur mit exponentiellem Aufwand möglich ist.
971 \subsection{Leitungen entfernen}
972 \label{sect:leitungen_entfernen}
974 Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass es mithilfe von \emph{Mischern}
975 möglich ist, aus zwei Sortiernetzwerken mit je $n$~Eingängen
976 ein neues Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen zu erzeugen. Für einen
977 beabsichtigen \emph{evolutionären Algorithmus} ist es jedoch notwendig, dass
978 sich die Anzahl der Eingänge nicht verändert. Es soll wieder ein
979 Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen entstehen.
981 Man kann ein gegebenes Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen auf ein
982 Sortiernetzwerk mit ${n-1}$~Leitungen verkleinern, indem man eine Leitung
983 „eliminiert“. Dazu wird angenommen, dass das Minimum oder das Maximum an einem
984 bestimmten Eingang anliegt. Der Weg, den das Minimum beziehungsweise das
985 Maximum durch das Sortiernetzwerk nimmt, ist eindeutig bestimmt und endet an
986 einem der „Ränder“, also auf der Leitung mit dem höchsten oder dem niedrigsten
987 Index. Insbesondere ist bekannt, welche Komparatoren „berührt“ werden und
988 welche dafür sorgen, dass der Wert die Leitung wechselt, da das Minimum jeden
989 Vergleich „verliert“ und das Maximum jeden Vergleich „gewinnt“. Die
990 Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} zeigt den Weg eines Maximums durch
991 das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk.
993 Im ersten Schritt wird eine Leitung ausgewählt und Maximum oder Minimum auf
994 dieser Leitung angenommen. Dadurch ist der Weg durch das Sortiernetzwerk
995 eindeutig festgelegt.
999 \subfigure[Auf der Leitung~4 wird $-\infty$ angelegt. Dadurch ist der Pfad
1000 durch das Sortiernetzwerk eindeutig festgelegt.]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}}
1001 \subfigure[Komparatoren, die einen Wechsel der Leitungen bewirken, werden
1002 durch sich kreuzende Leitungen ersetzt.]{\input{images/oe-transposition-cut1.tex}\label{fig:oe-transposition-cut1}}
1003 \subfigure[Leitung~4 wurde entfernt. Übrig bleibt ein Sortiernetzwerk mit
1004 7~Leitungen.]{\input{images/oe-transposition-cut2.tex}\label{fig:oe-transposition-cut2}}
1005 \subfigure[Die Leitungen wurden wieder gerade eingezeichnet und die
1006 Komparatoren regelmäßig angeordnet. Blau eingezeichnet ist \oet{7}.]{\input{images/oe-transposition-cut3.tex}\label{fig:oe-transposition-cut3}}
1007 \caption{Eine Leitung wird aus dem
1008 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{8} entfernt: Auf der rot
1009 markierten Leitung wird $-\infty$ angelegt. Da der Wert bei jedem Komparator
1010 nach unten weiter gegeben wird, ist der Pfad fest vorgegeben. Da die
1011 restlichen Werte trotzdem noch richtig sortiert werden müssen, kann dieser
1012 Pfad heraus getrennt werden. In der letzten Abbildung ist \oet{7} markiert.}
1013 \label{fig:oe-transposition-cut}
1016 Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht,
1017 beziehungsweise ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der
1018 Leitung geführt haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in
1019 Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} grün markiert. Die Komparatoren, die
1020 zum Wechsel der Leitung geführt haben, werden durch sich kreuzende Leitungen
1021 ersetzt. Das Resultat ist eine Leitung, auf der das Minimum beziehungsweise
1022 das Maximum angenommen wird, die an unterster oder oberster Stelle endet und
1023 die keine Komparatoren mehr berührt
1024 (Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut1}).
1026 Die Werte auf den verbleibenden $(n-1)$~Leitungen müssen vom restlichen
1027 Komparatornetzwerk immer noch sortiert werden: Es wurde lediglich die
1028 \emph{Position} des Minimums oder des Maximums in der Eingabe angenommen. Ein
1029 Sortiernetzwerk muss die Eingabe sortieren, unabhängig davon auf welcher
1030 Leitung das Minimum oder das Maximum liegt. Das Sortiernetzwerk unter diese
1031 Annahme auszuwerten -- über die verbleibenden Eingänge wurde keine Aussage
1032 getroffen. Entsprechend müssen die verbleibenden Ausgänge eine sortierte Liste
1033 mit $(n-1)$~Elementen darstellen.
1035 Wird die Minimum- beziehungsweise Maximum-Leitung entfernt, wie in
1036 Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2} dargestellt, bleibt das
1037 Sortiernetzwerk für $(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung
1038 ein Minimum oder ein Maximum angenommen wird, wird das eliminieren einer
1039 Leitung auf diese Art und Weise als \emph{Minimum-Schnitt}, beziehungsweise
1040 \emph{Maximum-Schnitt} bezeichnet.
1042 Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das
1043 Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot
1044 markierten Komparatoren sind verschoben, so dass sich eine kompaktere
1045 Darstellung ergibt. Außerdem ist das
1046 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk für sieben Werte markiert. Der
1047 zusätzliche Komparator vor dem \oet{7} hat keinen Einfluss auf die Ausgabe und
1048 kann entfernt werden.
1050 Durch das Ersetzen von Komparatoren durch gekreuzte Leitungen werden häufig
1051 \emph{Nicht-Standard-Sortiernetzwerke} erzeugt. Im Anschluss an einen
1052 \emph{Schnitt} empfiehlt es sich deshalb, das Sortiernetzwerk zu
1053 \emph{normalisieren}, wie in Abschnitt~\ref{sect:normalisieren} beschrieben.
1055 \subsubsection{Anzahl möglicher und unterschiedlicher Schnittmuster}
1056 \label{sect:anzahl_schnittmuster}
1058 Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewendet werden, um aus einem
1059 Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
1060 $n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können auf diese Art und
1061 Weise Sortiernetzwerke mit $2n$~Eingängen auf Sortiernetzwerke mit
1062 $n$~Eingängen reduziert werden. Als \emph{$k$-Schnittmuster} bezeichnet man
1063 die $k$~Minimum- und Maximum-Schnitte, die nacheinander angewendet ein
1064 $n$-Sortiernetzwerk auf ein ${(n-k)}$-Sortiernetz\-werk reduzieren.
1066 Zwei Schnittmuster heißen \emph{äquivalent} bezüglich~$S$, wenn ihre Anwendung
1067 auf das Sortiernetzwerk~$S$ das selbe Ergebnis liefert. Ansonsten heißen die
1068 Schnittmuster \emph{unterschiedlich} bezüglich~$S$.
1070 Bei einem Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen gibt es $2n$~Möglichkeiten eine
1071 Leitung zu entfernen: Auf jeder der $n$~Leitungen kann sowohl das Minimum als
1072 auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um
1073 ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein ${(n-k)}$-Sortiernetzwerk zu reduzieren,
1074 ergeben sich insgesamt
1076 \prod_{i=n}^{1+n-k} 2i = 2^k \cdot \frac{n!}{(n-k)!}
1079 \emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
1080 unterschiedlich. Wird beispielsweise das Minimum auf der untersten Leitung
1081 und das Maximum auf der obersten Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks
1082 angenommen, führen beide möglichen Schnitt-Reihenfolgen zum selben Ergebnis.
1084 \textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit~\cite{M2009}, dass es
1085 möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise Maximum
1086 vorzubelegen, ohne die Menge der erreichbaren Sortiernetzwerke einzuschränken.
1087 Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster reduziert, die Menge der
1088 so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber unverändert. Die Anzahl der
1089 möglichen Schnittmuster setzt sich zusammen aus der Anzahl von Möglichkeiten,
1090 $k$~Leitungen aus $n$~Leitungen auszuwählen, und die möglichen Minimum-~/
1091 Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende Formel für die Anzahl der möglichen
1093 \begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster}
1094 2^k \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)
1095 = 2^{k} \cdot \frac{n!}{k! (n-k)!}
1096 = 2^{k} \cdot \frac{n!}{(n-k)!} \cdot \frac{1}{k!}
1097 \quad (1 \leqq k < n)
1100 Die Anzahl der möglichen Schnittmuster wird mit der Anzahl der zu entfernenden
1101 Leitungen sehr schnell sehr groß. Um ein Sortiernetzwerk mit 32~Eingängen auf
1102 ein Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen zu reduzieren, ist ein Schnittmuster mit
1103 16~Schnitten notwendig, für das es bereits etwa ${3,939 \cdot 10^{13}}$
1104 Möglichkeiten gibt. Ein Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für große
1105 Netzwerke nicht oder nur unter erheblichem Ressourcenaufwand möglich.
1107 Die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster ist allerdings kleiner
1108 als die Anzahl der \emph{möglichen} Schnittmuster. Für jeden Komparator auf
1109 der ersten Stufe gibt es neun verschiedene Eingangskonfigurationen: Für beide
1110 Eingänge gibt es drei mögliche Eingangswerte, Minimum, Maximum und
1111 unspezifiziert. Es gibt drei Konfigurationen, bei denen an beiden Eingängen
1112 der gleiche Wert angelegt wird, und sechs Konfigurationen, bei denen sich die
1113 Werte unterscheiden.
1115 Bei diesen letzten sechs Konfigurationen werden je zwei auf das selbe
1116 Ausgangsmuster abgebildet, weil die Position des Minimums beziehungsweise des
1117 Maximums durch den Komparator vorgegeben wird. Das heißt, dass die neun
1118 unterschiedlichen Eingangsmuster nur sechs unterschiedliche Ausgangsmuster
1119 erzeugen. In der zweiten und allen folgenden Schichten kann man diesen
1120 Unterschied nicht mehr erkennen. In allen sechs Fällen, in denen sich die
1121 Eingänge unterscheiden, wird anschließend der Komparator entfernt, so dass
1122 sich die Resultate auch in der ersten Schicht nicht unterscheiden.
1126 \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/count-cuts-16.pdf}
1128 \caption{Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerke, die durch
1129 8-Schnittmuster aus $\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und
1130 $\operatorname{PS}(16)$ hervorgegangen sind. Die Anzahl der
1131 unterschiedlichen Netzwerke nach $10^6$~Iterationen ist 3519 für das
1132 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, 4973 für das \emph{bitone
1133 Mergesort}-Netzwerk und 18764 für das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk.}
1134 \label{fig:count-cuts-16}
1137 Alleine durch Betrachten der ersten Schicht von Komparatoren konnte die Anzahl
1138 der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster auf höchstens $\frac{2}{3}$ der
1139 \emph{möglichen} Schnittmuster reduziert werden. Um die Anzahl der
1140 \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster experimentell zu ermitteln, wurden je
1141 eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke \oes{16},
1142 \bs{16} und \ps{16} angewandt. Anschließend wurde mithilfe einer Hashtabelle
1143 überprüft, ob das resultierende Sortiernetzwerk schon von einem
1144 \emph{äquivalenten} Schnittmuster erzeugt wurde. Falls das Sortiernetzwerk
1145 noch nicht in der Hashtabelle enthalten war, wurde der Zähler für
1146 unterschiedliche Schnittmuster erhöht und das Sortiernetzwerk eingefügt.
1148 Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} trägt die Anzahl der
1149 \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster gegen die Anzahl der zufälligen
1150 Schnittmuster auf. Klar zu sehen ist, dass sich die Anzahl der erzeugten
1151 Sortiernetzwerke nach $500.000$~Iterationen nur noch gering verändert und der
1152 Wert nach $1.000.000$~Iterationen allem Anschein nach dem Endwert schon sehr
1155 Die Anzahl der möglichen 8-Schnittmuster ist entsprechend der
1156 Formel~\eqref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen
1157 Schnittmuster führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen}
1158 Sortiernetzwerken: 3519 ($\approx 0,1\%$) im Fall des
1159 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks, 4973 ($\approx 0,15\%$) beim
1160 \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk und 18764 ($\approx 0,57\%$) beim
1161 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk. Zwar ist es möglich, dass mehr Iterationen
1162 die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster noch wachsen lässt. Die Graphen
1163 in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der Annahme, dass
1164 die Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster
1165 vernachlässigbar klein ist.
1167 Bedingt durch die sehr große Anzahl möglicher Schnittmuster ist dieses
1168 Experiment für größere Sortiernetzwerke nicht sinnvoll durchführbar. Die
1169 Hashtabelle würde mehr Arbeitsspeicher benötigen als in derzeitigen Rechnern
1170 vorhanden ist, bevor ein entsprechender Graph den linearen Bereich für
1171 „kleine“ x-Werte verlässt.
1173 Um die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu
1174 können, kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten
1175 \emph{Monte-Carlo-Methode}, die \textit{Rolf Wanka} in~\cite{W2006} für
1176 schwierige Zählprobleme vorstellt. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von
1177 $k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster
1178 zufällig erzeugt und überprüft, ob sie in der Menge~$S$ enthalten sind. Unter
1179 der Annahme, dass auf diese Art und Weise Sortiernetzwerke zufällig und
1180 gleichverteilt erzeugt werden, entspricht das Verhältnis der zufälligen
1181 Schnittmuster, die in $S$ enthalten sind, und $n$ gleich dem Verhältnis von
1182 $k$ und der Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster insgesamt. Damit kann
1183 die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster abgeschätzt werden.
1187 \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-10000-1000000-32.pdf}
1189 \caption{Abschätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der
1190 \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{OES}(32)$ und
1191 $\operatorname{BS}(32)$.}
1192 \label{fig:collisions-10000-1000000-32}
1195 In Abbildung~\ref{fig:collisions-10000-1000000-32} ist das Ergebnis des
1196 Monte-Carlo-Algorithmus für 16-Schnittmuster zu sehen, die auf
1197 $\operatorname{OES}(32)$ und $\operatorname{BS}(32)$ angewandt wurden: Von
1198 jedem Sortiernetzwerk wurden zunächst eine Menge~$S$ von 10.000
1199 \emph{unterschiedlichen} Schnittmustern erzeugt. Anschließend wurden 1.000.000
1200 zufällige Schnittmuster erzeugt und der Anteil der zufälligen Schnittmuster,
1201 die \emph{äquivalent} zu einem in~$S$ enthalten Schnittmuster sind, berechnet.
1202 Für $\operatorname{OES}(32)$ war dieser Anteil etwa $0,19 \%$, für
1203 $\operatorname{BS}(32)$ etwa $0,29 \%$. Das ergibt eine Abschätzung von $5,2
1204 \cdot 10^6$ unterschiedlichen 16-Schnittmustern für $\operatorname{OES}(32)$
1205 und $3,4 \cdot 10^6$ für $\operatorname{BS}(32)$.
1209 \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-100000-1000000-32-ps.pdf}
1211 \caption{Abschätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der
1212 \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{PS}(32)$. 385 von 1.000.000
1213 zufälligen Schnittmustern waren äquivalent zu einem Schnittmuster in einer
1214 Menge von 100.000. Daraus ergibt sich eine Schätzung von $2,6 \cdot 10^8$
1215 unterschiedlichen Schnittmustern.}
1216 \label{fig:collisions-100000-1000000-32-ps}
1219 Im vorherigen Abschnitt wurde das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
1220 $\operatorname{PS}(32)$ nicht betrachtet, da es für dieses Netzwerk viel mehr
1221 unterschiedliche 16-Schnittmuster gibt als für $\operatorname{OES}(32)$ und
1222 $\operatorname{BS}(32)$. In Anbetracht der Tatsache, dass die Anzahl der
1223 unterschiedlichen 8-Schnittmuster für $\operatorname{PS}(16)$ in
1224 Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} bereits mehr als dreimal größer war als die
1225 Anzahl für $\operatorname{OES}(16)$ beziehungsweise $\operatorname{BS}(16)$,
1226 ist dieser Umstand wenig verwunderlich. Entsprechend hätte man in einem
1227 kombinierten Graphen keine Details mehr erkennen können. Aufgrund der hohen
1228 Anzahl unterschiedlicher Schnittmuster, wurde für das gleiche Experiment mit
1229 $\operatorname{PS}(32)$ eine initiale Menge von 100.000 unterschiedlichen
1230 Schnittmustern erzeugt. Trotzdem wurden nach 1.000.000 Iterationen nur 385
1231 Schnittmuster gefunden, die zu einem Schnittmuster in der Menge äquivalent
1232 waren. Daraus ergibt sich eine Abschätzung von $2,6 \cdot 10^8$
1233 unterschiedlichen Schnittmustern -- zwei Zehnerpotenzen mehr als bei den
1234 vorherigen Sortiernetzwerken, aber immer noch fünf Zehnerpotenzen kleiner als
1235 die Anzahl der \emph{möglichen} Schnittmuster.
1238 \section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus}
1239 \label{sect:sn-evolution}
1241 Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus ist ein \emph{evolutionärer
1242 Algorithmus}, der die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Mischer
1243 (Abschnitt~\ref{sect:konstruktive_netzwerke}) und Schnittmuster
1244 (Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen}) verwendet, um „möglichst gute“
1245 Sortiernetzwerke zu erzeugen. Was ein „gutes“ Sortiernetzwerk ausmacht, wird
1246 in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution:bewertung} behandelt. Informationen zur Implementierung
1247 von \textsc{SN-Evolution} befinden sich in
1248 Abschnitt~\ref{sect:implementierung}.
1250 \subsection{Bewertungsfunktion}\label{sect:sn-evolution:bewertung}
1252 Um Sortiernetzwerke überhaupt optimieren zu können, muss zunächst die
1253 {\em Güte} eines Netzwerks definiert werden. Prinzipiell gibt es zwei Ziele,
1254 die bei Sortiernetzwerken verfolgt werden können:
1256 \item Möglichst wenige Komparatoren („effizient“)
1257 \item Möglichst wenige Schichten („schnell“)
1262 \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Das
1263 Netzwerk wurde von \textit{M.~W. Green} konstruiert und 1969 in~\cite{G1972}
1264 veröffentlicht.]{\input{images/16-green.tex}\label{fig:16-green}}
1265 \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 61~Komparatoren in 9~Schichten. Das
1266 Netzwerk wurde von \textit{D. Van~Voorhis} 1974 in~\cite{V1974}
1267 veröffentlicht.]{\input{images/16-voorhis.tex}\label{fig:16-voorhis}}
1268 \caption{Das effizienteste und das schnellste Sortiernetzwerk für
1269 16~Leitungen, das derzeit bekannt ist.}
1270 \label{fig:16-best-known}
1272 Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken.
1273 Beispielsweise besteht das \emph{effizienteste} bekannte Sortiernetzwerk für
1274 16~Eingänge aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Es ist in
1275 Abbildung~\ref{fig:16-green} dargestellt. Das \emph{schnellste} bekannte
1276 16-Sortiernetzwerk besteht aus 61~Komparatoren in nur 9~Schichten und ist in
1277 Abbildung~\ref{fig:16-voorhis} zu sehen.
1279 \textsc{SN-Evolution} verwendet eine Gütefunktion, die die beiden Ziele
1280 "`effizient"' und "`schnell"' berücksichtigen kann. Sie hat die folgende
1283 \operatorname{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}}
1284 + w_{\mathrm{Komparatoren}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Komparatoren}
1285 + w_{\mathrm{Schichten}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Schichten}
1287 Die Parameter $w_{\mathrm{Komparatoren}}$ und $w_{\mathrm{Schichten}}$ dienen
1288 dabei der Festlegung des Optimierungsziels. Wenn einer der beiden Parameter
1289 gleich Null ist, wird nur das jeweils andere Ziel verfolgt. Sind beide
1290 Parameter gleich Null, werden alle Netzwerke mit der gleich Güte bewertet --
1291 jegliche Ergebnisse sind dann rein zufälliger Natur.\footnote{Dass dies nicht
1292 so schlecht ist wie man intuitiv vermuten könnte, zeigt der
1293 \textsc{SN-Markov}-Algorithmus in Abschnitt~\ref{sect:markov}.}
1295 Da möglichst effiziente und schnelle Sortiernetzwerke gefunden werden sollen,
1296 ist ein kleiner Wert von $\operatorname{Guete}(S)$ besser als ein großer Wert.
1297 Das heißt, dass das Ziel von \textsc{SN-Evolution} ist,
1298 $\operatorname{Guete}(S)$ zu \emph{minimieren}.
1300 Mit dem Parameter $w_{\mathrm{Basis}}$ kann auf die Selektion Einfluss
1301 genommen werden. Ist er groß, wird der relative Unterschied der Güten
1302 verschiedener Netzwerke kleiner, was die {\em Exploration}, das Absuchen des
1303 gesamten Lösungsraums, begünstigt. Wählt man $w_{\mathrm{Basis}}$ hingegen
1304 klein -- in Abhängigkeit von den anderen beiden Parametern sind auch negative
1305 Werte möglich -- werden die relativen Unterschiede groß. Dadurch wird die {\em
1306 Exploitation}, das Streben zu (lokalen) Optima, verstärkt. In~\cite{WW2002}
1307 geben \textit{Karsten und Nicole Weicker} einen Überblick über
1308 Selektionsmethoden und Rekombinationsmöglichkeiten.
1310 Diese Parameter haben einen großen Einfluss auf die Geschwindigkeit, mit der
1311 der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus konvergiert und ob er tatsächlich gute
1312 Lösungen findet oder sich in \emph{lokalen} Optima "`verfängt"'. Leider gibt
1313 es kein Patentrezept für die Wahl der Parameter, so dass für verschiedene
1314 Leitungszahlen und Mischer-Typen experimentiert werden muss.
1316 Als guter Standardansatz für \textsc{SN-Evolution} haben sich die folgenden
1317 Werte herausgestellt:
1319 w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
1320 w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 1 \\
1321 w_{\mathrm{Schichten}} &=& \left|S\right|_\mathrm{Leitungen}
1323 Sofern nicht anders angegeben, werden diese Werte im Folgenden zur Bewertung
1324 von Sortiernetzwerken verwendet. Die Bewertungsfunktion bevorzugt mit diesen
1325 Konstanten \emph{schnelle} Sortiernetzwerke, da das Einsparen einer Schicht
1326 ein höheres Gewicht als das Einsparen von Komparatoren hat.
1328 Wenn der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus nach \emph{effizienten}
1329 Sortiernetzwerken suchen soll, werden alternative Werte für die Konstanten der
1330 Bewertungsfunktion verwendet. Die Werte
1332 w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
1333 w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 2 \\
1334 w_{\mathrm{Schichten}} &=& 1
1336 geben dem Einsparen eines Komparators ein höheres Gewicht als dem Einsparen
1339 \subsection{Selektion}
1341 Als \emph{Selektion} wird der Vorgang bezeichnet, der zwei Individuen zufällig
1342 aus der Population auswählt. Sie werden im folgenden Schritt miteinander
1343 rekombiniert. Die Auswahl der Individuen erfolgt zufällig, aber nicht
1344 gleichverteilt. So sorgt die \emph{Selektion} dafür, dass bessere Individuen
1345 eine größere Wahrscheinlichkeit haben zur nächsten Generation beizutragen.
1346 Diese Ungleichbehandlung von Individuen verschiedener Güte ist der Grund für
1347 das Streben des Algorithmus nach besseren Lösungen.
1349 Obwohl dieser Vorteil für gute Individuen intuitiv als sehr gering erscheint,
1350 passiert es häufig, dass die Ausnutzung \emph{(Exploitation)} überhand gewinnt
1351 und der Algorithmus vorschnell in Richtung eines lokalen Optimums optimiert.
1353 Die in \textsc{SN-Evolution} implementierte Selektion eines Individuums lässt
1354 sich mit Pseudocode wie folgt beschreiben:
1359 für jedes Individuum in Population
1361 reziproke Güte := 1.0 / Guete(Individuum)
1362 Wahrscheinlichkeit P := reziproke Güte / (Gütesumme + reziproke Güte)
1363 Gütesumme := Gütesumme + reziproke Güte
1365 mit Wahrscheinlichkeit P
1367 Auswahl := Individuum
1373 Diese Auswahl wird zweimal ausgeführt, um zwei Individuen für die
1374 Rekombination zu erhalten. Das heißt, dass die Individuen bei
1375 \textsc{SN-Evolution} stochastisch unabhängig voneinander ausgewählt werden.
1377 \subsection{Rekombination}
1378 \label{sect:sn-evolution:rekombination}
1380 Bei der Rekombination werden zwei Individuen --~hier Sortiernetzwerke~-- zu
1381 einer neuen Lösung kombiniert. Geeignete Mischer, um die beiden Netzwerke zu
1382 einem Netzwerk mit $2n$~Leitungen zusammenzufügen, sind zum Beispiel der {\em
1383 bitonen Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}) und der
1384 \emph{Odd-Even}-Mischer (Abschnitt~\ref{sect:der_odd_even_mischer}),
1385 Anschließend werden $n$~Leitungen mit einem zufälligen $n$-Schnittmuster wie
1386 in Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben entfernt.
1388 Dieses Verfahren hat den großen Vorteil, dass es die Sortiereigenschaft
1389 erhält. Entsprechend muss nicht aufwendig überprüft werden, ob das
1390 Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft besitzt. Der Nachteil ist, dass
1391 nicht alle Sortiernetzwerke auf diese Art und Weise erzeugt werden können.
1393 \subsection{Mutation}
1395 Zu einem vollständigen evolutionären Algorithmus gehört außerdem die Mutation
1396 --~eine zufällige Veränderung einer Lösung. Leider ist es nicht möglich ein
1397 Sortiernetzwerk zufällig zu verändern und dabei die Sortiereigenschaft zu
1398 erhalten. Selbst das \emph{Hinzufügen} eines zufälligen Komparators kann diese
1399 Eigenschaft zerstören.
1401 Nach einer Mutation müsste man überprüfen, ob das neue Komparatornetzwerk die
1402 Sortiereigenschaft noch besitzt. Nach heutigem Wissenstand ist diese
1403 Überprüfung nur mit exponentiellem Aufwand möglich, etwa durch das
1404 Ausprobieren aller $2^n$~Bitmuster, wie in Abschnitt~\ref{sect:0-1-prinzip}
1407 Um das Potenzial einer Mutation abzuschätzen wurde in \textsc{SN-Evolution}
1408 eine Überprüfung eingebaut: Unmittelbar vor dem Einfügen in die Population
1409 überprüft eine Funktion die Notwendigkeit jedes einzelnen Komparators. Dazu
1410 wird nacheinander jeder Komparator entfernt und überprüft, ob das verbleibende
1411 Netzwerk die Sortiereigenschaft noch besitzt. Trotz des hohen Rechenaufwands
1412 -- bei 16-Sortiernetzwerken sind gut 4~Millionen Tests notwendig, um alle
1413 Komparatoren zu überprüfen -- waren die Ergebnisse ernüchternd: Nach circa
1414 1~Million Iterationen mit 16-Sortiernetzwerken fand der so modifizierte
1415 Algorithmus keinen einzigen Komparator, den er hätte entfernen können. Daher
1416 wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus auf eine Mutation verzichtet.
1418 \subsection[Bitoner Mischer]{Versuche mit dem bitonen Mischer}
1420 Wenn \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk
1421 als Eingabe gestartet wird und in der Rekombinationsphase den \emph{bitonen
1422 Mischer} verwendet, gibt der Algorithmus \emph{effiziente} und in einigen
1423 Fällen \emph{schnelle} Sortiernetzwerke aus. Die Ergebnisse des
1424 \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
1425 sind in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-bm-fast} zusammengefasst.
1427 \begin{table}\label{tbl:sn-ev-bm-fast}
1429 \rowcolors{4}{black!5}{}
1430 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
1432 Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \bm{n}} & \multicolumn{2}{|l|}{\bs{n}} \\
1434 ($n$) & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
1436 8 & \gcell 20 & 6 & 24 & 6 \\
1437 9 & \Gcell 26 & 8 & 28 & 8 \\
1438 10 & \gcell 31 & \gcell 8 & 33 & 9 \\
1439 11 & \Gcell 37 & \Gcell 9 & 39 & 10 \\
1440 12 & \gcell 42 & \gcell 9 & 46 & 10 \\
1441 13 & \Gcell 48 & 10 & 53 & 10 \\
1442 14 & \gcell 54 & 10 & 61 & 10 \\
1443 15 & \Gcell 61 & 10 & 70 & 10 \\
1444 16 & \gcell 67 & 10 & 80 & 10 \\
1445 17 & \Gcell 76 & 12 & 85 & 12 \\
1446 18 & \gcell 87 & \gcell 12 & 91 & 13 \\
1447 19 & \Gcell 93 & \Gcell 13 & 98 & 14 \\
1448 20 & \gcell 104 & \gcell 13 & 106 & 14 \\
1449 21 & \Gcell 109 & \Gcell 14 & 114 & 15 \\
1450 22 & \gcell 118 & \gcell 14 & 123 & 15 \\
1451 23 & \Gcell 129 & \Gcell 14 & 133 & 15 \\
1452 24 & \gcell 133 & 15 & 144 & 15 \\
1455 \caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
1456 unter Verwendung des \emph{bitonen Merge}-Netzwerks \bm{n}. Der Algorithmus
1457 wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n} gestartet
1458 und nach 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion nutzte die
1459 Konstanten $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$,
1460 $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
1464 Alle Sortiernetzwerke, die von \textsc{SN-Evolution} in dieser Konfiguration
1465 gefunden wurden, waren \emph{effizienter} als das \emph{bitone
1466 Mergesort}-Netzwerk \bs{n}, das ebenfalls auf dem \emph{bitonen
1467 Merge}-Netzwerk \bm{n} beruht. Zum Beispiel benötigt das in
1468 Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte 16-Sortiernetzwerk
1469 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{n}.
1473 \input{images/16-e1-bitonic-1296542566.tex}
1475 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 67~Komparatoren in
1476 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
1477 \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
1479 \label{fig:16-e1-bitonic-1296542566}
1482 Wenn die Gütefunktion so gewählt ist, dass sie schnelle Sortiernetzwerke
1483 bevorzugt, werden in einigen Fällen Netzwerke zurückgegeben, die
1484 \emph{schneller} und \emph{effizienter} als \bs{n} sind. Das
1485 19-Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:19-e1-bm-fast} besitzt beispielsweise
1486 nur 13~Schichten und benötigt damit einen parallelen Schritt weniger als
1491 \input{images/19-e1-bm-fast.tex}
1493 \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 93~Komparatoren in
1494 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
1495 unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers} erzeugt.}
1496 \label{fig:19-e1-bm-fast}
1499 \subsection[Odd-Even-Mischer]{Versuche mit dem Odd-Even-Mischer}
1501 Die folgenden Ergebnisse wurden erzielt, indem \textsc{SN-Evolution} mit dem
1502 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk als Eingabe gestartet wurde und in
1503 der Rekombinationsphase das \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk verwendete. So
1504 erzeugt der Algorithmus entweder Sortiernetzwerke, die genauso schnell und
1505 effizient wie das \oes{n}-Netzwerk, oder Sortiernetzwerke, die schneller aber
1506 weniger effizient als das \oes{n}-Netzwerk sind. Die Ergebnisse von
1507 \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer sind in
1508 Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-oem-fast} zusammengefasst.
1510 \begin{table}\label{tbl:sn-ev-oem-fast}
1512 \rowcolors{4}{black!5}{}
1513 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
1515 Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \oem{n}} & \multicolumn{2}{|l|}{\oes{n}} \\
1517 & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
1519 8 & 19 & 6 & 19 & 6 \\
1520 9 & 26 & 8 & 26 & 8 \\
1521 10 & 31 & 9 & 31 & 9 \\
1522 11 & 38 & \Gcell 9 & \Gcell 37 & 10 \\
1523 12 & 43 & \gcell 9 & \gcell 41 & 10 \\
1524 13 & 48 & 10 & 48 & 10 \\
1525 14 & 53 & 10 & 53 & 10 \\
1526 15 & 59 & 10 & 59 & 10 \\
1527 16 & 63 & 10 & 63 & 10 \\
1528 17 & 74 & 12 & 74 & 12 \\
1529 18 & 82 & 13 & 82 & 13 \\
1530 19 & 93 & \Gcell 13 & \Gcell 91 & 14 \\
1531 20 & 97 & 14 & 97 & 14 \\
1532 21 & 108 & \Gcell 14 & \Gcell 107 & 15 \\
1533 22 & 117 & \gcell 14 & \gcell 114 & 15 \\
1534 23 & 127 & \Gcell 14 & \Gcell 122 & 15 \\
1535 24 & 128 & 15 & \gcell 127 & 15 \\
1538 \caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
1539 unter Verwendung des \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks \oem{n}. Der
1540 Algorithmus wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n}
1541 gestartet und nach 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion
1542 nutzte die Konstanten $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} =
1543 1$, $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
1547 Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass der
1548 \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
1549 Sortiernetzwerke erzeugen kann, die effizienter als das rekursiv aus dem
1550 \emph{bitonen Mischer} aufgebaute \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk sind.
1551 Dieses Ergebnis lies sich mit dem \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk nicht
1552 erzielen. Die Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des
1553 \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks findet, erreichen das
1554 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk bezüglich Effizienz, übertreffen es aber
1555 nicht. Ein Beispiel für ein entsprechendes Sortiernetzwerk ist in
1556 Abbildung~\ref{fig:16-e1-oem-fast} dargestellt.
1560 \input{images/16-e1-oem-fast.tex}
1562 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
1563 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
1564 \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers
1566 \label{fig:16-e1-oem-fast}
1569 Mit einer Gütefunktion, die schnelle Sortiernetzwerke bevorzugt, ist es auch
1570 mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer möglich, dass \textsc{SN-Evolution}
1571 Sortiernetzwerke zurück gibt, die schneller als \oes{n} sind. Beispielsweise
1572 benötigt das 19-Sortiernetzwerk, das in Abbildung~\ref{fig:19-e1-oem-fast}
1573 dargestellt ist, nur 13~Schichten, während \oes{19} 14~Schichten benötigt.
1577 \input{images/19-e1-oem-fast.tex}
1579 \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 93~Komparatoren in
1580 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
1581 unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers erzeugt.}
1582 \label{fig:19-e1-oem-fast}
1587 %\input{images/08-e2-1237993371.tex}
1589 %\caption{{\tt images/08-e2-1237993371.tex}: 19~Komparatoren in 6~Schichten}
1590 %\label{fig:08-e2-1237993371}
1595 %\input{images/09-e2-1237997073.tex}
1597 %\caption{{\tt images/09-e2-1237997073.tex}: 25~Komparatoren in 8~Schichten}
1598 %\label{fig:09-e2-1237997073}
1603 %\input{images/09-e2-1237999719.tex}
1605 %\caption{{\tt images/09-e2-1237999719.tex}: 25~Komparatoren in 7~Schichten}
1606 %\label{fig:09-e2-1237999719}
1611 %\input{images/10-e2-1239014566.tex}
1613 %\caption{{\tt images/10-e2-1239014566.tex}: 29~Komparatoren in 8~Schichten}
1614 %\label{fig:10-e2-1239014566}
1617 \subsection{Zufälliger Mischer}
1619 Die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Abschnitte zeigen, dass für einige
1620 Leitungszahlen der \emph{bitone Mischer} und für andere Leitungszahlen der
1621 \emph{Odd-Even}-Mischer bessere Ergebnisse liefert. Beispielsweise hat das
1622 Netzwerk für $n = 18$ bei Verwendung des \emph{bitone Mischers} nur
1623 12~Schichten, bei Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers hingegen nur
1624 82~Komparatoren. Daher liegt die Idee nahe, beide Mischer-Netzwerke zu nutzen,
1625 um das beste Ergebnis beider Konstruktionen zu erreichen.
1626 \textsc{SN-Evolution} kann zu diesem Zweck beim Zusammenfügen zweier
1627 Individuen zufällig zwischen dem \emph{bitonen Mischer} und dem
1628 \emph{Odd-Even}-Mischer wählen. Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} bei
1629 einer zufälligen Wahl des Mischers in der Rekombinationsphase sind in
1630 Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-rnd-fast} zusammengefasst.
1632 \begin{table}\label{tbl:sn-ev-rnd-fast}
1634 \rowcolors{4}{black!5}{}
1635 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|}
1637 Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \bm{n}}
1638 & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \oem{n}}
1639 & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit Zufall} \\
1641 ($n$) & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
1643 8 & 20 & 6 & \gcell 19 & 6 & \gcell 19 & 6 \\
1644 9 & 26 & 8 & 26 & 8 & 26 & 8 \\
1645 10 & 31 & \gcell 8 & 31 & 9 & 31 & \gcell 8 \\
1646 11 & \Gcell 37 & 9 & 38 & 9 & \Gcell 37 & 9 \\
1647 12 & 42 & 9 & 43 & 9 & \gcell 41 & 9 \\
1648 13 & 48 & 10 & 48 & 10 & 48 & 10 \\
1649 14 & 54 & 10 & \gcell 53 & 10 & \gcell 53 & 10 \\
1650 15 & 61 & 10 & \Gcell 59 & 10 & \Gcell 59 & 10 \\
1651 16 & 67 & 10 & \gcell 63 & 10 & 64 & 10 \\
1652 17 & 76 & 12 & \Gcell 74 & 12 & \Gcell 74 & 12 \\
1653 18 & 87 & \gcell 12 & \gcell 82 & 13 & 83 & \gcell 12 \\
1654 19 & 93 & 13 & 93 & 13 & \Gcell 92 & 13 \\
1655 20 & 104 & \gcell 13 & \gcell 97 & 14 & 101 & \gcell 13 \\
1656 21 & 109 & 14 & 108 & 14 & \Gcell 107 & 14 \\
1657 22 & 118 & 14 & 117 & 14 & \gcell 116 & 14 \\
1658 23 & 129 & 14 & \Gcell 127 & 14 & 128 & 14 \\
1659 24 & 133 & 15 & \gcell 128 & 15 & 130 & 15 \\
1662 \caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
1663 unter Verwendung der beiden Mischer-Netzwerke. Der Algorithmus wurde mit dem
1664 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n} gestartet und nach
1665 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion nutzte die Konstanten
1666 $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$ und
1667 $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
1671 Bei einigen Leitungszahlen kann der Algorithmus durch die Verfügbarkeit beider
1672 Mi\-scher-Netzwerke Sortiernetzwerke zurückgeben, die effizienter als die
1673 vorherigen Ergebnisse sind. Beispielsweise ist das 19-Sortiernetzwerk in
1674 Abbildung~\ref{fig:19-e1-rnd-fast} mit 92~Komparatoren effizienter als die
1675 19-Sortiernetzwerke, die mit nur einem der beiden Mischer-Netzwerke erreicht
1676 wurden (Abbildungen~\ref{fig:19-e1-bm-fast} und~\ref{fig:19-e1-oem-fast}).
1680 \input{images/19-e1-rnd-fast.tex}
1682 \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 92~Komparatoren in
1683 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
1684 unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers} und des
1685 \emph{Odd-Even}-Mischers erzeugt.}
1686 \label{fig:19-e1-rnd-fast}
1689 Die Ergebnisse anderer Leitungszahlen erreichen die Geschwindigkeit der
1690 Ergebnisse, die mit dem \emph{bitonen Mischer} erzielt wurden. Die Effizienz
1691 liegt zwischen den Ergebnissen, die mit dem \emph{bitonen Mischer} erzielt
1692 wurden, und den Ergebnissen, die mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer erzielt
1693 wurden. Beispielsweise ist das 18-Sortiernetzwerk in
1694 Abbildung~\ref{fig:18-e1-rnd-fast} so schnell wie das Ergebnis, das mit dem
1695 \emph{bitonen Mischer} ausgegeben wurde. Mit 83~Komparatoren liegt die
1696 Effizienz des Sortiernetzwerks zwischen den Ergebnissen, die mit dem
1697 \emph{bitonen Mischer} (87~Komparatoren), beziehungsweise dem
1698 \emph{Odd-Even}-Mischer (82~Komparatoren) erreicht werden konnten.
1702 \input{images/18-e1-rnd-fast.tex}
1704 \caption{Sortiernetzwerk mit 18~Leitungen und 83~Komparatoren in
1705 12~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
1706 unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers} und des
1707 \emph{Odd-Even}-Mischers erzeugt.}
1708 \label{fig:18-e1-rnd-fast}
1711 In einigen Fällen hat \textsc{SN-Evolution} in dieser Konfiguration
1712 Sortiernetzwerke ausgegeben, die weniger effizient und genauso schnell wie die
1713 bisherigen Ergebnisse unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers sind.
1714 Prinzipiell könnte der Algorithmus in jeder Iteration zufällig den
1715 \emph{Odd-Even}-Mischers auswählen, um die selektierten Individuen zu
1716 rekombinieren. Das heißt, das die Ergebnisse auch bei einer zufälligen Wahl
1717 des Mischer-Netzwerks theoretisch erreicht werden können. Allerdings sind
1718 unter Umständen mehr Iterationen notwendig, bis die gleiche Effizienz erreicht
1721 %\input{shmoo-aequivalenz.tex}
1724 \section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
1727 Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
1728 Abschnitt verwendet immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
1729 einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
1730 ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
1731 verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
1733 Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, kombiniert das aktuelle Netzwerk
1734 \emph{immer} mit sich selbst und eliminiert anschließend die Hälfte aller
1735 Leitungen, lassen sich einige interessante Beobachtungen anstellen. Netzwerke,
1736 die aus einem Netzwerk $S_0$ durch die beschriebene Kombination von $S_0$ mit
1737 sich selbst und anschließendem Eliminieren der Hälfte der Leitungen hervorgehen
1738 können, heißen \emph{Nachfolger} von $S_0$.
1740 Beim beschriebenen Vorgehen kann man die Sortiernetzwerke als Knoten in einem
1741 (gerichteten) Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
1742 Sortiernetzwerke $S_0$ und $S_1$ repräsentieren, sind genau dann mit einer
1743 Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von
1744 $S_0$ ist, das heißt, dass $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
1745 selbst erzeugt werden kann.
1747 Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
1748 der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
1749 sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der
1750 Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten
1751 32-Sortier\-netz\-werken wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$
1752 unterschiedliche Schnittmuster geschätzt.
1754 Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
1755 zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem
1756 gegebenen Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu
1757 gelangen, rekombiniert der Algorithmus das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich
1758 selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger. In Pseudocode lässt sich der
1759 Algorithmus wie folgt beschreiben:
1766 Nachfolger := kombiniere (Netzwerk, Netzwerk)
1767 Netzwerk := Nachfolger
1773 Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} zeigen die Anzahl der
1774 Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf seinem
1775 zufälligen Pfad durchläuft (rot). Für jeden Graphen wurde der
1776 \textsc{SN-Markov}-Algorithmus auf einem entsprechenden
1777 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk gestartet und hat mindestens
1778 1.000.000~Iterationen durchlaufen. In jedem Schritt wurde die Anzahl der
1779 Komparatoren des Sortiernetzwerks bestimmt und ein entsprechender Zähler
1780 erhöht. In Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} ist die resultierende
1781 prozentuale Verteilung zu sehen.
1783 Ebenfalls in die Graphen der Abbildung~\ref{fig:markov-comparators}
1784 eingezeichnet ist eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die die gemessenen
1785 Daten gut annähert. Die Gamma-Verteilung verwendet einen Offset~$\delta$, der
1786 um Eins kleiner als die kleinste erreichte Komparatorzahl gewählt wurde.
1787 Beispielsweise war die kleinste erreichte Komparatorzahl bei
1788 16-Sortiernetzwerken~63, entsprechend wurde der Offset $\delta = 63 - 1$
1789 gesetzt und die Gamma-Verteilung $g(x - 62)$ eingezeichnet. Die Parameter $k$
1790 und $\theta$, die eine Gamma-Verteilung charakterisieren, wurden mit einem
1791 Fitting-Algorithmus bestimmt. Der konkrete Offset ist als Parameter~$\delta$
1792 unter den Graphen angegeben.
1796 \subfigure[12 Leitungen, $k = 8,267$, $\theta = 0,962$, $\delta = 40$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}}
1797 \subfigure[14 Leitungen, $k = 9,522$, $\theta = 0,867$, $\delta = 52$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}}
1798 \subfigure[16 Leitungen, $k = 17,939$, $\theta = 1,091$, $\delta = 62$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}}
1799 \subfigure[18 Leitungen, $k = 10,724$, $\theta = 0,766$, $\delta = 81$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}}
1800 \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken,
1801 die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden (rot). Ebenfalls eingezeichnet
1802 ist jeweils eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die eine gute Näherung der
1803 gemessenen Daten darstellt.}
1804 \label{fig:markov-comparators}
1809 \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/comparison-comparators-16.pdf}
1811 \caption{Anzahl der Komparatoren, die 16-Sortiernetzwerke von
1812 \textsc{SN-Markov} und \textsc{SN-Evolution} (mit dem
1813 \emph{Odd-Even}-Mischer und dem \emph{bitonen Mischer}) besaßen.}
1814 \label{fig:comparison-comparators}
1817 Der Graph in Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} zeigt, dass der
1818 \textsc{SN-Markov}-Algorithmus nicht schlechter ist als der
1819 \textsc{SN-Evolution}-Algo\-rith\-mus. Analog zu dem Versuch mit
1820 \textsc{SN-Markov}, wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus die Anzahl
1821 der Komparatoren jedes neuen Individuums ermittelt und gespeichert. Als
1822 Startnetzwerk diente bei beiden Algorithmen das
1823 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{16}. Der Graph zeigt auf der
1824 x-Achse die Anzahl der Komparatoren, auf der y-Achse die Häufigkeit, mit der
1825 ein Sortiernetzwerk mit dieser Komparatorzahl durch die Rekombination erzeugt
1826 wurde. Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} unterscheiden sich außerdem je
1827 nach verwendetem Mischer-Netzwerk -- \oem{32}, beziehungsweise \bm{32}.
1829 Sowohl der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus, der das
1830 \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk verwendet, als auch \textsc{SN-Evolution} mit
1831 \oem{32} erreichen eine Komparatorzahl von~63 und finden Sortiernetzwerke, die
1832 bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch zu \oes{16} sind.
1833 Interessanterweise erzeugt \textsc{SN-Markov} derartige Netzwerke häufiger:
1834 Während nur $0,000017 \%$ der Individuen von \textsc{SN-Evolution} mit
1835 63~Komparatoren auskamen, ist die Rate bei \textsc{SN-Markov} mit $0,000335
1836 \%$ rund 20~mal höher.
1838 Erwartungsgemäß sind die besten Netzwerke, die \textsc{SN-Evolution} mit dem
1839 \emph{bitonen Mischer} findet, aus 67~Komparatoren aufgebaut. Überraschend ist
1840 jedoch, dass in dieser Konfiguration Sortiernetzwerke auftreten können, die
1841 mehr Komparatoren besitzen als \emph{Odd-Even-Transpositionsort}. \oet{16}
1842 ist aus 120~Komparatoren aufgebaut. Bei dem Lauf, der die Daten für
1843 Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} lieferte, trat auch jeweils ein
1844 Sortiernetzwerk mit 121 und 124~Komparatoren auf. Dass Sortiernetzwerke mit so
1845 vielen Komparatoren im Verlauf des Experiments selbst nach über 100~Millionen
1846 Iterationen nicht noch einmal erzeugt wurden, ist vermutlich ein Phänomen, das
1847 mit der Initialisierung durch das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk
1852 % \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
1854 % \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
1855 % die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
1856 % \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
1857 % \label{fig:markov-comparators-14}
1862 % \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
1864 % \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
1865 % die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
1866 % \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
1867 % \label{fig:markov-comparators-16}
1872 % \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}
1874 % \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen),
1875 % die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
1876 % \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.}
1877 % \label{fig:markov-comparators-18}
1882 % \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf}
1884 % \caption{Zyklen, die beim \textit{Random Walk} des
1885 % \textsc{SN-Markov}-Algorithmus detektiert wurden. Auf der x-Achse sind die
1886 % Anzahl der Schritte, die \textsc{SN-Markov} zurückgelegt hat, auf der
1887 % y-Achse die Längen der gefundenen Zyklen aufgetragen. Das initiale
1888 % Start-Sortiernetzwerk war $\operatorname{OET}(16)$.}
1889 % \label{fig:markov-cycles-16}
1893 \section[\textsc{SN-Evolution-Cut}]{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
1894 \label{sect:sn-evolution-cut}
1896 Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
1897 Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
1898 Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
1899 möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
1900 von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution:bewertung}.
1902 Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet \emph{Schnittmuster}, die
1903 in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als Individuen.
1904 Ein Individuum besteht aus einer Liste von $n$~Zahlen, die entweder 1, $-1$
1905 oder 0 sind. Dieser Werte entsprechen Maximum, Minimum und unbelegt. Bei einem
1906 $k$-Schnittmuster sind genau $k$ Zahlen ungleich Null.
1908 Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Werte des einen
1909 Schnittmusters und die letzten ${n-r}$~Schnitte des zweiten Schnittmusters
1910 verwendet. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq n$. Anschließend
1911 werden zufällig Werte auf Null beziehungsweise 1 oder $-1$ gesetzt, um die
1912 Anzahl der Schnitte zu korrigieren.
1914 Die Mutation vertauscht entweder die Werte von zwei zufälligen Positionen oder
1915 multipliziert den Wert einer Leitung mit $-1$, um die Schnittrichtung zu
1918 Die Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} ist ein $n$-Sortiernetzwerk und eine
1919 Zahl $k$, $1 \leqq k < n$, die angibt wie viele Leitungen entfernt werden
1920 sollen. Der Rückgabewert des \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus ist ein
1921 \emph{$k$-Schnittmuster}. Wird das Schnittmuster auf das Sortiernetzwerk, mit
1922 dem der Algorithmus gestartet wurde, angewendet, entsteht ein möglichst
1923 schnelles und effizientes Sortiernetzwerk mit $m = n - k$ Leitungen. Da mit
1924 dem Eingabe-Netzwerk und dem zurückgegebenen $k$-Schnittmuster das
1925 $m$-Sortiernetzwerk eindeutig bestimmt ist, werden im Folgenden sowohl das
1926 $k$-Schnittmuster als auch das $m$-Sortiernetzwerk als Ausgabe von
1927 \textsc{SN-Evolution-Cut} bezeichnet.
1929 \subsection[Bitones Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
1930 \label{sect:sn-evolution-cut:bs}
1934 Wenn der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit dem \emph{bitonen
1935 Mergesort}-Netzwerk \bs{n} gestartet wird und $k$~Leitungen entfernen soll,
1936 ergeben die gefundenen Schnittmuster in vielen Fällen effizientere Netzwerke
1937 als \bs{n-k}. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit \bs{22} und $k
1938 = 6$ gestartet, resultiert das gefundene Schnittmuster in einem
1939 Sortiernetzwerk mit 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{16}
1940 benötigt. Eines der Sortiernetzwerke, die auf diese Art und Weise generiert
1941 wurde, ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} zu sehen.
1943 % Beispiel Effizienz
1947 \input{images/16-ec-from-bs22.tex}
1949 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 67~Komparatoren in
1950 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
1951 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk
1952 $\operatorname{BS}(22)$ durch das 6-Schnittmuster $\operatorname{MIN}(4,
1953 10, 17)$, $\operatorname{MAX}(7, 15, 20)$ erzeugt.}
1954 \label{fig:16-ec-from-bs22}
1957 Eine Übersicht über die Effizienz der Ergebnisse, die mit dem \emph{bitonen
1958 Mergesort}-Netzwerk als Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} erzielt wurden,
1959 gibt Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency}. \textsc{SN-E\-vo\-lu\-tion-Cut} wurde
1960 mit \bs{n}, $n = 9 \dots 24$ und $k = 1 \dots (n-8)$ gestartet. Die Konstanten
1961 der Bewertungsfunktion waren $w_{\mathrm{Basis}} = 0$,
1962 $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$ und $w_{\mathrm{Schichten}} = n$. In jeder
1963 Zeile befinden sich die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk, in den Spalten
1964 befinden sich die Ergebnisse für eine Leitungszahl $m=n-k$ des
1965 Ausgabenetzwerks. In den Zellen stehen jeweils die Anzahl der Komparatoren des
1966 resultierenden Netzwerks. Die letzte Zeile enthält die Anzahl der
1967 Komparatoren, die \bs{m} benötigt, um die Ergebnisse besser einordnen zu
1972 \rowcolors{2}{black!5}{}
1973 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
1975 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
1977 9 & 21 & & & & & & & & & & & & & & & \\
1978 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
1979 11 & 20 & 27 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
1980 12 & 20 & 26 & 32 & 39 & & & & & & & & & & & & \\
1981 13 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & & & & & & & & & & & \\
1982 14 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & & & & & & & & & & \\
1983 15 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & & & & & & & & & \\
1984 16 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & 70 & & & & & & & & \\
1985 17 & 20 & 26 & 32 & 37 & 43 & 50 & 57 & 65 & 74 & & & & & & & \\
1986 18 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 49 & 56 & 63 & 71 & 82 & & & & & & \\
1987 19 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 48 & 55 & 62 & 70 & 79 & 88 & & & & & \\
1988 20 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 86 & 95 & & & & \\
1989 21 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 85 & 94 & 103 & & & \\
1990 22 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 67 & 77 & 84 & 93 & 102 & 112 & & \\
1991 23 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & \\
1992 24 & 20 & 26 & 32 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & 133 \\
1994 \bs{m} & 24 & 28 & 33 & 39 & 46 & 53 & 61 & 70 & 80 & 85 & 91 & 98 & 106 & 114 & 123 & 133 \\
1998 \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
1999 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
2000 Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
2001 die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
2002 Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
2003 \label{tbl:ec-bs-efficiency}
2006 Zu sehen ist, dass jedes einzelne Ergebnis von \textsc{SN-Evolution-Cut}
2007 mindestens so effizient wie das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit der
2008 gleichen Leitungszahl ist. Außerdem enthält jede Spalte (mit Ausnahme von
2009 $m=23$) ein Ergebnis, das effizienter als \bs{m} ist.
2011 In zahlreichen Fällen reicht das Entfernen einer einzigen Leitung aus, um ein
2012 effizientes Ergebnis zu erzielen. Das Ergebnis, das \textsc{SN-Evolution-Cut}
2013 gestartet mit \bs{20} und $k = 1$ erreicht, benötigt mit 95~Komparatoren
2014 3~weniger als \bs{19}.
2016 Bei anderen Größen ergeben erst größere~$k$ effiziente Sortiernetzwerke,
2017 beispielsweise bei $m = 10$: erst für $n = 18$, $k = 8$ wird ein
2018 Sortiernetzwerk mit 31~Komparatoren gefunden.
2022 Bei einigen Werten für die Ziel-Leitungsanzahl $m$ kann der
2023 \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Ergebnisse erzielen, die schneller als
2024 das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{m} sind. In
2025 Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-speed} ist die Anzahl der Schichten, die die Ergebnisse
2026 von \textsc{SN-Evolution-Cut} benötigen, um die Eingabe zu sortieren,
2027 aufgelistet. Jede Zeile enthält die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n},
2028 jede Spalte enthält die Ergebnisse für eine Ziel-Leitungszahl $m = n-k$. Die
2029 Zellen enthalten die Anzahl der Schichten des jeweiligen Ergebnis-Netzwerks.
2033 \rowcolors{2}{black!5}{}
2034 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2036 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2038 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2039 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
2040 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
2041 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
2042 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
2043 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
2044 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
2045 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
2046 17 & 6 & 8 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
2047 18 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
2048 19 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
2049 20 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
2050 21 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
2051 22 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
2052 23 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
2053 24 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2055 \bs{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2059 \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
2060 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
2061 Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
2062 die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
2063 Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
2064 \label{tbl:ec-bs-speed}
2067 Für die Ziel-Leitungszahlen 9, 10 und 11 wurden Schnittmuster gefunden, die
2068 schnelle Sortiernetzwerke erzeugen. Beispiele für schnelle Sortiernetzwerke,
2069 die mit den von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenen Schnittmustern erzeugt
2070 werden können, sind in Abbildung~\ref{fig:ec-bs-fast_networks} dargestellt.
2072 % Beispiel Geschwindigkeit
2076 \subfigure[10-Sortiernetzwerk aus 31~Komparatoren in 8~Schichten. Das
2077 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{19} erzeugt.]{\input{images/10-ec-from-bs19-fast.tex}\label{fig:10-ec-from-bs19-fast}}
2078 \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 9~Schichten. Das
2079 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{18} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-bs18-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-bs18-fast}}
2080 \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 42~Komparatoren in 9~Schichten. Das
2081 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{22} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-bs22-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-bs22-fast}}
2082 \subfigure[19-Sortiernetzwerk aus 92~Komparatoren in 13~Schichten. Das
2083 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{37} erzeugt.]{\input{images/19-ec-from-bs37-fast.tex}\label{fig:19-ec-from-bs37-fast}}
2084 \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m \in \{10, 11,
2085 12, 19\}$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
2086 erzeugen, die \emph{schneller} und \emph{effizienter} als \bs{m} sind.}
2087 \label{fig:ec-bs-fast_networks}
2090 Bei der Betrachtung der Effizienz wurde festgestellt, dass oft schon das
2091 Entfernen einer einzigen Leitung zu eines effizienteren Ergebnis als \bs{m}
2092 führt. Bei der Geschwindigkeit ist die Anzahl der Leitungen, die entfernt
2093 werden müssen, um schnellere Netzwerke zu erzielen, größer. Um eine Schicht
2094 einzusparen waren bei $m = 10$ und $m = 11$ $k = 6$ Schnitte notwendig. Bei $m
2095 = 9$ war sogar ein 7-Schnittmuster notwendig, um die Anzahl der Schichten zu
2096 reduzieren. Für schnelle \emph{und} effiziente Netzwerke musste $k$ teilweise
2097 noch größer gewählt werden.
2099 % Detaillierte Betrachtung fuer m = 19
2101 Die Effizienz und Geschwindigkeit der Sortiernetzwerke, die von
2102 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk erzeugten
2103 werden, ist für $m = 19$ und $n = 20 \dots 38$ ($k = 1 \dots 19$) in
2104 Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-19} aufgelistet. Erst, wenn $k \geqq 6$ ist, wird im
2105 Vergleich zu \bs{19} eine Schicht eingespart. Für $n = 36$ ($k = 17$) und $n =
2106 37$ ($k = 18$) werden Sortiernetzwerke ausgegeben, die schneller als \bs{19}
2107 und \oes{19} sind und nur einen Komparator mehr als \oes{19} benötigen. Ein
2108 Beispiel für ein solches Netzwerk ist in
2109 Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} zu sehen.
2113 \rowcolors{2}{black!5}{}
2114 \begin{tabular}{|r|r|r|}
2116 $n$ & Komp. & Schichten \\
2136 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2140 \bs{19} & 98 & 14 \\
2141 \oes{19} & 91 & 14 \\
2145 \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von 19-Sortiernetzwerken, die
2146 von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{n}, $n = 20, \dots, 38$ erzeugt
2147 wurden. Für $k \geqq 6$ ergeben sich Sortiernetzwerke, die schneller als
2148 \bs{19} sind. Mit $k \in \{14, 16, 19\}$ erreichen die Ergebnisse mit
2149 13~Schichten die Effizienz der vorherigen
2150 Ergebnisse mit 14~Schichten, mit $k = 17$ und $k = 18$ wird diese
2151 Effizienz noch übertroffen. Ein 19-Sortiernetzwerk, das aus \bs{37}
2152 auf diese Art erzeugt wurde, ist in
2153 Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} dargestellt.}
2154 \label{tbl:ec-bs-19}
2159 \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka} zeigen in~\cite{MW2010},
2160 wie ein \emph{bitoner Mischer} $\bm{n = 2^d}$, der nach Batchers Methode
2161 konstruiert wurde, durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen
2162 ebenfalls bitonen Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert werden
2163 kann, so dass dieser alternative Mischer im Vergleich zu $\bm{\frac{n}{2} =
2164 2^{d-1}}$ Komparatoren einspart.
2166 Basierend auf diesen alternativen Mischern geben \textit{Mühlenthaler} und
2167 \textit{Wanka} eine Konstruktionsvorschrift für Sortiernetzwerke an, die
2168 gegenüber \bs{n} ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren einspart.
2169 Beispielsweise wird ein 16-Sortiernetzwerk angegeben, das nur 68~Komparatoren
2170 benötigt. Dieses Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-muehlenthaler}
2175 \input{images/16-muehlenthaler.tex}
2177 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
2178 10~Schichten. Das Netzwerk wurde 2010 von \textit{Mühlenthaler} und
2179 \textit{Wanka} aus optimierten bitonen Mischern konstruiert und
2180 in~\cite{MW2010} veröffentlicht.}
2181 \label{fig:16-muehlenthaler}
2186 \input{images/16-ec-from-bs32.tex}
2188 \caption{Visualisierung eines 16-Schnittmusters, das von
2189 \textsc{SN-Evolution-Cut} für das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{32}
2190 berechnet wurde. Das resultierende Sortiernetzwerk besteht aus
2191 68~Komparatoren in 10~Schichten und ist in
2192 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} als
2193 Standard-Sortiernetzwerk dargestellt.}
2194 \label{fig:16-ec-from-bs32}
2199 \input{images/16-ec-from-bs32-normalized.tex}
2201 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
2202 10~Schichten. Das Netzwerk wurde mit einem 16-Schnittmuster, das von
2203 \textsc{SN-Evolution-Cut} berechnet wurde, aus dem \emph{bitone
2204 Mergesort}-Netzwerk \bs{32} erzeugt. Das Schnittmuster ist in
2205 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} dargestellt.}
2206 \label{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
2209 Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk
2210 $\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
2211 Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
2212 16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in den
2213 Abbildungen~\ref{fig:16-ec-from-bs32} und~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
2214 zu sehen. Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} zeigt $\operatorname{BS}(32)$
2215 und das Schnittmuster ${\operatorname{MIN}(0, 5, 9, 11, 15, 17, 20, 22, 26,
2216 29, 30)}$, ${\operatorname{MAX}(2, 4, 13, 19, 24)}$, das durch
2217 \textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
2218 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
2219 nachdem das Schnittmuster angewendet und das Netzwerk normalisiert wurde.
2220 % Eine Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist
2221 % in diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten
2222 % des Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
2225 % 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
2226 % 23:MIN 24:MAX 25:MAX 30:MIN 31:MIN 32:MAX 34:MAX 36:MIN 37:MAX 40:MAX
2227 % 43:MAX 46:MIN 47:MAX 48:MAX 49:MAX 54:MIN 55:MAX 56:MAX 58:MIN 60:MAX
2230 \input{images/32-ec-from-bs64.tex}
2232 \caption{Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen und 206~Komparatoren in
2233 15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
2234 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
2235 $\operatorname{BS}(64)$ durch 32~Schnitte erzeugt. Das zugehörige
2237 $\operatorname{MIN}(4, 14, 23, 30, 31, 36, 46, 54, 58)$,
2238 $\operatorname{MAX}(0, 1, 6, 9, 11, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 32, 34, 37,
2239 40, 43, 47, 48, 49, 55, 56, 60, 63)$.}
2240 \label{fig:32-ec-from-bs64}
2243 Wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \bs{64}-Netzwerk und $k = 32$ gestartet
2244 wird, findet der Algorithmus 32-Sortiernetzwerke, die effizienter sind als
2245 32-Sortiernetzwerke, die nach \textit{Mühlenthalers} und \textit{Wankas}
2246 Methode konstruiert werden. Ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{64}
2247 generiertes 32-Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64}
2248 dargestellt. Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{32} benötigt
2249 240~Komparatoren, ein aus den optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk
2250 verbessert die Effizienz auf 208~Komparatoren. Das Ergebnis von
2251 \textsc{SN-Evolution-Cut} kommt mit nur 206~Komparatoren aus. Die
2252 Geschwindigkeit aller genannten Sortiernetzwerke ist mit 15 parallelen
2253 Schritten identisch.
2255 Wenn die Leitungszahl des Eingabenetzwerks keine Zweierpotenz ist, kann
2256 \textsc{SN-Evo\-lu\-tion-Cut} auch 16-Sortiernetzwerke erzeugen, die diese
2257 Effizienz unterbieten. Das geht aus den Daten in
2258 Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency} hervor. Ein 16-Sortiernetzwerk mit
2259 67~Komparatoren, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} generiert wurde, ist in
2260 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} dargestellt.
2262 Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
2263 unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
2264 gute Schnittmuster anzugeben.
2266 Entscheidend für das Ergebnis eines Schnittmusters scheint beim \emph{bitonen
2267 Mergesort}-Netzwerk die Aufteilung der Minimum- und Maximumschnitte zu sein.
2268 Von Hundert 16-Schnittmustern für $\operatorname{BS}(32)$, die in
2269 Sortiernetzwerken mit 68~Komparatoren in 10~Schichten resultieren, hatten 73
2270 ein Verhältnis von $5/11$, 13 hatten ein Verhältnis von $4/12$ und 14 hatten
2271 ein Verhältnis von $3/13$ Minimum- beziehungsweise Maximumschnitten. Da sich
2272 die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des \emph{bitonen
2273 Mergesort}-Netzwerks leicht invertieren lassen, ist eine Fallunterscheidung --
2274 mehr Minimum- oder mehr Maximumschnitte -- nicht notwendig.
2276 Dass die Sortiernetzwerke, die mit den Schnittmustern von
2277 \textsc{SN-Evolution-Cut} entstehen, keine erkennbare Struktur haben, ist
2278 jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere von der
2279 Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
2280 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(n)$ und
2281 $k$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
2282 $\operatorname{OET}(n-k)$-Netzwerk.
2284 \subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
2285 \label{sect:sn-evolution-cut:oes}
2287 Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
2288 \oes{n} gestartet, gibt der Algorithmus meist Sortiernetzwerke zurück, die
2289 genauso effizient und schnell wie das entsprechende
2290 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{m} sind. Die Effizienz der
2291 Sortiernetzwerke, die mit Schnittmustern von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus
2292 \oes{n} entstehen können, zeigt Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-efficiency}
2297 \rowcolors{2}{black!5}{}
2298 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2300 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2302 9 & 19 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2303 10 & 19 & 26 & & & & & & & & & & & & & & \\
2304 11 & 19 & 26 & 31 & & & & & & & & & & & & & \\
2305 12 & 19 & 26 & 31 & 37 & & & & & & & & & & & & \\
2306 13 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
2307 14 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
2308 15 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
2309 16 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
2310 17 & 19 & 26 & 31 & 38 & 41 & 48 & 53 & 59 & 63 & & & & & & & \\
2311 18 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & & & & & & \\
2312 19 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & & & & & \\
2313 20 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & & & & \\
2314 21 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & & & \\
2315 22 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & & \\
2316 23 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & \\
2317 24 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & 122 \\
2319 \oes{m}&19& 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & 122 \\
2323 \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
2324 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
2325 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
2326 Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
2327 Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
2329 \label{tbl:ec-oes-efficiency}
2334 \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 38~Komparatoren in 9~Schichten. Das
2335 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{17} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-oes17-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-oes17-fast}}
2336 \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten. Das
2337 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{18} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-oes18-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes18-fast}}
2338 \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m = 10$ und $m =
2339 11$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
2340 erzeugen, die \emph{schneller} aber weniger \emph{effizient} als \oes{m}
2342 \label{fig:ec-oes-fast_networks}
2345 Die Bewertungsfunktion, die \textsc{SN-Evolution-Cut} verwendet, bevorzugt
2346 schnelle Sortiernetzwerke. Dadurch kann es vorkommen, dass ein
2347 $m$-Sortiernetzwerk, das durch ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenes
2348 Schnittmuster entsteht, schneller als \oes{m} ist. Diese Geschwindigkeit
2349 war allerdings in allen beobachteten Fällen nur dann möglich, wenn
2350 zusätzliche Komparatoren in Kauf genommen wurden. In den
2351 Tabellen~\ref{tbl:ec-oes-efficiency} und~\ref{tbl:ec-oes-speed} ist dieser
2352 Fall für $m = 11$ und $k \geqq 6$, beziehungsweise $m = 12$ und $k \geqq 6$ zu
2353 beobachten. Die entsprechenden schnellen Sortiernetzwerke sind in
2354 Abbildung~\ref{fig:ec-oes-fast_networks} dargestellt.
2356 Wie beim \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk reicht auch beim
2357 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk ein einziger Schnitt nicht aus, um die
2358 Geschwindigkeit gegenüber \oes{m} zu verbessern. Bei $m = 11$ und $m = 12$ war
2359 jeweils mindestens ein 6-Schnittmuster notwendig, um eine höhere
2360 Geschwindigkeit zu erreichen.
2362 In Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-19} sind die Ergebnisse von
2363 \textsc{SN-Evolution-Cut} für \oes{n}, $n = 20$ und $m = 19$ ($k = 1 \dots
2364 19$) aufgelistet. Mit $k = 10$ wird das erste mal ein schnelles
2365 19-Sortiernetzwerk mit 13~Schichten ausgegeben. Mit $k \geqq 11$ sind die
2366 resultierenden Netzwerke mit 93~Komparatoren effizienter als das Ergebnis mit
2367 $k = 10$, das 95~Komparatoren benötigt. Das Ergebnis, das auf Basis des
2368 \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerks erreicht wurde (92~Komparatoren in
2369 13~Schichten, siehe Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-19}), wird nicht erreicht.
2373 \rowcolors{2}{black!5}{}
2374 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2376 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2378 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2379 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
2380 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
2381 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
2382 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
2383 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
2384 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
2385 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
2386 17 & 6 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
2387 18 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
2388 19 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
2389 20 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
2390 21 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
2391 22 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
2392 23 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
2393 24 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2395 \oes{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2399 \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
2400 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
2401 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
2402 Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
2403 Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
2405 \label{tbl:ec-oes-speed}
2410 \rowcolors{2}{black!5}{}
2411 \begin{tabular}{|r|r|r|}
2413 $n$ & Komp. & Schichten \\
2427 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2431 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2435 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2439 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2444 \bs{19} & 98 & 14 \\
2445 \oes{19} & 91 & 14 \\
2449 \caption{Komparatoren und Schichten von Sortiernetzwerken, die von
2450 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \oes{n} und $k = n - 19$ ermittelt wurden. Erst mit $k = 10$
2451 ist es möglich gegenüber \oes{19} eine Schicht einzusparen. Dafür ist die
2452 Effizienz von 91~Komparatoren nicht mehr erreichbar.}
2453 \label{tbl:ec-oes-19}
2458 In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
2459 viele \emph{unterschiedliche} 16-Schnittmuster die konstruierten
2460 Sortiernetzwerke $\operatorname{OES}(32)$, $\operatorname{BS}(32)$ und
2461 $\operatorname{PS}(32)$ besitzen. Eines der Ergebnisse war, dass von diesen
2462 Sortiernetzwerken das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk die wenigsten
2463 unterschiedlichen 16-Schnittmuster besitzt -- nur etwa $5,2$~Millionen.
2464 Entsprechend ist es wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut}
2465 gestartet mit $\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell\footnote{Ein
2466 entsprechendes Ergebnis wird meist nach 20.000 bis 100.000 Iterationen
2467 geliefert. Bei dieser Problemgröße erreicht die Implementierung (siehe
2468 Abschnitt~\ref{sect:implementierung}) etwa 20.000 Iterationen pro Sekunde auf
2469 derzeitigen Computern.} ein gutes 16-Schnittmuster findet.
2471 Eines der 16-Schnittmuster für \oes{32}, die ein Sortiernetzwerk erzeugen, das
2472 bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch zu \oes{16} ist, ist
2473 $\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14, 17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7,
2474 8,$ $13, 18, 21, 27, 31)$. Das Schnittmuster ist in
2475 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht, das resultierende
2476 Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen.
2480 \input{images/16-ec-from-oes32-cut.tex}
2482 \caption{Visualisierung eines 16-Schnittmusters, das auf
2483 $\operatorname{OES}(32)$ angewendet ein Sortiernetzwerk ergibt, das
2484 bezüglich Geschwindigkeit und Effizienz identisch zu \oes{16} ist. Das
2485 resultierende Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32}
2487 \label{fig:16-ec-from-oes32-cut}
2492 \input{images/16-ec-from-oes32.tex}
2494 \caption{16-Sortiernetzwerk mit 63~Komparatoren in 10~Schichten.
2495 Das Netzwerk wurde aus dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{32} mit
2496 einem 16-Schnittmuster erzeugt, das von \textsc{SN-Evolution-Cut}
2497 berechnet wurde. Das Schnittmuster ist in
2498 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} dargestellt.}
2499 \label{fig:16-ec-from-oes32}
2502 % Regelmaessiges Schnittmuster fuer n = 2^d
2504 Bei diesem Schnittmuster fällt auf, dass es für jeweils vier Eingänge (0--3,
2505 4--7, \dots, 28--31) einen Minimum- und einen Maximumschnitt gibt. Aus dieser
2506 Beobachtung kann das regelmäßige Schnittmuster
2508 \textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
2509 \infty & \quad \textrm{falls } i \bmod 4 = 0 \\
2510 -\infty & \quad \textrm{falls } i \bmod 4 = 3 \\
2511 ? & \quad \mathrm{sonst}
2514 abgeleitet werden. Es entfernt die Hälfte der Leitungen, vorausgesetzt die
2515 Anzahl der Leitungen ist durch Vier teilbar. Das Schnittmuster erzeugt
2516 effiziente Netzwerke, wenn die Anzahl der Leitungen $n = 2^d$ eine
2517 Zweierpotenz ist. Ein 32-Sortiernetzwerk, das mit diesem Schnittmuster aus
2518 \oes{64} erzeugt wurde, ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-oes64} zu sehen.
2522 \input{images/32-ec-from-oes64.tex}
2524 \caption{32-Sortiernetzwerk mit 191~Komparatoren in 15~Schichten.
2525 Das Netzwerk wurde mit einem regelmäßigen Schnittmuster aus dem
2526 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{64} erzeugt.}
2527 \label{fig:32-ec-from-oes64}
2530 Wenn die Anzahl der Leitungen keine Zweierpotenz ist, erreichen die durch
2531 dieses regelmäßige Schnittmuster erzeugten Sortiernetzwerke die Effizienz des
2532 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks nicht. Wendet man das Schnittmuster
2533 beispielsweise auf \oes{24} an, so erhält man ein Sortiernetzwerk mit
2534 43~Komparatoren -- \oes{12} kommt mit 41~Komparatoren aus. Die Geschwindigkeit
2535 beider Sortiernetzwerke ist mit 10~Schichten identisch.
2537 % SN-Evolution-Cut vs. regelmaessiges Schnittmuster
2539 Wird der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit \oes{n}, $n = 22, 23, 24$
2540 und $k = 10, 11, 12$ gestartet, hängt die Ausgabe von der verwendeten
2541 Gütefunktion ab. Werden effiziente Netzwerke bevorzugt, findet der Algorithmus
2542 Schnittmuster wie das 12-Schnittmus\-ter $\operatorname{MIN}(6, 7, 8, 9, 16, 17,
2543 20, 22)$, $\operatorname{MAX}(2, 4, 12, 14)$ für \oes{24}, dessen Ergebnis in
2544 Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-efficient} zu sehen ist. Das resultierende
2545 Sortiernetzwerk besteht aus 41~Komparatoren, die in 10~Schichten angeordnet
2546 werden können. Damit ist das Netzwerk bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit
2547 gleichauf mit \oes{12}. Werden hingegen schnelle Sortiernetzwerke bevorzugt,
2548 werden stattdessen Schnittmuster wie $\operatorname{MIN}(6, 7, 11, 12, 15,
2549 16)$, $\operatorname{MAX}(1, 3, 10, 17, 20, 23)$ ausgegeben. Das Ergebnis
2550 dieses Schnittmusters ist in Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-fast} zu
2551 sehen, weitere Ergebnisse für diese Gütefunktion sind in den
2552 Tabellen~\ref{tbl:ec-oes-efficiency} und~\ref{tbl:ec-oes-speed} zusammengefasst.
2553 Das resultierende 12-Sortiernetzwerk besteht aus 43~Komparatoren, die
2554 in 9~Schichten angeordnet sind. Das resultierende Netzwerk zwar nicht so
2555 effizient wie \oes{12}, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12}.
2559 \subfigure[Effizientes 12-Sortiernetzwerk aus 41~Komparatoren in
2560 10~Schichten, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
2561 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk generiert
2562 wurde.]{\input{images/12-ec-from-oes24-efficient.tex}\label{fig:12-ec-from-oes24-efficient}}
2563 \subfigure[Schnelles 12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten,
2564 das von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
2566 wurde.]{\input{images/12-ec-from-oes24-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes24-fast}}
2567 \caption{Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \oes{24}, hängt das
2568 Ergebnis von der Bewertungsfunktion ab.}
2569 \label{fig:12-ec-from-oes24}
2572 \subsection[Pairwise-Sorting-Netzwerk]{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
2574 Eine weitere interessante Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} ist das
2575 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n}, das \textit{Ian
2576 Parberry} in seiner Arbeit „The Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992}
2577 definiert. Einerseits wurde in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster}
2578 gezeigt, dass es für \ps{n} sehr viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster
2579 gibt. Andererseits sind die Sortiernetzwerke, die nach \textit{Parberrys}
2580 Methode erzeugt werden, genauso schnell und effizient wie das
2581 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, wenn die Leitungszahl $n = 2^d$ eine
2586 Für viele Kombinationen von \ps{n} und $k$ sind die Sortiernetzwerke, die
2587 \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, weniger effizient als das entsprechende
2588 \ps{m}-Netzwerk. Für einige Kombinationen werden jedoch auch effizientere
2589 Netzwerke generiert, beispielsweise für $m = 11$ und $m = 20$. Die Effizienz
2590 der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution-Cut} auf Basis des
2591 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks berechnet, ist tabellarisch in
2592 Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-efficiency} dargestellt.
2596 \rowcolors{2}{black!5}{}
2597 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2599 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2601 9 & 20 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2602 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
2603 11 & 20 & 28 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
2604 12 & 20 & 28 & 32 & 38 & & & & & & & & & & & & \\
2605 13 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
2606 14 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
2607 15 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
2608 16 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
2609 17 & 21 & 29 & 32 & 39 & 43 & 51 & 57 & 64 & 68 & & & & & & & \\
2610 18 & 22 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & & & & & & \\
2611 19 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & & & & & \\
2612 20 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & 97 & & & & \\
2613 21 & 20 & 30 & 34 & 38 & 44 & 51 & 57 & 64 & 74 & 82 & 87 & 96 & 102 & & & \\
2614 22 & 20 & 30 & 34 & 38 & 46 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & & \\
2615 23 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 66 & 72 & 83 & 89 & 97 & 102 & 112 & 119 & \\
2616 24 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & 119 & 127 \\
2618 \ps{m}&19 & 27 & 32 & 38 & 42 & 48 & 53 & 59 & 63 & 79 & 88 & 97 & 103 & 112 & 119 & 127 \\
2622 \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
2623 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
2624 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
2625 Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \ps{n} an, jede
2626 Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
2628 \label{tbl:ec-ps-efficiency}
2631 % Beispiel Effizienz
2633 Zwei Ergebnisse, die effizienter als die entsprechenden
2634 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerke sind, zeigt
2635 Abbildung~\ref{fig:ec-ps-efficient_networks}. Sie erreichen die
2636 Geschwindigkeit und Effizienz des \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks mit der
2637 entsprechenden Leitungszahl. Bei größeren Netzwerken, beispielsweise $m = 19$,
2638 ist dies mit der in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-efficiency} dargestellten Größe der
2639 Schnittmuster noch nicht zu beobachten.
2643 \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 10~Schichten. Das
2644 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
2645 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{13}
2646 erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-ps13.tex}}
2647 \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 41~Komparatoren in 10~Schichten. Das
2648 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
2649 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{16}
2650 erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-ps16.tex}}
2651 \caption{Zwei effiziente Sortiernetzwerke, die durch Schnittmuster, die von
2652 \emph{SN-Evolution-Cut} berechnet wurden, aus dem
2653 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} erzeugt wurden.}
2654 \label{fig:ec-ps-efficient_networks}
2657 % Wie viele Schnitte man braucht.
2659 Bei welchen Parametern \textsc{SN-Evolution-Cut} effiziente
2660 19-Sortiernetzwerke findet, ist Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-19} zu entnehmen. Für
2661 $n = 31$, $k = 12$ und $n = 32$, $k = 13$ werden 19-Sortiernetzwerke mit der
2662 selben Effizienz und Geschwindigkeit wie \oes{19} erzeugt. Das
2663 19-Sortiernetzwerk, das auf diese Art und Weise aus \ps{32} erzeugt wurde, ist
2664 in Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-ps32} dargestellt.
2668 \rowcolors{2}{black!5}{}
2669 \begin{tabular}{|r|r|r|}
2671 $n$ & Komp. & Schichten \\
2684 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2695 \ps{19} & 97 & 15 \\
2696 \oes{19} & 91 & 14 \\
2700 \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von 19-Sortiernetzwerken, die
2701 von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \ps{n}, $n = 20, \dots, 38$ erzeugt
2703 \label{tbl:ec-ps-19}
2708 \input{images/19-ec-from-ps32.tex}
2710 \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 91~Komparatoren in
2711 14~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
2712 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
2713 $\operatorname{PS}(32)$ erzeugt.}
2714 \label{fig:19-ec-from-ps32}
2717 An den Daten in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-19} fällt auf, dass die Effizienz und
2718 Geschwindigkeit der Ergebnisse für $n > 32$ schlechter werden. Das
2719 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk ist Leitungszahlen, die Zweierpotenzen sind,
2720 besonders effizient und schnell. Um der Vermutung nachzugehen, dass der
2721 \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus für $\ps{n = 2^d}$ besonders effiziente
2722 Schnittmuster findet, wurde \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \ps{32} und $k = 1
2723 \dots 16$ gestartet. Die Ergebnisse sind in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-32}
2728 \rowcolors{2}{black!5}{}
2729 \begin{tabular}{|r|r|r|}
2731 $m$ & Komp. & Schichten \\
2752 \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von $m$-Sortiernetzwerken,
2753 die von \textsc{SN-Evolution-Cut} nach 5.000.000 Iterationen aus \ps{32}
2755 \label{tbl:ec-ps-32}
2760 Die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} für das
2761 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk berechnet, können zu schnelleren
2762 Sortiernetzwerken als \ps{m} führen. Beispielsweise konnte aus \ps{24} ein
2763 18-Sortiernetzwerk erzeugt werden, das mit 13~Schichten zwei parallele
2764 Schritte im Vergleich zu \ps{18} einspart. Eine Darstellung dieses
2765 Sortiernetzwerks befindet sich in Abbildung~\ref{fig:18-ec-from-ps24}. Für
2766 andere $m$ wurde die Geschwindigkeit des \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks
2767 nicht übertroffen und im Fall von $m = 16$ wurde die Geschwindigkeit nicht
2772 \rowcolors{2}{black!5}{}
2773 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2775 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2777 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2778 10 & 6 & 10 & & & & & & & & & & & & & & \\
2779 11 & 6 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & & \\
2780 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
2781 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
2782 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
2783 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
2784 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
2785 17 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & & & & & & & \\
2786 18 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & 15 & & & & & & \\
2787 19 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & 15 & 15 & & & & & \\
2788 20 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & 15 & 15 & 15 & & & & \\
2789 21 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 12 & 14 & 15 & 15 & 15 & & & \\
2790 22 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 12 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 & & \\
2791 23 & 6 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 & \\
2792 24 & 6 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 13 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2794 \ps{m} & 6 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 \\
2798 \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
2799 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
2800 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
2801 Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \ps{n} an, jede
2802 Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
2804 \label{tbl:ec-ps-speed}
2807 % Beispiel Geschwindigkeit
2811 \input{images/18-ec-from-ps24.tex}
2813 \caption{Sortiernetzwerk mit 18~Leitungen und 89~Komparatoren in
2814 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
2815 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
2816 $\operatorname{PS}(24)$ erzeugt.}
2817 \label{fig:18-ec-from-ps24}
2822 Die Ergebnisse, die \textsc{SN-Evolution-Cut} erzielte, wenn das gegebene
2823 Sortiernetzwerk das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk war
2824 (Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut:bs}), waren sehr wirr. Beispielsweise
2825 ist bei dem Netzwerk in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} nicht ersichtlich,
2826 wie und warum es jede beliebige Eingabe sortiert.
2828 Bei dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk $\ps{n=2^d}$ ist das anders. Startet
2829 man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
2830 16~Leitungen zu entfernen, kann der Algorithmus ein Sortiernetzwerk
2831 zurückgeben, das die gleiche Anzahl Komparatoren und Schichten wie
2832 $\operatorname{PS}(16)$ und $\operatorname{OES}(16)$ hat. Eines dieser
2833 Sortiernetzwerke ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
2834 Dieses Ergebnis demonstriert, dass sich die Ergebnisse in den gezeigten
2835 Tabellen oft durch zusätzliche Iterationen verbessern lassen.
2839 \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
2841 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
2842 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
2843 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
2844 $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
2845 \label{fig:16-ec-from-ps32}
2848 Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
2849 einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist das
2850 \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
2851 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
2852 den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzwerke, die
2853 strukturell sehr ähnlich zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
2854 Schichten~1 und~2 sowie 4~und~5 sind vertauscht.
2858 \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
2860 \caption{Das \ps{32}-Netzwerk mit 8~Maximum- und 8~Minimumschnitten. Gut zu
2861 sehen sind die verbleibenden Komparatoren, die das \ps{16}-Netzwerk
2863 \label{fig:ps16-from-ps32}
2866 Für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} ist es vergleichsweise einfach
2867 regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk ein kleineres
2868 schnelles und effizientes Sortiernetzwerk erzeugen. Beispielsweise führt das
2869 einfache Schnittmuster
2871 \textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
2872 -\infty & \quad \textrm{falls } i < \frac{1}{4} n \\
2873 \infty & \quad \textrm{falls } i \geqq \frac{3}{4} n \\
2874 ? & \quad \mathrm{sonst}
2877 für $\operatorname{PS}\left(n = 2^d\right)$ zum Sortiernetzwerk
2878 $\operatorname{PS}\left(\frac{1}{2}n\right)$. Die Art und Weise, mit der
2879 dieses Schnittmuster Komparatoren eliminiert und welche Komparatoren das
2880 verbleibende Netzwerk ausmachen, ist in Abbildung~\ref{fig:ps16-from-ps32}
2881 dargestellt. Die matt blauen und roten Leitungen und Komparatoren sind
2882 diejenigen, die Aufgrund eines Minimums oder eines Maximums im resultierenden
2883 Netzwerk nicht mehr enthalten sind. Da die Minima und Maxima bereits auf den
2884 „richtigen“ Leitungen angelegt werden, müssen keine Leitungen vertauscht
2885 werden und das Ergebnis ist bereits normalisiert. Daher ist das resultierende
2886 Netzwerk in schwarz gut zu erkennen.
2890 \input{images/16-pairwise.tex}
2892 \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
2893 ($\operatorname{MIN}(0, 2, 4, 6), \operatorname{MAX}(9, 11, 13, 15)$). Das
2894 resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
2895 \label{fig:16-pairwise}
2898 Ein Spezialfall ergibt sich, wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
2899 $\operatorname{PS}(16)$ angewendet wird: In diesem Fall kann ein
2900 8-Schnittmuster ausgegeben werden, das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
2901 \oes{8} aus \ps{16} erzeugt.. Für größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen
2902 nicht mehr möglich, beispielsweise kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch
2903 ein 16-Schnittmuster in \oes{16} konvertiert werden. Die Verwandtschaft von
2904 $\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n} untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler}
2905 ausführlich in~\cite{M2009}.
2908 \section{Fazit und Ausblick}
2910 Mit dem Entfernen von Leitungen aus bekannten Sortiernetzwerken lassen sich
2911 interessante Ergebnisse erzielen. Dies zeigte \textit{Moritz Mühlenthaler}
2912 bereits in~\cite{M2009}. Die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden und
2913 Resultate machen deutlich, dass sich mit diesem Verfahren noch weitere
2914 interessante Beobachtungen machen lassen.
2916 Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk wird sowohl von \textsc{SN-Evolution},
2917 \textsc{SN-Evolution-Cut} und \textsc{SN-Markov} erreicht. Wenn die Anzahl der
2918 Leitungen keine Zweierpotenz ist, kann gegebenenfalls ein schnelleres
2919 Sortiernetzwerk erzeugt werden. Einige Beispiele hierfür wurden in
2920 Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut:oes} aufgezeigt.
2922 Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk kann in Bezug auf Effizienz von den
2923 vorgestellten Algorithmen übertroffen werden. Der Algorithmus
2924 \textsc{SN-Evolution-Cut} kann das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} und
2925 \textit{Wanka} (\cite{MW2010}) für ein 16-Sortiernetzwerk reproduzieren und
2926 für ein 32-Sortiernetzwerk sogar noch übertreffen. Der
2927 \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus fand 16-Sortiernetzwerke, die gegenüber dem
2928 Ergebnis von \textsc{SN-Evolution-Cut} beziehungsweise~\cite{MW2010} einen
2929 weiteren Komparator einsparen.
2931 Leider weisen die Sortiernetzwerke, die von den angegebenen Algorithmen
2932 zurückgegeben werden, keine Struktur auf, die sich zur Angabe einer
2933 Konstruktionsanweisung eigenen würde. Für das \emph{Pairwise-Sorting}- und das
2934 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk mit Zweierpotenzen als Leitungszahl wurden
2935 regelmäßige Schnittmuster angegeben. Diese ergeben Sortiernetzwerke, die so
2936 schnell und effizient sind wie die vergleichbaren \oes{n} und \ps{n}
2939 Die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnitte von verschiedenen
2940 Sortiernetzwerken wurde experimentell bestimmt und gezeigt, dass es deutlich
2941 weniger \emph{unterschiedliche} als \emph{mögliche} Schnittmuster gibt. Das
2942 bedeutet im Umkehrschluss, dass die gewonnenen Sortiernetzwerke mit mehreren
2943 Schnittmustern erreicht werden können.
2945 Die Möglichkeiten der Optimierung von Sortiernetzwerken mit
2946 \emph{Evolutionären Algorithmen} sind durch die in dieser Arbeit vorgestellten
2947 Herangehensweisen bei weitem nicht erschöpft. Im Folgenden werden Ansätze
2948 umrissen, mit denen an die Untersuchungen in dieser Arbeit nahtlos angeknüpft
2951 \subsection{Ausblick: Das \textit{Pairwise-Sorting}-Netzwerk und \textsc{SN-Evolution}}
2953 Die aktuelle Implementierung von \textsc{SN-Evolution}
2954 (Abschnitte~\ref{sect:sn-evolution}
2955 beziehungsweise~\ref{sect:implementierung}) kann sowohl den \emph{bitonen
2956 Mischer} als auch den \emph{Odd-Even}-Mischer verwenden, um zwei Individuen zu
2957 rekombinieren. Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk verwendet zwar keinen
2958 Mischer, es ist aber ebenfalls rekursiv über kleinere Versionen von sich
2959 selbst definiert. Das heißt, dass \ps{n} aus zwei Instanzen von
2960 $\ps{\frac{n}{2}}$ und zusätzlichen Komparatoren besteht, die die Eingabe für
2961 die kleineren Sortiernetzwerke vorbereiten und anschließend für eine sortierte
2962 Ausgabe sorgen. Anstelle von $\ps{\frac{n}{2}}$ können beliebige
2963 Sortiernetzwerke mit $\frac{n}{2}$~Leitungen verwendet werden.
2965 Dies ließe sich für \textsc{SN-Evolution} nutzen, um zwei Individuen zu
2966 rekombinieren. Da es für das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk sehr viele
2967 \emph{unterschiedliche} Schnittmuster gibt
2968 (Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster}), ist es möglich, dass die
2969 Verwendung dieser Rekombinationsmethode neue Ergebnisse ermöglicht. Leider
2970 wird die Aussicht auf Erfolg durch die Tatsache geschmälert, dass keine
2971 $n$-Schnittmuster für \ps{2n} gefunden werden konnten, die zu besseren
2972 $n$-Sortiernetzwerken als \ps{n} führen.
2974 \subsection{Ausblick: Kooperation von \textsc{SN-Evolution} und \textsc{SN-Evolution-Cut}}
2976 Ähnlich zu der parasitären \emph{Co-Evolution}, die \textit{W.~Daniel Hillis}
2977 in~\cite{H1990} beschreibt, könnte man versuchen, die Algorithmen
2978 \textsc{SN-Evolution} und \textsc{SN-Evolution-Cut} zu kombinieren. Nach dem
2979 Zusammenfügen von zwei $n$-Sortiernetzwerken könnte der Algorithmus
2980 \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise einen möglichst guten Schnitt für
2981 \emph{dieses} Netzwerk ermitteln. Da sich die Lösungen, die Evolutionäre
2982 Algorithmen in ihre Population aufnehmen, in den ersten Schritten rasch
2983 verbessern, könnten selbst weniger Iterationen von \textsc{SN-Evolution-Cut}
2984 die Zwischenlösungen von \textsc{SN-Evolution} deutlich verbessern.
2986 Alternativ könnte man -- analog zur Herangehensweise von \textit{Hillis} --
2987 eine zweite Population von Schnittmustern evolvieren, die für die
2988 Sortiernetzwerke in der Population von \textsc{SN-Evolution} besonders gut
2989 funktionieren. In jeder Iteration wendet man alle oder eine zufällige Menge
2990 Schnittmuster auf das zusammengeführte Netzwerk an und gibt dem besten
2991 Ergebnis den Zuschlag. Anschließend erfährt das entsprechende Schnittmuster
2992 eine Aufwertung, so dass es wahrscheinlicher wird, dass \emph{dieses}
2993 Schnittmuster zur nächsten Generation beiträgt. Im Gegensatz zum Ansatz der
2994 parasitären Eingaben entsteht eine \emph{Synergie} zweier Populationen, die
2995 das Gesamtergebnis oder zumindest die Konvergenzgeschwindigkeit verbessern
2999 \section{Implementierung}
3000 \label{sect:implementierung}
3002 Alle in dieser Arbeit beschriebenen Versuche wurden mit einer eigens
3003 entwickelten C-Bibliothek, \textit{libsortnetwork}, und zugehörigen
3004 Kommandozeilen-Programmen durchgeführt. Die Bibliothek wurde unter der
3005 \textit{GNU Lesser General Public License} (LGPL) in der Version~2.1
3006 veröffentlicht; die Kommandozeilen-Programme, die in vielen Fällen lediglich
3007 Funktionalität der Bibliothek auf der Kommandozeile zur Verfügung stellen,
3008 stehen unter der \textit{GNU General Public License}, Version~2. Diese
3009 Lizenzen räumen einem Benutzer weitreichende Rechte ein, unter anderem das
3010 Programm beliebig zu verwenden, zu studieren, zu verändern sowie veränderte
3011 und unveränderte Kopien zu veröffentlichen.
3013 Die Programmierschnittstelle (API) der Bibliothek orientiert sich an
3014 Paradigmen der \textit{objektorientierten Programmierung}. Beispielsweise kann
3015 mit der Funktion \texttt{sn\_network\_ create()} ein neues Zustands-Objekt
3016 erzeugt werden, für das mehrere Manipulations-Methoden, zum Beispiel
3017 \texttt{sn\_network\_comparator\_add()}, zur Verfügung stehen. Auf diese Art
3018 und Weise kann die Bibliothek leicht erweitert werden, ohne dass bestehende
3019 Programme angepasst werden müssen.
3021 Die meisten Kommandozeilen-Programmen lesen ein Komparatornetzwerk von der
3022 Standard-Eingabe und schreiben ihr Ergebnis auf die Standard-Ausgabe. Um
3023 Beispielsweise eine \emph{normalisierte} Variante des \emph{bitonen
3024 Mergesort}-Netzwerks \bs{42} zu erzeugen, kann folgendes Kommando verwendet
3027 $ sn-bitonicsort 42 | sn-normalize >sn-42
3029 Dieses Prinzip, kleine Programme \emph{eine} Aufgabe erledigen zu lassen und
3030 es einfach zu ermöglichen, Programme zu verketten, ist eines der
3031 Grundprinzipien des UNIX-Be\-triebs\-sys\-tems. Es hat sich in den letzten
3032 Jahrzehnten und beim Verfassen dieser Arbeit als sehr flexibel und mächtig
3035 Funktionen, die von Kommandozeilen-Programmen zur Verfügung gestellt werden,
3036 sind unter anderem das Erzeugen des \emph{Odd-Even-Mergesort}-, \emph{bitonen
3037 Mergesort}- und \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks, das Normalisieren von
3038 Sortiernetzwerken, Anwendung von Schnittmustern auf Sortiernetzwerke und
3039 Anwendung eines Komparatornetzwerks auf eine Eingabepermutation. Das
3040 Darstellen von Sortiernetzwerken wird ebenfalls angeboten, beispielsweise
3041 wurden die Sortiernetzwerke in dieser Arbeit mit dem Kommando \texttt{sn-tex}
3044 \textit{libsortnetwork} kann unter der Web-Adresse
3045 \url{http://octo.it/libsortnetwork/} unentgeltlich heruntergeladen werden.
3048 \bibliography{references}
3049 \bibliographystyle{plain}
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